FATOS MATEMÁTICOS: Algumas Propriedades Geométricas da Ciclóide

sexta-feira, 25 de junho de 2010

Algumas Propriedades Geométricas da Ciclóide

As equações paramétricas da ciclóide, conhecida por Helena da Matemática são dadas por

$[;\begin{cases}x(\theta) = r(\theta - \sin \theta)\\y(\theta) = r(1 - \cos \theta)\\\end{cases};]$

A demonstração deste fato, baseia-se na figura ao lado, cuja demonstração foi vista no post Fatos Históricos da Ciclóide .

Veremos neste post, algumas propriedades interessantes relacionadas a esta curva. Algumas destas propriedades foram propostas por Blaise Pascal como desafios a outros matemáticos pouco antes da invenção do Cálculo Diferencial e Integral.

Propriedade 1: A derivada da ciclóide é dada por:

$[;\frac{dy}{dx}=\cot(\theta/2), \quad \text{para}\quad \theta \neq0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \ldots;]$

Demonstração: De fato,

$[;\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\frac{r\sin\theta}{r(1-\sin\theta)}=\frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\sin^2(\theta/2)}=\cot(\theta/2);]$

Os pontos onde a derivada não está definida chamam-se cúspides. Nestes pontos cujas as abscissas são $[;x=0,\pm 2\pi r, \pm 4\pi r, \ldots;]$ a reta tangente é paralela ao eixo $[;Oy;]$ .

Propriedade 2: Entre as cúspides, a ciclóide é côncava para baixo.

Demonstração: De fato,

$y^{\prime \prime} = \frac{d}{d\theta}\biggl(\frac{\sin \theta}{1-\cos\theta}\biggr)\frac{d\theta}{dx} =\frac{\cos \theta(1-\cos \theta)-\sin \theta\sin \theta}{(1-\cos \theta)^2}\cdot \frac{1}{r(1-\cos\theta)}=-\frac{r}{y^2}\prec 0$

donde segue o resultado.

Propriedade 3: A tangente e a normal à ciclóide no ponto $[;P;]$ passampelo topo e pela parte mais baixa do círculo rolante (Fig. abaixo).

Demonstração: O ponto no topo do círculo tem coordenadas $[;(r\theta,2r);]$ . A equação da reta tangente que passa por $[;P;]$ é

$[;Y-y(\theta)=y^{\prime}(x)(X-x(\theta)) \quad \Rightarrow \quad Y-r(1-\cos \theta)=\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta}[X-r(\theta - \sin \theta);]$

Para $[;X=r\theta;]$ , temos:

$[;Y=r(1-\cos \theta)+\frac{r\sin^2\theta}{1-\cos \theta}=r\frac{(1-\cos\theta)^2+\sin^2 \theta}{1-\cos \theta}=2r;]$

Assim, a tangente em $[;P;]$ intercepta o círculo rolante no ponto $[;D;]$ . Assim, o diâmetro desse círculo é $[;BD;]$ , de modo que o $[;\Delta BPD;]$ é retângulo em $[;P;]$ . Logo, $[;PB;]$ pertence a reta normal à ciclóide que passa por $[;P;]$ .

Propriedade 4: A área sob um arco de ciclóide é três vezes a área do círculo rolante.

Demonstração: De fato,

$[;A = \int_{0}^{2\pi r}ydx = \int_{0}^{2\pi}r(1-\cos\theta)r(1-cos\theta)d\theta=r^2\int_{0}^{2\pi}(1-\cos \theta +\cos \theta)d\theta;]$

$[;=r^2\int_{0}^{2\pi}\biggl[\frac{3}{2}-2\cos \theta + \frac{1}{2}\cos(2\theta)\biggr]d\theta = 3\pi r^2;]$

Propriedade 5: O comprimento de um arco de ciclóide é quatro vezes o diâmetro do círculo rolante.

Demonstração: Como $[;dx = r(1-\cos \theta)d\theta;]$ e $[;dy = r\sin \theta d\theta;]$ , o elemento de comprimento de arco é dado por

$[;L^2 = dx^2 + dy^2 = r^2(1-\cos \theta)^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\theta^2;]$

$[;=r^2(1-2\cos \theta + \cos^2\theta + \sin^2 \theta)d\theta^2 = r^2(2-2\cos \theta) = 4r^2\sin^2(\theta/2);]$

Logo,

$[;L=\int_{0}^{2\pi}dL = \int_{0}^{2\pi}2r\sin(\theta/2)d\theta = 8r;]$

Propriedade 6: O volume do sólido de revolução formado pela rotação de um arco de ciclóide em torno do eixo $[;x\ ;]$ é $[;V= 2\pi^2r^3;]$ .

Demonstração: De fato, $[;dV = \pi y^2 dx = \pi y(\theta)^2 r(1 - \cos\theta)d\theta;]$ . Assim,

$[;V = \pi r^3 \int_{0}^{2\pi}(1 - \cos \theta)^3d\theta;]$

$[; = \pi r^3\int_{0}^{2\pi}(1 - 3\cos^2\theta\sin \theta + 3\cos\theta \sin^2\theta - \cos^3\theta) d\theta = 2\pi^2 r^3;]$

Observação: A área superficial desse sólido de revolução é expressa através de uma integral elíptica e não será vista neste post.

Gostará de ler também:
- Uma Fórmula Para Calcular a Área do Elipsóide de Revolução;
- Distância Entre Dois Pontos Sobre a Superfície Terrestre;
- A Maior Bola de Barbante do Mundo.

3 comentários:

Marcelo Flora26 de junho de 2010 14:17
Obrigado por ter me alertado sobre o erro no blog professor.

Um abraço! Tenha um ótimo final de semana!
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Prof. Paulo Sérgio26 de junho de 2010 14:25
Muito interessante o tópico sobre desafios. Tentarei participar do próximo.

Abraços!
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Anônimo13 de julho de 2010 16:41
há um erro na primeira derivada, onde deveria estar r*(1-cos(theta));
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