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Algumas Propriedades Geométricas da Ciclóide

As equações paramétricas da ciclóide, conhecida por Helena da Matemática são dadas por

[;\begin{cases}x(\theta) = r(\theta - \sin   \theta)\\y(\theta) = r(1 - \cos \theta)\\\end{cases};]

A demonstração deste fato, baseia-se na figura ao lado, cuja demonstração foi vista no post Fatos Históricos da Ciclóide .

Veremos neste post, algumas propriedades interessantes relacionadas a esta curva. Algumas destas propriedades foram propostas por Blaise Pascal como desafios a outros matemáticos pouco antes da invenção do Cálculo Diferencial e Integral.

Propriedade 1: A derivada da ciclóide é dada por:

[;\frac{dy}{dx}=\cot(\theta/2), \quad  \text{para}\quad \theta \neq0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \ldots;]

Demonstração: De fato,

[;\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\frac{r\sin\theta}{r(1-\sin\theta)}=\frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{2\sin^2(\theta/2)}=\cot(\theta/2);]

Os pontos onde a derivada não está definida chamam-se cúspides. Nestes pontos cujas as abscissas são [;x=0,\pm 2\pi r, \pm 4\pi r, \ldots;] a reta tangente é paralela ao eixo [;Oy;].

Propriedade 2: Entre as cúspides, a ciclóide é côncava para baixo.

Demonstração: De fato,


donde segue o resultado.

Propriedade 3: A tangente e a normal à ciclóide no ponto [;P;] passampelo topo e pela parte mais baixa do círculo rolante (Fig. abaixo).


Demonstração: O ponto no topo do círculo tem coordenadas [;(r\theta,2r);]. A equação da reta tangente que passa por [;P;] é

[;Y-y(\theta)=y^{\prime}(x)(X-x(\theta)) \quad \Rightarrow \quad  Y-r(1-\cos \theta)=\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta}[X-r(\theta - \sin  \theta);]

Para [;X=r\theta;], temos:
[;Y=r(1-\cos  \theta)+\frac{r\sin^2\theta}{1-\cos  \theta}=r\frac{(1-\cos\theta)^2+\sin^2 \theta}{1-\cos \theta}=2r;]

Assim, a tangente em [;P;] intercepta o círculo rolante no ponto [;D;]. Assim, o diâmetro desse círculo é [;BD;], de modo que o [;\Delta BPD;] é retângulo em [;P;]. Logo, [;PB;] pertence a reta normal à ciclóide que passa por [;P;].

Propriedade 4: A área sob um arco de ciclóide é três vezes a área do círculo rolante.

Demonstração: De fato,

[;A = \int_{0}^{2\pi r}ydx =  \int_{0}^{2\pi}r(1-\cos\theta)r(1-cos\theta)d\theta=r^2\int_{0}^{2\pi}(1-\cos  \theta +\cos \theta)d\theta;]

[;=r^2\int_{0}^{2\pi}\biggl[\frac{3}{2}-2\cos \theta +    \frac{1}{2}\cos(2\theta)\biggr]d\theta = 3\pi r^2;]

Propriedade 5: O comprimento de um arco de ciclóide é quatro vezes o diâmetro do círculo rolante.

Demonstração: Como [;dx =  r(1-\cos \theta)d\theta;] e [;dy = r\sin \theta d\theta;], o elemento de comprimento de arco é dado por

[;L^2 = dx^2 + dy^2 = r^2(1-\cos  \theta)^2d\theta^2 + r^2\sin^2\theta d\theta^2;]

[;=r^2(1-2\cos  \theta + \cos^2\theta + \sin^2 \theta)d\theta^2 =  r^2(2-2\cos \theta) =  4r^2\sin^2(\theta/2);]
Logo,
[;L=\int_{0}^{2\pi}dL =  \int_{0}^{2\pi}2r\sin(\theta/2)d\theta = 8r;]

Propriedade 6: O volume do sólido de revolução formado pela rotação de um arco de ciclóide em torno do eixo [;x\ ;] é [;V= 2\pi^2r^3;].

Demonstração: De fato, [;dV = \pi y^2 dx = \pi y(\theta)^2 r(1 - \cos\theta)d\theta;]. Assim,

[;V = \pi  r^3 \int_{0}^{2\pi}(1 - \cos \theta)^3d\theta;]

[; = \pi r^3\int_{0}^{2\pi}(1 -  3\cos^2\theta\sin \theta +  3\cos\theta \sin^2\theta - \cos^3\theta)  d\theta = 2\pi^2 r^3;]

Observação: A área superficial desse sólido de revolução é expressa através de uma integral elíptica e não será vista neste post.

Gostará de ler também:
- Uma Fórmula Para Calcular a Área do Elipsóide de Revolução;
- Distância Entre Dois Pontos Sobre a Superfície Terrestre;
- A Maior Bola de Barbante do Mundo.

3 comentários:

  1. Obrigado por ter me alertado sobre o erro no blog professor.

    Um abraço! Tenha um ótimo final de semana!

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  2. Muito interessante o tópico sobre desafios. Tentarei participar do próximo.

    Abraços!

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  3. há um erro na primeira derivada, onde deveria estar r*(1-cos(theta));

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