Alguns Fatos Sobre os Quadrados Mágicos

Os quadrados mágicos é uma das recreações matemáticas mais antigas que se conhece. Sua origem não é bem conhecida, mas há registros de sua existência em épocas anteriores a nossa era na China e na Índia.

Um quadrado mágico é uma tabela quadrada de lado , onde a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é constante que recebe o nome de constante mágica. É importante salientar que os números que preenchem um quadrado mágico são todos distintos.

Na figura abaixo, temos um quadrado mágico de ordem (três linhas e três colunas), cuja constante mágica é igual a .

Em , o artista Albrecht Durer produziu um quadro chamado melancolia (figura acima). Na parte superior desta tela, ele pintou um quadrado mágico de constante mágica igual a . É interessante observar que os números e neste quadrado mágico estão dispostos lado a lado de modo a formar a data . Além disso, o quadrado mágico de Durer possui a propriedade adicional em que a soma dos elementos nos quatro quadrantes com os quatro elementos centrais é igual a constante mágica, conforme a figura abaixo.

Em , Benjamin Franklin inventor do pára-raios, construiu um quadrado "semi mágico" de constante igual a , isto é, um quadrado que falha em ser quadrado mágico apenas pelo fato da soma dos elementos em uma ou em ambas diagonais não é igual a constante mágica. Neste quadrado semi mágico, a soma de qualquer linha ou coluna é igual a e a soma dos elementos em cada canto do quadrado com o elemento central totaliza também , veja a figura abaixo.

Outro tipo interessante de quadrado mágico são aqueles formados por quadrados perfeitos, todos distintos. Claramente a condição de que os números são inteiros consecutivos deve ser descartada. Não sabemos se existe um quadrado de quadrados , mas vale a pena citar que o matemático Lee Sallows obteve um quadrado de quadrados no qual todas as linhas, colunas e uma diagonal tem a mesma soma, veja a figura abaixo.

Em , Euler construiu o primeiro quadrado mágico de quadrados e enviou para Joseph Louis Lagrange, cuja constante mágica é .

Em , Christian Boyer achou quadrados mágicos , e de quadrados perfeitos. Na figura abaixo, temos um quadrado mágico dos inteiros consecutivos ao quadrado de a .

Gostará de ler também
- O Problema dos Quadrados Mágicos do blog O Baricentro da Mente;
- O Triângulo Mágico 3x3;
- O Quadrado Mágico da Besta.


Referência Bibliográfica:
- Stewart Ian. Cabinet of Mathematical Curiosities. New York, NY. 2008;
- http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.html;