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Mínimos Locais Através da Desigualdade Aritmética-Geométrica

A famosa desigualdade aritmética-geométrica afirma que se [;x\ ;]e [;y;]são dois números reais não-negativos, então a média aritmética (MA) é maior ou igual a média geométrica (MG), isto é,

[;\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} \qquad (1);]

e a igualdade é válida se e somente se [;x=y;]. De fato, se

[;\frac{x+y}{2} = \sqrt{xy} \quad  \Longleftrightarrow \quad x+y =  2\sqrt{xy} \quad \Longleftrightarrow  \quad (\sqrt{x})^2 -  2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = 0 ;]

donde segue que
[;(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x =  y;]

A desigualdade também é válida para [;x_1,x_2,\ldots,x_n;] números não-negativos, isto é,

[;\frac{x_1+x_2+\ldots x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1x_2\ldots  x_n}\qquad (2);]

É interessante observar que alguns problemas de minimização podem ser resolvidos através desta desigualdade. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Um Galpão deve ser construído tendo uma área retangular de [;12100\ m^2;] (Veja a figura abaixo). A prefeitura exige que exista um espaço livre de [;25\  m;] na frente, [;20\ m;] atrás e [;12\ m;] de cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.


Resolução: Sejam [;x\ ;] e [;y;] a largura e comprimento do galpão respectivamente. Assim, [;xy = 12100;] e a área do terreno é dada por [;S = (x+24)(y + 45);]. Sendo [;y = 12100/x;], segue que

[;S(x) = (x + 24)\biggl(\frac{12100}{x}+  45\biggr) = 45x + \frac{290400}{x} + 13180;]

[;\geq  2\sqrt{45x\cdot \frac{290400}{x}} +  13180 = 1320\sqrt{2}+13180;]

ou seja, pela desigualdade aritmética-geométrica, a área do galpão [;S(x);] é maior ou igual a uma constante. Portanto, a área mínima é atingida se

[;45x = \frac{290400}{x} \quad  \Rightarrow \quad x^2 = \frac{290400}{45} \quad \Rightarrow \quad x =  44\sqrt{\frac{10}{3}}\simeq 80,3\ m;]

de modo que
[;y = \frac{12100}{44\sqrt{10/3}} =  55\sqrt{\frac{15}{2}}\simeq 150,6\ m;]

Exemplo 2: Um galinheiro na forma retangular de área [;18\ m^2;] deve ser construído de tela de arame. O galinheiro será disposto no terreno de tal forma que um dos lados seja um muro, conforme a figura abaixo. Determine suas dimensões de modo que seu perímetro seja mínimo.


Resolução: A área do galinheiro é [;S=xy=18;] e seu perímetro é [;P =  x + 2y;]. Isolando [;y;] da primeira equação e substituindo na segunda, temos

[;P(x) = x + \frac{36}{x} \geq 2\sqrt{x\cdot  \frac{36}{x}} \geq 12\ m;]

Logo, o mínimo é atingido se
[;x = \frac{36}{x}\quad  \Rightarrow \quad x^2 = 36 \quad x=6\ m;] e [;y =  18/6 = 3\ m;].

Exemplo 3: Determine o paralelepípedo retângulo de volume constante, cuja área superficial seja a menor possível.

Resolução: Observe que este problema é apresentado nos livros de Cálculo de Funções de Várias Variáveis e resolvido através de derivadas parciais. Vejamos a solução através da desigualdade aritmética-geométrica.

Para isso, note que [;V=xyz \quad \Rightarrow \quad z = V/xy;]. A área total do paralelepípedo retângulo é dada por [;S =  2xy+2xz+2yz;]. Substituindo [;z;], nesta expressão, temos:

[;S = 2xy +  2xz + 2yz = 2xy + \frac{2xV}{xy} + \frac{2yV}{xy} = 2\biggl( xy +  \frac{V}{y} + \frac{V}{x}\biggr);]

Usando a desigualdade aritmética-geométrica com [;3;] termos, temos:

[;S(x,y) \geq 6\sqrt[3]{xy\cdot  \frac{V}{y}\cdot\frac{V}{x}} = 6\sqrt[3]{V^2};]

Assim, a área mínima é atingida se

[;xy = \frac{V}{y}=\frac{V}{x}\quad \Rightarrow \quad x =y \quad  \text{e} \quad xy^2 = V;]
donde segue que
[;y^3 = V  \quad \Rightarrow \quad y  =\sqrt[3]{V} \quad \Rightarrow \quad x =  \sqrt[3]{V} \quad \text{e}  \quad  z = \frac{V}{\sqrt[3]{V^2}} =  \sqrt[3]{V};]

ou seja, o paralelepípedo é um cubo de aresta [;\sqrt[3]{V};].

Exercícios Propostos:

[;1);] Uma lata cilíndrica de alumínio (sem tampa) tem volume [;V;]. Determine suas dimensões se a quantidade de alumínio para fabricação da lata deve ser mínima.
Resposta: [;r  =h=\sqrt[3]{V/\pi};].

[;2);] Determine três números positivos, cujo produto é [;27;]e a soma seja a menor possível.
Resposta: [;x=y=z=3;].

[;3);] Dado o ponto [;M(x_0,y_0);] no primeiro quadrante, considere a reta que passa por esse ponto de modo que ela forme um triângulo retângulo com os semi-eixos positivos. Determine as dimensões dos catetos deste triângulo para que sua área seja mínima.
Resposta: [;a=2x_0;] e [;b=2y_0;].

Gostará de ler também:
- Duas Médias (Parte 1);
- Duas Médias (Parte 2);
- Fatos da Média Harmônica;
- A Caixa Sem Tampa de Volume Máximo;
- A Caixa Com Tampa de Volume Máximo;
- Problemas de Otimização Através da Trigonometria;
- O Ângulo Ótimo de Visualização.

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