FATOS MATEMÁTICOS: Mínimos Locais Através da Desigualdade Aritmética-Geométrica

terça-feira, 15 de junho de 2010

Mínimos Locais Através da Desigualdade Aritmética-Geométrica

A famosa desigualdade aritmética-geométrica afirma que se $[;x\ ;]$ e $[;y;]$ são dois números reais não-negativos, então a média aritmética (MA) é maior ou igual a média geométrica (MG), isto é,

$[;\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy} \qquad (1);]$

e a igualdade é válida se e somente se $[;x=y;]$ . De fato, se

$[;\frac{x+y}{2} = \sqrt{xy} \quad \Longleftrightarrow \quad x+y = 2\sqrt{xy} \quad \Longleftrightarrow \quad (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = 0 ;]$

donde segue que

$[;(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = y;]$

A desigualdade também é válida para $[;x_1,x_2,\ldots,x_n;]$ números não-negativos, isto é,

$[;\frac{x_1+x_2+\ldots x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1x_2\ldots x_n}\qquad (2);]$

É interessante observar que alguns problemas de minimização podem ser resolvidos através desta desigualdade. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Um Galpão deve ser construído tendo uma área retangular de $[;12100\ m^2;]$ (Veja a figura abaixo). A prefeitura exige que exista um espaço livre de $[;25\ m;]$ na frente, $[;20\ m;]$ atrás e $[;12\ m;]$ de cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.

Resolução: Sejam $[;x\ ;]$ e $[;y;]$ a largura e comprimento do galpão respectivamente. Assim, $[;xy = 12100;]$ e a área do terreno é dada por $[;S = (x+24)(y + 45);]$ . Sendo $[;y = 12100/x;]$ , segue que

$[;S(x) = (x + 24)\biggl(\frac{12100}{x}+ 45\biggr) = 45x + \frac{290400}{x} + 13180;]$

$[;\geq 2\sqrt{45x\cdot \frac{290400}{x}} + 13180 = 1320\sqrt{2}+13180;]$

ou seja, pela desigualdade aritmética-geométrica, a área do galpão $[;S(x);]$ é maior ou igual a uma constante. Portanto, a área mínima é atingida se

$[;45x = \frac{290400}{x} \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{290400}{45} \quad \Rightarrow \quad x = 44\sqrt{\frac{10}{3}}\simeq 80,3\ m;]$

de modo que

$[;y = \frac{12100}{44\sqrt{10/3}} = 55\sqrt{\frac{15}{2}}\simeq 150,6\ m;]$

Exemplo 2: Um galinheiro na forma retangular de área $[;18\ m^2;]$ deve ser construído de tela de arame. O galinheiro será disposto no terreno de tal forma que um dos lados seja um muro, conforme a figura abaixo. Determine suas dimensões de modo que seu perímetro seja mínimo.

Resolução: A área do galinheiro é $[;S=xy=18;]$ e seu perímetro é $[;P = x + 2y;]$ . Isolando $[;y;]$ da primeira equação e substituindo na segunda, temos

$[;P(x) = x + \frac{36}{x} \geq 2\sqrt{x\cdot \frac{36}{x}} \geq 12\ m;]$

Logo, o mínimo é atingido se $[;x = \frac{36}{x}\quad \Rightarrow \quad x^2 = 36 \quad x=6\ m;]$ e $[;y = 18/6 = 3\ m;]$ .

Exemplo 3: Determine o paralelepípedo retângulo de volume constante, cuja área superficial seja a menor possível.

Resolução: Observe que este problema é apresentado nos livros de Cálculo de Funções de Várias Variáveis e resolvido através de derivadas parciais. Vejamos a solução através da desigualdade aritmética-geométrica.

Para isso, note que $[;V=xyz \quad \Rightarrow \quad z = V/xy;]$ . A área total do paralelepípedo retângulo é dada por $[;S = 2xy+2xz+2yz;]$ . Substituindo $[;z;]$ , nesta expressão, temos:

$[;S = 2xy + 2xz + 2yz = 2xy + \frac{2xV}{xy} + \frac{2yV}{xy} = 2\biggl( xy + \frac{V}{y} + \frac{V}{x}\biggr);]$

Usando a desigualdade aritmética-geométrica com $[;3;]$ termos, temos:

$[;S(x,y) \geq 6\sqrt[3]{xy\cdot \frac{V}{y}\cdot\frac{V}{x}} = 6\sqrt[3]{V^2};]$

Assim, a área mínima é atingida se

$[;xy = \frac{V}{y}=\frac{V}{x}\quad \Rightarrow \quad x =y \quad \text{e} \quad xy^2 = V;]$

donde segue que

$[;y^3 = V \quad \Rightarrow \quad y =\sqrt[3]{V} \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt[3]{V} \quad \text{e} \quad z = \frac{V}{\sqrt[3]{V^2}} = \sqrt[3]{V};]$

ou seja, o paralelepípedo é um cubo de aresta $[;\sqrt[3]{V};]$ .

Exercícios Propostos:

$[;1);]$ Uma lata cilíndrica de alumínio (sem tampa) tem volume $[;V;]$ . Determine suas dimensões se a quantidade de alumínio para fabricação da lata deve ser mínima.
Resposta: $[;r =h=\sqrt[3]{V/\pi};]$ .

$[;2);]$ Determine três números positivos, cujo produto é $[;27;]$ e a soma seja a menor possível.

Resposta: $[;x=y=z=3;]$ .

$[;3);]$ Dado o ponto $[;M(x_0,y_0);]$ no primeiro quadrante, considere a reta que passa por esse ponto de modo que ela forme um triângulo retângulo com os semi-eixos positivos. Determine as dimensões dos catetos deste triângulo para que sua área seja mínima.