Uma Média Geométrica Entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone

Em Geometria Espacial estuda-se o cálculo das áreas e volumes de vários sólidos geométricos, tais como o cilindro, o cone e a esfera.

Arquimedes a mais de anos, descobriu de forma genial um modo de calcular o volume de uma esfera e em consequência, deduziu que sua área é igual a área de círculos de diâmetro máximo, isto é, .

Veremos neste post, que existe uma relação interessante entre a área da esfera e as áreas totais do cone equilátero e do cilindro equilátero, inscritos nesta esfera.

Mais precisamente, mostraremos que a área total do cilindro equilátero () é igual a média geométrica entre a área da esfera () e a área do cone equilátero inscrito ().

Dizemos que um cilindro é equilátero se sua altura é igual ao ao seu diâmetro, de modo que sua secção transversal é um quadrado. Analogamente, dizemos que um cone é equilátero se sua secção transversal é um triângulo equilátero. Na figura abaixo, cortamos os três sólidos por um plano que passa pelo vértice do cone e pelo centro da esfera.

Para provar essa propriedade, temos que relacionar os raios e das bases do cilindro e do cone respectivamente com o raio da esfera . Aplicando o teorema de Pitágoras no na figura acima, segue que

Aplicando a lei dos cossenos no , temos:

A área total do cilindro é igual a soma da área lateral com duas vezes a área da base, isto é, . De , segue que

Por outro lado, a área total de um cone é igual a soma da área da base com a área lateral (). Assim,

Substituindo em , segue que

Sendo a área esfera dada por , temos que

ou seja, a média geométrica das áreas totais da esfera e do cone é igual a área total do cilindro.

Gostará de ler também:
- A Área do Segmento Esférico (Arquimedes);
- Volume do Elipsóide pelo Princípio de Cavalieri;
- Duas Médias (Parte 1).