FATOS MATEMÁTICOS: Diferentes Maneiras de Calcular a Derivada da Potência Enésima de x

sábado, 24 de julho de 2010

Diferentes Maneiras de Calcular a Derivada da Potência Enésima de x

A derivada da função $[;f(x) = x^n;]$ é uma das mais importantes do Cálculo. Possui diversas aplicações e está relacionada com a derivada das funções polinomiais e das funções racionais. Neste post, veremos alguns modos de demonstrar que

$[;(x^n)^{\prime} = nx^{n-1}\qquad (1);]$

sendo que em uma delas, mostraremos que $[;n;]$ pode ser um número real qualquer. Vejamos então, essas várias formas de provar a identidade $[;(1);]$ .

$[;1^{\circ});]$ Modo: Através do Teorema Binomial.

Sendo

$[; (x+h)^{n}=\sum^{n}_{k=0}{ n \choose k} x^{k}h^{n-k};]$

$[; (x+h)^{n}=\sum^{n-1}_{k=0}{ n \choose k} x^{k}h^{n-k}+{ n \choose n} x^{n}h^{n-n}= \sum^{n-1}_{k=0}{ n \choose k} x^{k}h^{n-k}+x^{n} ;]$

pois $[;{ n \choose n}=1;]$ , donde segue que

$[;(x+h)^{n}-x^{n}=\sum^{n-1}_{k=0}{ n \choose k} x^{k}h^{n-k}=;]$

$\sum^{n-2}_{k=0}{ n \choose k} x^{k}h^{n-k}+{ n \choose n-1} x^{n-1}h^{n-n+1}=\sum^{n-2}_{k=0}{ n \choose k} x^{k}h^{n-k}+ nx^{n-1}h$

pois $[;{ n \choose n-1}=n;]$ , dividindo ambos termos por $[;h\neq0;]$ , temos

$[; \frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=\sum^{n-2}_{k=0}{ n \choose k} x^{k}h^{n-k-1}+ \frac{x^{n-1}h}{h};]$

$[;=\sum^{n-2}_{k=0}{ n \choose k} x^{k}h^{n-k-1}+ nx^{n-1} ;]$

Assim,

$[; \frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=\sum^{n-2}_{k=0}{ n \choose k} x^{k}h^{n-k-1}+ nx^{n-1} ;]$

onde as potências de $[;h;]$ no somatório variam de $[;n-1;]$ no limite inferior e $[;1;]$ no limite superior, então todas sendo potências de $[;h;]$ , tomando o limite de $[;h;]$ tendendo a zero, temos

$[; \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\sum^{n-2}_{k=0}{ n \choose k} x^{k}h^{n-k-1}+ nx^{n-1}=nx^{n-1};]$

pois os termos no somatório se anulam por ter fator $[;h;]$ .

$[;2^{\circ});]$ Modo: Através da Regra da Cadeia com $[;\ln \; (x^{n+1});]$ .

Note que

$[; \ln (x^{n+1})=(n+1)\ln (x);]$

Derivando ambos os membros, temos

$[;\frac{D (x^{n+1})}{x^{n+1}}=\frac{n+1}{x} ;]$

Logo,

$[;D(x^{n+1}) = (n+1)x^n;]$

$[;3^{\circ});]$ Modo: Usando Indução e a Fórmula da Derivada do Produto de Duas Funções.

$[;[f(x).g(x)]'=f'(x).g(x)+f(x).g'(x);]$

Tomando $[;f(x) = x;]$ e $[;g(x) = 1;]$ , temos

$[;(x\cdot 1)^{\prime} = x^{\prime}\cdot 1 + x\cdot 1^{\prime};]$

Mas,

$[;x'=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{x+h-x}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} 1=1;]$

de modo que a fórmula válida para $[;n=1;]$ . Agora tomando por hipótese da indução a validade para $[;n;]$ , isto é,

$[;(x^{n})'=nx^{(n-1)} ;]$

vamos mostrar que vale para $[;n+1;]$ .

$[;(x^{n+1})^{\prime}=(n+1)x^{n};]$

Sabemos que $[;x^{n+1}=x.x^{n};]$ , usando então a derivada do produto, temos

$[;(x^{n+1})'= (x.x^{n})'=x'.x^{n}+x.(x^{n})'=x^{n}+x.n.x^{n-1} \quad \Rightarrow;]$

$[;(x^{n+1})'=x^{n}+n.x^{n}=(n+1)x^{n};]$

Notas:

- Este post foi enviado pelo amigo Rodrigo Carlos Lima de Silva (Rodrigo Renji) da comunidade Matemática e Física do Orkut.
- Meus sinceros agradecimentos ao autor por essa inestimável contribuição ao blog Fatos Matemáticos.

Gostará de ler também:
- A Integral Definida e o Limite de Somas;
- O Truque de Gauss;