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quinta-feira, 15 de julho de 2010

Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 2)

Geometricamente, uma função ímpar é anti-simétrica e uma função par é simétrica em relação ao eixo [;y;] para valores de [;x\ ;] em um intervalo simétrico.

Deste modo, se uma função [;f;] está definida sobre um intervalo [;[-a,a];], então o cálculo de integrais definidas pode ser simplificado, conforme veremos neste post.

Proposição 1: Se [;f;] é uma função contínua e par em [;[-a,a];], então

[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx;]

Demonstração: Sendo [;f;]contínua neste intervalo, a integral existe e sendo uma função par, temos [;f(-x) = f(x) \quad \forall x \in [-a,a];]. Assim,

[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = \int_{-a}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx = \int_{a}^{0}f(-y)d(-y) + \int_{0}^{a}f(x)dx \quad \Rightarrow;]

[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = \int_{0}^{a}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx = 2\int_{0}^{a}f(x)dx;]

Exemplo 1: Observando a figura acima e aplicando a Proposição [;1;], temos:

[;\int_{-3\pi/2}^{3\pi/2} \cos x dx = 2\int_{0}^{3\pi/2}\cos x dx = 2\sin x \ |_{0}^{3\pi/2} = -2;]

Proposição 2: Se [;f;] é uma função contínua e ímpar em [;[-a,a];], então

[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0;]

Demonstração: Sendo [;f;] uma função contínua, a integral existe e sendo ímpar, segue que [;f(-x) = -f(x) \quad \forall x \in [-a,a];]. Assim,

[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = \int_{-a}^{0}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx = \int_{a}^{0}f(-y)(-dy) + \int_{0}^{a}f(x)dx \quad \Rightarrow;]

[;\int_{-a}^{a}f(x)dx = - \int_{0}^{a}f(x)dx + \int_{0}^{a}f(x)dx = 0;]
Exemplo 2: Calcule a integral imprópria

[;\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\sin x dx;]

Resolução: Sejam [;f(x) = e^{-x^2};] e [;g(x) = \sin x;]. Sendo [;f;]uma função par e [;g;] uma função ímpar, segue que o integrando [;f(x)g(x);] é uma função ímpar em um intervalo simétrico. Pela Proposição [;2;], concluímos que a integral imprópria é nula.

Exemplo 3: Se [;f(x);] é uma função ímpar e

[;\int_{3}^{5}f(x)dx = -2;]
determine
[;\int_{-3}^{5}f(x)dx;]

Resolução: Usando a propriedade de integrais definidas, podemos escrever

[;\int_{-3}^{5}f(x)dx = \int_{-3}^{-5}f(x)dx + \int_{-5}^{3}f(x)dx + \int_{3}^{5}f(x)dx \qquad \Rightarrow;]

[;\int_{-3}^{5}f(x)dx = \int_{3}^{5}f(-y)(-dy) - \int_{3}^{-5}f(x)dx - 2 \quad \Rightarrow;]

[;\int_{-3}^{5}f(x)dx + \int_{3}^{-5}f(x)dx = \int_{3}^{5}f(y)dy - 2 = -4 \qquad \Rightarrow;]

[;\int_{-3}^{5}f(x)dx + \int_{-3}^{5}f(-y)(-dy) = -4 \quad \Rightarrow \quad 2\int_{-3}^{5}f(x)dx = - 4;]
Logo,
[;\int_{-3}^{5}f(x)dx = -2;]

Gostará de ler também:
- Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 1);
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 15.7.10
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9 comentários:

  1. Uma correção, no exemplo 2 foi dito que a função g(x)=sen(x) é par quando na verdade é o inverso. A função f(x) é par e a g(x) é ímpar. Essa distração não alterou o resultado porque após a correção o produto das duas funções continua ímpar. Sendo o intervalo simétrico, a integral será zero como explica a proposição 2.

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  2. E obrigado ao Prof. Paulo Sergio pelas explicações!

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  3. Obrigado Genas pela leitura atenta. Como sempre digo, não estou imune aos erros, mas tento a todo momento minimizá-los. O problema já foi corrigido. Volte sempre!

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  4. Existe um passo talvez rápido demais na prova da proposição 2:
    int(f(-y)(-dy), a, 0)=int(-f(y)-(dy), a, 0)=
    =int(f(y)(dy), a, 0)=-int(f(y)(dy), 0, a)
    Isto porque para inverter os limites de integração, passamos ao simétrico do integral.

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  5. As vezes, deixo os detalhes para os leitores atentos. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  7. Santo Blog!!! Tava precisando tanto esclarecer isso e aqui tem tudo!!!
    Muito Obrigada!!!

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  8. Muito obrigada, me ajudou na resolução de um exercício de Equações Diferenciais Parciais! Já adicionei o blog nos meus favoritos, rs.

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    Respostas

    1. Que bom que o assunto lhe foi útil e fico em saber que gostou do blog.

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