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O Logaritmo Através da Integral (Parte 1)

Nesta série, iremos definir o logaritmo através da área sob a hipérbole equilátera e provar todas as suas propriedades através dos teoremas do Cálculo Diferencial e Integral, além de apresentar a exponencial como sendo a função inversa da função logarítmica.

A palavra logaritmo significa "número de razão" e foi inventado no início do séc. XVII por John Napier para agilizar o cálculo de expressões aritméticas, pois através dos logaritmos podemos reduzir as multiplicações em somas, as divisões em diferenças, a operação de potenciação em produtos e a extração de raízes quadradas em simples divisões.

Do fato que a função logarítmica é bijetora, investigaremos as propriedades de sua função inversa [;g(x);], concluindo que ela é uma função exponencial e o caso particular [;g(1);] é o famoso número [;e;]. Além disso, apresento resultados clássicos de expressar esta constante, além de apresentar a constante de Euler-Mascheroni.

Conceitos e Propriedades:

Definição 1: O logaritmo natural é definida por

[;\ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}\ dt, \qquad x \succ 0;]

Geometricamente, [;\ln x;] representa a área sob o gráfico da função [;f(t)=1/t;] de [;t=1;] a [;t=x;] para [;x \succ 0;] conforme a figura acima.

PeloTeorema Fundamental do Cálculo, segue que

[;\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x};]

Segue diretamente da definição [;1;], que [;\ln 1 = 0;].

Proposição 1: Seja [;a \in \mathbb{R}^{\ast};]. Então

[;\ln x = \int_{a}^{ax}\frac{1}{t}\ dt \qquad (1);]

Demonstração: Seja [;u=at \ \Rightarrow \ dt=du/a;]. Além disso, se [;t=1;], então [;u=a;] e se [;t=x;], então [;u=ax;]. Logo,

[;\ln x = \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\ dt =\int_{a}^{ax}\frac{1}{u/a}\frac{du}{a}= \int_{a}^{ax}\frac{1}{t}dt;]

Observação 1: Através desta Proposição podemos dizer que a área abaixo da curva[;y=1/x;] é invariante por translação.

Teorema 1: Sejam [;x\ ;] e [;y;] números reais positivos. Então:

i) [;\ln(xy)=\ln x+\ln y,\qquad \forall x,y \in \mathbb{R}_{+}^{\ast};]

ii)
[;\ln(x^{-1})=-\ln x,\qquad \forall x \in  \mathbb{R}_{+}^{\ast};]

iii)


iv)
e [;r \in \mathbb{R};]

Demonstração:

i) Note que,
[;\ln(xy)=\int_{1}^{xy}\frac{1}{t}\ dt=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\ dt +\int_{x}^{xy}\frac{1}{t}\ dt;]

Usando a Prop. [;1;], segue que

[;\ln(xy)=\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\ dt +\int_{1}^{y}\frac{1}{t}\ dt =\ln x + \ln y;]

ii)
[;\ln(x^{-1}) = \int_{1}^{x^{-1}}\frac{1}{t}\ dt =\int_{x}^{xx^{-1}}\frac{1}{t}\ dt = \int_{x}^{1}=-\int_{1}^{x}\frac{1}{t}\ dt = -\ln x;]

iii) Segue imediatamente dos itens i) e ii).

iv) Começaremos a demonstração para [;n \in \mathbb{N};]. Fazendo, [;x=y;] no item i), segue que [;\ln(x^2)=2\ln x;]. Suponhamos que [;\ln(x^n)=n\ln x;]. Assim,

[;\ln(x^{n+1}) = \ln(x^n\cdot x)=\ln(x^n)+\ln x = n\ln x + \ln x= (n+1)\ln x;]

Se [;n \prec 0;], o fato continua válido devido ao item ii). De fato,

[;\ln (x^n)=\ln x^{-(-n)}=\ln(x^{-n})^{-1}=-\ln  x^{-n}=-(-n)\ln x=n\ln x;]

Para [;q \neq 0;],
[;\ln x=\ln x^{q \cdot 1/q}=q\ln x^{1/q};], donde segue que, [;\ln x^{1/q}=\frac{1}{q}\ln x;].
Assim,

[;\ln x^{p/q}=\ln(x^{1/q})^p=p\ln(x^{1/q})=\frac{p}{q}\ln x, \quad\forall p \in \mathbb{Z};] e [;\forall q \in \mathbb{Z}^{\ast};]

Se [;r \in \mathbb{R};], sabemos que existe uma sequência de racionais [;(r_n);] tal que [;\lim_{n \to \infty} r_n = r;]. Logo,

[;\ln(x^r) = \ln(x^{\lim r_n})= \ln (\lim_{n \to  \infty}x^{r_n})= \lim_{n \to \infty}\ln (x^{r_n}) \qquad \Rightarrow;]

[;\ln(x^r) =\lim_{n \to \infty} (r_n \ln x) = \lim_{n \to  \infty} r_n \ln x = r\ln x;]

Gostará de ler também:
- Logarithmos;
- A Integral Definida e o Limite de Somas;

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