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O Método de Eliminação de Gauss para Sistemas Lineares

Um dos métodos mais eficientes para resolver sistemas lineares e achar a inversa de uma matriz é o método de eliminação de Gauss.

Este método de resolver sistemas lineares é um dos mais adotados quando se faz uso do computador, devido ao menor número de operações que envolve.

Ele consiste através de operações elementares sobre as equações do sistema [;Ax = b;] ou

[;\left   \{\begin{array}{ccccc}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots +  a_{1n}x_n  &=& b_1\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n  &=&  b_2\\\ldots \quad \ldots \quad \ldots\\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2  + \ldots +  a_{mn}x_n &=& b_m\\\end{array}\right.;]

reduzí-lo após [;n-1;] passos a um sistema triangular superior, [;Bx = c;] ou

[;\left  \{\begin{array}{ccccccccc}b_{11}x_1 &+&  b_{12}x_2 &+&  \ldots &+& b_{1n}x_n &=& c_1\\  & & b_{22}x_2  &+& \ldots &+& b_{2n}x_n  &=& c_2\\ & &  & & & & &\\ &  & & & & &  b_{mn}x_n &=&  c_m\\\end{array}\right.;]

que é equivalente ao sistema dado. Este sistema é resolvido por substituições retroativas.

Observação 1: Os coeficientes [;a_{ij};], [;b_i;], [;b_{ij};] são todos números reais e a matriz [;A;] é chamada de matriz dos coeficientes.

Um sistema linear que envolve [;m;] equações e [;n;] variáveis pode ter uma única solução, infinitas soluções ou não ter solução. No primeiro caso, dizemos que o sistema é compatível e determinado. No segundo caso, dizemos que o sistema é compatível e indeterminado e no terceiro caso, dizemos que o sistema é incompatível.

A matriz ampliada do sistema linear [;Ax = b;] é definida por

[;M =  \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}   &b_1&\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}   &b_2&\\&\ldots \quad   &\ldots\\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}&b_m\\   \end{bmatrix};]

e será útil no método de eliminação de Gauss.

Definição 1: Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes se eles possuem as mesmas soluções.

As soluções de um sistema linear não é alterada se permutarmos duas linhas quaisquer, ou se multiplicarmos a i-ésima linha por [;k_1;] e adicioná-la com a j-ésima linha multiplicada por outra constante [;k_2;]. Essas transformações efetuadas sobre um sistema linear são conhecidas por operações elementares.

Veremos agora os passos para aplicar o método de eliminação de Gauss. Dado um sistema linear com [;m;] equações e [;n;] variáveis, temos os seguintes passos:

[;1);] Obter a matriz ampliada do sistema linear;

[;2);] Escalonar a matriz ampliada usando operações elementares, isto é, transformar essa matriz em uma matriz triangular superior em que os elementos [;a_{ii} = 1;].

Observação 2: Nesta esta etapa, apresentamos o símbolo [;\leftarrow;] que significa "recebe". Por exemplo, para representar que "a segunda linha recebe a primeira linha adicionada da segunda" escrevemos: [;L_2 \leftarrow L_2 +  L_1;]. É importante observar que [;L_2;] que aparece no lado direito dessa expressão refere-se a matriz ampliada na etapa anterior o [;L_2;] à esquerda é a segunda linha "renovada". Após um número finito de passos, a matriz ampliada esta escalonada. Usaremos também o símbolo [;\sim;] para significar "equivalente a".

Definição 2: Chama-se posto [;P;] de uma matriz, o número de linhas não-nulas.

[;3);] Fazer a análise de acordo com o seguinte teorema:

Teorema 1: Um sistema linear com [;m;] equações e [;n;] variáveis admite solução se e somente se o posto da matriz ampliada ([;P_A;]) é igual ao posto ([;P_C;]) da matriz dos coeficientes. Assim,

a) Se [;P_C = P_A = n;], o sistema é possível determinado;
b) Se [;P_A = P_C \prec n;], o sistema é possível indeterminado;
c) Se [;P_A \neq P_C;] , o sistema é impossível.

Exemplo 1: Use o método de eliminação de Gauss e estude o sistema linear:

[;\left  \{\begin{array}{ccccccccc}x &+& y &=&  5\\ x&-& y  &=& -7\\\end{array}\right.;]

Resolução: A matriz ampliada deste sistema é dada por:

[;\begin{bmatrix} 1 & 1 &  5 \\ 1 & -1 &  -7\end{bmatrix};]

Para escalonar este sistema, eliminamos o termo [;a_{21};], fazendo [;L_2 \leftarrow L_2 - L_1;]. Em seguida, dividimos a segunda linha por [;-2;], ou seja,

[;\begin{bmatrix} 1 & 1 &  5 \\ 1 & -1 &  -7\end{bmatrix} \quad \sim \quad \begin{bmatrix}  1 & 1 & 5 \\ 0  & -2 & -12\end{bmatrix} \quad \sim  \quad \begin{bmatrix} 1 &  1 & 5 \\ 0 & 1 &  6\end{bmatrix};]

Note que [;P_A = P_C = 2;] de modo que o sistema linear é compatível e determinado. Para achar a solução, fazemos as substituições retroativas. Assim, segue diretamente que [;y = 6;] e [;x + 6 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = -1;].

Exemplo 2: Use o método de eliminação Gauss e estude o sistema linear:

[;\left  \{\begin{array}{ccccccccc}2x &+& 4y  &=& 6\\  x&+& 2y &=& 1\\\end{array}\right.;]

Resolução:
A matriz ampliada deste sistema é dada por:


[;\begin{bmatrix} 2 & 4  &6 \\ 1 & 2 &  1\end{bmatrix};]

Permutando a primeira com a segunda linha, temos
[;\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 &   6\end{bmatrix};]. Fazendo [;L_2 \leftarrow L_2 -2L_1;], segue que

[;\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1  \\ 2 & 4 &  6\end{bmatrix} \quad \sim \quad \begin{bmatrix} 1  & 2 & 1 \\ 0  & 0 & 4\end{bmatrix};]

Assim, analisando a última matriz, vemos que [;P_C = 1;] e [;P_A = 2;] e pelo teorema [;1;] acima, o sistema linear é impossível.

Exercício 1: Mostre que o sistema linear abaixo possui infinitas soluções, ou seja, é um sistema compatível indeterminado.

[;\left  \{\begin{array}{ccccccccc}x &+& y &+& z  &=& 0\\  x&-& y &+& z &=&  2\\x&+& 2y  &+& z &=& -1\\\end{array}\right.;]

Gostará de ler também:
- Sistemas Lineares no Balanceamento de Reações Químicas;
- A Lei dos Cossenos Através da Regra de Cramer;
- A Quadratura de Gauss-Legendre;
- Grandes Matemáticos (Carl F. Gauss);

4 comentários:

  1. Exercício 1.

    Trocando a 2.ª com a 3.ª linha da matriz ampliada, obtém-se:

    [1 1 1 0 ]
    [1 2 1 -1]
    [1 -1 1 2]

    E por eliminação de Gauss, a seguinte matriz triangular superior:

    [1 1 1 0 ]
    [0 1 0 -1]
    [0 0 0 2 ]

    Como

    P_A = P_C = 2 < 3 = n

    pelo Teorema 1 o sistema é resolúvel, mas indeterminado.

    ---

    De facto, da matriz triangular tira-se:

    z = 1 - x
    y = -1
    0 = 0 (condição verdadeira)

    --

    No meu blog tenho uma variante, chamada método de Gauss por pivotagem parcial.

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  2. Transcrição para o latex da resolução do problema apresentado pelo Tavares do blog Problemas e Teoremas.

    Trocando a 2.ª com a 3.ª linha da matriz ampliada, obtém-se:

    [;\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & 2 \end{bmatrix};]

    E por eliminação de Gauss, a seguinte matriz triangular superior:

    [;\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix};]

    Como [;P_A = P_C = 2 \prec 3 = n;] pelo Teorema [;1;] o sistema é resolúvel, mas indeterminado.

    De facto, da matriz triangular tira-se: [;z = 1 - x;], [;y = -1;] e [;0 = 0;] (condição verdadeira)

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  3. Será que alguém saberia me dizer onde posso utilizar a eliminação de gauss em um fato cotidiano ou algo empresarial?

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    1. A eliminação de Gauss é um procedimento para resolver sistemas lineares. Para as aplicação dos sistemas lineares procure sistemas lineares com circuitos elétricos ou com treliças.

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