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O Problema da Bola na Cesta

A Matemática é tão poderosa que podemos através dela, resolver vários problemas usando suas ferramentas. Um exemplo do que eu estou falando, é o "problema da bola na cesta".

Neste problema, suponhamos que uma cesta tem a forma de uma superfície obtida girando uma região delimitada pela parábola de equação [;y = ax^2;] em torno do eixo [;y;], conforme a figura ao lado. Surgem então as perguntas:

[;1);] Se uma bola é jogada dentro desta cesta trancando em uma posição em que seu centro ocupa um ponto de altura [;y=b;], qual será o raio desta bola?

[;2);] Qual é a maior bola que pode ser colocada dentro desta cesta, de modo que ela continue tocando o fundo desta cesta?

Para responder a questão [;1);], seja

[;y = ax^2 \qquad (1);]

a equação cartesiana da cesta parabólica, com [;a \succ 0;] e considere também a equação da circunferência de centro [;(0,b);] e raio desconhecido [;r;], representando a bola, isto é,

[;x^2 + (y- b)^2 = r^2 \qquad (2);]

Isolando [;x^2;] de [;(1);] e substituindo em [;(2);], obtemos a equação quadrática

[;\frac{y}{a} + (y - b)^2 - r^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 + (1/a - 2b)y + b^2 - r^2 =0 \qquad (3);]

Matematicamente, a bola "tranca" na cesta parabólica, quando ela é tangente a parábola, isto é, quando o discriminante da equação quadrática [;(3);] é nulo. Assim,

[;\Delta = \biggl(\frac{1}{a} - 2b\biggr)^2 - 4(b^2 - r^2) = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \frac{\sqrt{4ab - 1}}{2a};]

Para responder a questão [;2);], devemos impor que o ponto [;(0,0);] é um ponto da circunferência [;x^2 + (y - b)^2 = r^2;], isto é, [;0^2 + (0 - b)^2 = r^2 \quad \Rightarrow \quad b = r;] e a equação quadrática [;(3);] é simplificada para [;y^2 + (1/a - 2r)y = 0;].

Novamente, o raio da maior bola dentro cesta é obtido "inflando" esta circunferência ou bola, até que ela apenas toque na cesta, ou seja, devemos ter

[;\Delta = 0 \quad \Rightarrow \quad \biggl(\frac{1}{a} - 2r\biggr)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \frac{1}{2a};]
Veja a figura abaixo.


Gostará de ler também:
- O Problema das Velas;
- O Problema do Bode Faminto;
- O Problema das Portas.

4 comentários:

  1. Prof. Paulo Sérgio

    Eis um problema exemplar no enunciado, que me parece inspirador na criação de modelos de situações reais, e elegante na solução, ao introduzir a condição de anulamento do discriminante da equação quadrática, evitando ter de determinar as derivadas das funções analíticas das duas curvas, encurtando bastante o cálculo.

    A minha interpretação desse anulamento é a de que, passando a equação quadrática a ter uma única raiz (de multiplicidade dupla), em vez das duas (ou nenhuma) que teria, se o discriminante fosse positivo (ou negativo), a consequência é a de que os dois (ou zero) pontos de intersecção da circunferência, que é uma curva fechada, com a parábola, degeneram num único ponto: o de tangência, onde as curvas se tocam.

    Américo Tavares

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  2. Realmente, sempre que possível, procuro aplicar os conceitos simples para explicar algumas situações reais. Essa técnica de anulamento do discriminante foi muito bem explorada por Descartes para determinar retas tangentes sobre curvas algébricas.

    Novamente, agradeço muito pelo seu comentário que enriquece cada vez mais o blog.

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  3. A relação obtida para "b" e "r" já resolvia o problema. Por outro lado, a equação quadrática em y tem algum erro. Isso porque só dá valores nulos para y. Vejamos: y^2 + (1/a - 2r )y =0. Agora, y =0 ou y = -1/a + 2r = -1/a + 2(1/2a) = -1/a + 1/a =0. E agora? Está havendo alguma confusão aí.

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  4. Não tem confusão nenhuma. Você obteve y = 0 de dois modos. Mas para provar que r = 1/2a, vejamos uma outra demonstração usando o círculo osculador de uma curva plana. Nos livros de Cálculo, a curvatura é dada por

    [;\tau = \frac{y^{\prime \prime}}{[(x^{\prime})^2 + y^{\prime})^2]^{3/2}};]

    Para a função y = ax^2, no ponto (0,0), [;\tau = 2a;], de modo que o raio do círculo osculador é [;R = \frac{1}{\tau} = 1/2a;] resultado igual ao obtido anteriormente.

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