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Provas do Teorema de Pitágoras (Parte 10)

Para esta demonstração do teorema de Pitágoras, considere a figura ao lado, formada a partir de um triângulo retângulo de catetos [;b;] e [;c;] e hipotenusa [;a;]. Paralelo a hipotenunsa, traçamos um segmento dividido pelo ângulo reto em duas partes [;x\ ;] e [;y;], de modo que [;x + y =a;].

Além disso, essa figura é formada por [;4;] regiões, numeradas de [;1;] a [;4;]. Note que o triângulo retângulo inicial é a região [;1;] e a altura do retângulo formado pelas regiões [;1;], [;3;] e [;4;] será denotada por [;z;].

Por semelhança de triângulos, temos:

[;\frac{x}{b} = \frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad x=   \frac{b^2}{a} \quad (1);]

[;\frac{z}{b} = \frac{c}{a} \quad  \Rightarrow \quad z =  \frac{bc}{a} \quad (2);]

[;\frac{y}{c} = \frac{c}{a} \quad \Rightarrow \quad y =   \frac{c^2}{a} \quad (3);]

Representaremos por [;S_1;], [;S_2;], [;S_3;] e [;S_4;] as áreas dos triângulos que representam as regiões [;1;], [;2;], [;3;] e [;4;]. Assim,

[;(S_1 + S_3 + S_4) + S_2 = (S_1 +  S_2) + S_3 + S_4 \quad  \Rightarrow;]

[;\quad z(x + y) + S_2 = bc + \frac{yz}{2} + \frac{xz}{2}  \quad \Rightarrow xz - \frac{xz}{2} + yz - \frac{yz}{2} = bc -  \frac{bc}{2};]

donde segue que
[; xz + yz = bc \quad (4);]

Substituindo as expressões [;(1);], [;(2);] e [;(3);] em [;(4);], segue que

[;\biggl(\frac{b^2}{a} +  \frac{c^2}{a}\biggr)\frac{bc}{a} = bc \quad \Rightarrow \quad  \frac{b^2}{a^2} + \frac{c^2}{a^2} = 1;]
ou seja,
[;b^2 + c^2 =  a^2;]

3 comentários:

  1. Só uma observação,no somatório das áreas ficou lá:z(x+y)+S1=...Mas Z(x+y)=(S1+S3+S4):. então deveria estar:. z(x+y)+S2.
    (mas é só um detalhe)

    Bela demonstração.
    Forte abraço.

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  2. Olá... também estou com um blog de MAtemática. =]

    Já visitava aqui antes mesmo de ter um.

    Passa lá dar uma conferida. Ainda é muito recente.

    www.nolimitedamatematica.blogspot.com

    abçs.

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  3. Muito obrigado Diogo pela observação. Já corrigi o problema. Abraços!

    Soter, irei sim ver o seu blog. Até mais.

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