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terça-feira, 10 de agosto de 2010

Construindo a Cardióide com Barbantes


Veremos neste post como podemos construir uma cardióide através de barbantes, uma tábua quadrada de madeira ([;25\ cm \times 25\ cm;]), um compasso, martelo, [;36;] pregos pequenos e um transferidor.

A cardióide que em coordenadas polares é dada por [;\rho(\theta) = a(1\pm \cos \theta);] ou [;\rho(\theta) = a(1 \pm \sin \theta);], é uma caso particular de uma família de curvas chamada de limaçon de Pascal que são dadas por [;\rho(\theta) = a \pm b\cos\theta;] ou [;\rho(\theta) = a\pm b\sin \theta;]. No caso em que [;a = b;], obtemos as cardióides.

As cardióides são usadas nos projetos de certos tipos de microfones, captando os sons vindo pela frente com mais intensidade e nas laterais com menos intensidade. Para saber mais sobre os tipos de microfones (click aqui). Vejamos agora, como podemos construir a cardióide.

[;1^{\underline{0}});] Passo: Determine o centro da placa quadrada traçando suas diagonais. O ponto de encontro dessas diagonais é o centro.

[;2^{\underline{0}});] Passo: Use o compasso e desenhe uma circunferência de raio [;10\ cm;]. Em seguida, use o transferidor e marque [;36;] espaçados de [;10^{0};] sobre esta circunferência.

[;3^{\underline{0}});] Passo: Use o martelo e pregue os [;36;] pregos sobre os pontos marcados. Para facilitar a colocação dos barbantes, numere esses pregos de [;0;] a [;35;].

Os pregos numerados devem ser ligados seguindo a fórmula [;f(n) = 2n\quad (mod \ 36);]. Os pares ordenados [;(n,f(n));] significa que o prego [;n;] liga-se ao prego [;f(n);]. Por exemplo, o par ordenado [;(10,23);] significa que o prego [;10;] deve ser ligado através do barbante ao prego [;23;].

Fazendo os cálculos, obtém os seguintes pares ordenados:

[;(1,2);], [;(2,19);], [;(3,6);], [;(4,8);],[;(5,10);],[;(6,12);],[;(7,14);],[;(8,22);],[;(9,18);],[;(10,23);],[;(11,22);],[;(12,24);],[;(13,26);],[;(14,25);],[;(15,30);],[;(16,32);],[;(17,34);],[;(18,0);],[;(19,2);],[;(20,4);],[;(21,6);],[;(22,11);],[;(23,10);],[;(24,12);],[;(25,14);],[;(26,13);],[;(27,18);],[;(28,14);],[;(29,22);],[;(30,24);],[;(31,26);],[;(32,28);],[;(33,30);],[;(34,32);],[;(35,34);].

Ligando todos esses pregos, obtém uma cardióide, conforme a figura acima.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 10.8.10
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2 comentários:

  1. Parabéns pelo blog e por esse post, como professor de desenho geométrico, vou aplicar essa atividade em sala de aula como alunos do 9º ano do ensino Fundamental (Colégio Harmonia).

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  2. Muito obrigado pelos elogios Carlos. Realmente é uma excelente atividade para fazer com os alunos. Volte sempre!

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