Expressões Modulares

Em muitas situações, precisamos analisar expressões matemáticas em que surgem o valor absoluto ou módulo de uma expressão algébrica. Neste post, veremos as equações, as inequações, as funções e alguns limites em que as expressões modulares estão presentes.

Definição 1: O valor absoluto ou módulo de é dado por

Analisaremos diversas expressões matemáticas a partir desta definição. Vejamos incialmente as equações modulares.

Definição 2: As equações modulares podem ser: com , e .

Exemplo 1: Resolva a equação modular .

Resolução: Observe que não é solução, de modo que temos duas possibilidades.
: Neste caso, , de modo que . Assim, (não serve, pois ) e .

: Neste caso, , de modo que

A segunda solução deve ser desprezada, pois neste caso. Logo, .

Exemplo 2: Resolva a equação .

Resolução: Para esta equação, temos que impor a condição existência dada por. Usando a definição de módulo, temos

Resolvendo cada uma dessas equações obtemos e . Sendo , segue que o conjunto solução é dado por .

Proposição 1: Seja . Então
i) ;
ii)

A demonstração é simples, basta elevar ao quadrado e analisar a inequação ou . Além desta proposição, algumas inequações são resolvidas analisando adequadamente os intervalos onde a variável é negativa e positiva.

Exemplo 3: Resolva a inequação modular .

Resolução: Pela condição existência, , de modo que temos casos:
Se , então . Assim, .
Se , então , então . Assim,

Logo,

Exemplo 4: Resolva a desigualdade .

Resolução: Usando a Prop. 1, temos: e . Assim, e . Sendo , segue que . Pela segunda desigualdade, , obtemos e . Logo, a solução desta inequação é .

Algumas funções podem expressas por módulos. A função (Figura ao lado) é a mais clássica de todas, pois é um exemplo de uma função contínua não-diferenciável.

Exemplo 5: Faça o gráfico da função .

Resolução: Observe que o domínio desta função é . Temos dois casos a serem considerados.

Se , isto é, . Assim, . Usando a definição de módulo, podemos escrever

Desta forma, o gráfico de em é composto de duas retas. No caso em que , isto é, e , temos . Usando a definição de módulo podemos escrever

Na figura abaixo, temos o gráfico desta função

Exercícios Propostos.
1) Mostre que as soluções da equação são e .
2) Faça e resolva a equação modular . R: .
3) Resolva a inequação modular . R: e .
4) Mostre que o conjunto solução da inequação é dado por .
5) Resolva a desigualdade . R: .
6) Mostre que a solução da inequação modular é o intervalo .
7) Resolva a equação modular . R: .
8) Faça o gráfico da função . R: Ver figura acima
9) Esboce o gráfico da função .

Gostará de ler também:
- Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 1);
- Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 2);