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Expressões Modulares

Em muitas situações, precisamos analisar expressões matemáticas em que surgem o valor absoluto ou módulo de uma expressão algébrica. Neste post, veremos as equações, as inequações, as funções e alguns limites em que as expressões modulares estão presentes.

Definição 1: O valor absoluto ou módulo de [;x\ ;] é dado por

[;\mid x \mid =\begin{cases}x, \quad \text{se} \quad x \geq 0\\ -x, \quad \text{se} \quad x \prec 0\\\end{cases};]

Analisaremos diversas expressões matemáticas a partir desta definição. Vejamos incialmente as equações modulares.

Definição 2: As equações modulares podem ser: [;\mid f(x)\mid = k;] com [;k \succ 0;], [;\mid f(x) \mid = g(x);] e [;\mid f(x) \mid = \mid g(x) \mid;].

Exemplo 1: Resolva a equação modular [;x^2 - 2\mid x \mid = 8;].

Resolução: Observe que [;x = 0;] não é solução, de modo que temos duas possibilidades.
[;1^{\underline{a}});] [;x \succ 0;]: Neste caso, [;\mid x \mid = x;], de modo que [;x^2 - 2x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \pm 3 ;]. Assim, [;x^{\prime} = -2;] (não serve, pois [;x \succ 0;]) e [;x^{\prime \prime} = 4;].

[;2^{\underline{a}});] [;x \prec 0;]: Neste caso, [;\mid x \mid = - x;], de modo que

[;x^2 - 2(-x) = 8 \quad x^2 + 2x - 8 =0 \quad \Rightarrow \quad x^{\prime} = -4, \quad x^{\prime \prime} = 2;]

A segunda solução [;x^{\prime \prime} = 2;] deve ser desprezada, pois [;x \prec 0;] neste caso. Logo, [;S = \{-4,4\};].

Exemplo 2: Resolva a equação [;\mid x^2 - 3x \mid = x - 1;].

Resolução: Para esta equação, temos que impor a condição existência dada por[;x - 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 1;]. Usando a definição de módulo, temos

[;\mid x^2 - 3x \mid = x - 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 3x = \pm (x - 1) \quad \Rightarrow;][;\begin{cases}x^2 - 4x + 1 = 0\\x^2 - 2x - 1 = 0\\\end{cases};]

Resolvendo cada uma dessas equações obtemos [;x = 2 \pm \sqrt{3};] e [;x = 1 \pm \sqrt{2};]. Sendo [;x \geq 1;], segue que o conjunto solução é dado por .

Proposição 1:
Seja
[;a \succ 0;] . Então
i)
[;\mid x \mid \prec a \quad \Longleftrightarrow \quad -a \prec x \prec a;];
ii)
[;\mid x \mid \succ a \quad \Longleftrightarrow \quad x \prec -a \ \text{ou} \ x \succ a;]

A demonstração é simples, basta elevar ao quadrado e analisar a inequação [;x^2 \prec a^2;] ou [;x^2 \succ a^2;]. Além desta proposição, algumas inequações são resolvidas analisando adequadamente os intervalos onde a variável é negativa e positiva.

Exemplo 3: Resolva a inequação modular [;x\mid x \mid \succ x;].

Resolução: Pela condição existência, [;x \neq 0;], de modo que temos [;2;] casos:
[;1^{\underline{0}});] Se [;x \succ 0;], então [;\mid x \mid = x;]. Assim, [;x\mid x \mid \succ x \quad \Rightarrow \quad \mid x \mid \succ 1 \quad \Rightarrow \quad x \succ 1;].
[;2^{\underline{0}});] Se [;x \prec 0;], então [;\mid x \mid \prec 0;], então [;\mid x \mid = - x;]. Assim,

[;x\mid x \mid \succ x \quad \Rightarrow \quad x(-x) - x \succ 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 - x \succ 0 \quad \Rightarrow;]

[; x(x + 1) \prec 0 \quad \Rightarrow \quad -1 \prec x \prec 0;]


Logo, [;S = (-1,0)\cup (1,+\infty);]

Exemplo 4: Resolva a desigualdade
[;\mid 1 - \mid 1 - x \mid \ \mid \geq 1;].

Resolução: Usando a Prop. 1, temos: [;\mid 1 - \mid 1 - x \mid \ \mid \geq 1 \quad \Longleftrightarrow \quad 1 - \mid 1 - x \mid \geq 1;] e [;1 - \mid 1 - x \mid \leq - 1;]. Assim, [;-\mid 1 - x \mid \geq 0;] e [;-\mid 1 - x \mid \leq -2;]. Sendo [;\mid 1 - x \mid \geq 0;], segue que [;x = 1;]. Pela segunda desigualdade, [;\mid 1 - x \mid \geq 2;], obtemos [;1 - x \leq -2;] e [;1 - x \geq 2;]. Logo, a solução desta inequação é [;S=(-\infty, -1]\cup\{1\}[-3,+\infty);].

Algumas funções podem expressas por módulos. A função [;f(x) = \mid x \mid;] (Figura ao lado) é a mais clássica de todas, pois é um exemplo de uma função contínua não-diferenciável.

Exemplo 5: Faça o gráfico da função [;f(x) = \mid 1 - \mid x \mid \ \mid;].

Resolução:
Observe que o domínio desta função é [;\mathbb{R};]. Temos dois casos a serem considerados.


[;1^{\underline{0}});] Se [;1 - \mid x \mid \geq 0;], isto é, [;\mid x \mid \leq 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \leq x \leq 1;]. Assim, [;f(x) = 1 - \mid x \mid;]. Usando a definição de módulo, podemos escrever

[;f(x) = \begin{cases}1 - x \quad \text{se} \quad 0 \leq x \leq 1\\1 + x \quad \text{se}\quad -1 \leq x \leq 0\end{cases};]

Desta forma, o gráfico de [;f;]em [;[-1,1];] é composto de duas retas. No [;2^{\underline{0}});] caso em que [;1 - \mid x \mid \prec 0;], isto é, [;x \prec -1;] e [;x \succ 1;], temos [;f(x) = -(1 - \mid x \mid) = \mid x \mid - 1;]. Usando a definição de módulo podemos escrever
[;f(x) = \begin{cases}x - 1 \quad \text{se}\quad x \succ 1\\-x - 1 \quad \text{se}\quad x \prec -1\end{cases};]

Na figura abaixo, temos o gráfico desta função


Exercícios Propostos.
1) Mostre que as soluções da equação [;\mid 2x - 3 \mid = 4 - x;] são [;x^{\prime} = -1;] e [;x^{\prime \prime} = 7/3;].
2) Faça [;y = \mid x - 6 \mid;] e resolva a equação modular [;\mid x - 6 \mid^2 - 4\mid x - 6 \mid - 5 = 0;]. R: [;S =\{1,11\};].
3) Resolva a inequação modular [;\mid 3x - 1 \mid = 2x + 1;]. R: [;x^{\prime} = 0;] e [;x^{\prime \prime} = 2;].
4) Mostre que o conjunto solução da inequação [;\mid 2x - 8 \mid \prec 10;] é dado por [;S = (-1,9);].
5) Resolva a desigualdade [;\mid x - 1 \mid \cdot \mid x + 2 \mid \succ 4;]. R: [;S = (-\infty,-3)\cup(2,+\infty);].
6) Mostre que a solução da inequação modular [;\mid x - 1 \mid \ \prec \mid x - 2 \mid;] é o intervalo [;(-\infty, 3/2);].
7) Resolva a equação modular [;\mid x - 1 \mid \ \prec \frac{1}{x - 3};]. R: [;S = (3,2 + \sqrt{2});].
8) Faça o gráfico da função [;f(x) = \mid x - 1\mid + \mid 2 - x \mid;]. R: Ver figura acima
9) Esboce o gráfico da função [;g(x) = \mid 4 - x^2 \mid;].

Gostará de ler também:
- Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 1);
- Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 2);

3 comentários:

  1. Muito Bom o Seu Blog Prof Paulo! Ele é muito completo. Indicarei o seu blog aos meus alunos para consulta! Parabéns!! Um forte abraço!

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  2. Muito obrigado Prof. Daniel. Ainda tem muitos posts a serem publicados. Agradeço muito pela divulgação. Sugiro que baixe os dois números do Compêndio como alguns posts em pdf neste link http://fatosmatematicos.blogspot.com/2010/08/compendio-do-blog-fatos-matematicos_20.html

    Abraços!!

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  3. Simples e bem efetiva essa sua aula dobre equação e inequação modular, Paulo. Parabéns pela milésima vez. Huehuehehuhehue...


    Abraços!

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