FATOS MATEMÁTICOS: O Cálculo de Leibniz (Parte 4)

segunda-feira, 23 de agosto de 2010

O Cálculo de Leibniz (Parte 4)

Na segunda parte desta série, apresentei o problema proposto por Huygens sobre a soma da série dos inversos dos números triangulares e a forma como Leibniz resolveu. Sua genialidade o conduziu a criar o triângulo harmônico.

Num manuscrito datado de $[;29;]$ de outubro de $[;1675;]$ , Leibniz obteve o que chamou um "triângulo característico", ideia anteriormente utilizada por Barrow e Pascal.

Leibniz viu que o uso desse triângulo por Pascal no caso do círculo e a sua relação a outros triângulos poderia ser generalizado e aplicado a curvas arbitrárias. Na figura abaixo, $[;s = TA;]$ é a subtangente, $[;TP;]$ é a tangente, $[;n = PB;]$ é a normal e $[;v = AB;]$ é a subnormal. Todas estas grandezas estão relacionadas entre si.

Por semelhança dos triângulos $[;PTA;]$ e $[;PAB;]$ , temos

$[;\frac{y}{s} = \frac{v}{y};]$

e da semelhança dos triângulos $[;PQR;]$ e $[;PTA;]$ , segue que

$[;\frac{dy}{dx} = \frac{y}{s}\quad (1);]$

Todo este cálculo e em especial, sua notação mostrou muito eficaz e de grande utilidade, o que contribuiu significativamente para o seu êxito. Notações e conceitos são virtualmente inseparáveis. Por exemplo a regra da cadeia para $[;z = f(y);]$ e $[;y = g(x);]$ que significa que a derivada de $[;h(x) = f(g(x));]$ é dada por

$h^{\prime}(x) = f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$

Mas através de sua notação diferencial escrevemos

$[;\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx};]$

Leibniz demorou alguns anos para apresentar estas ideias ao público, já que era uma formulação intuitiva, que possui o inconveniente de trabalhar com quantidades infinitamente pequenas e estas não estavam rigorosamente definidas e não eram aceitável na Matemática. Sua primeira publicação foi um pequeno artigo chamado "Nova Methodus pro Maximis et Minimus, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur et singulare pro illis calculi genus" (Um novo método para máximos e mínimos e tangentes, não impedidas por quantidades racionais e irracionais e um singular novo tipo de cálculo para elas.), que apareceu em $[;1684;]$ na Acta Eruditorium.

Neste trabalho original, depois de apresentar o seu Cálculo, Leibniz apresenta três exemplos aplicações, a primeira prova o princípio já conhecido por Descartes e Fermat de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, o segundo é um problema geométrico e o terceiro é o problema de De Beaune que apresentarei abaixo.

O problema que Florimont De Beaune havia proposto originalmente a Descartes em $[;1639;]$ é "Achar uma curva cuja subtangente seja uma constante dada $[;a;]$ ".

Resolução: Da relação $[;(1);]$ acima, fazendo $[;s = a;]$ , obtemos $[;ady = ydx;]$ . Leibniz considera $[;dx = b;]$ constante, o que equivale a ter as abscissas em progressão aritmética. Assim, $[;dy = (b/a)y = ky;]$ , ou seja, os incrementos sobre o eixo $[;y;]$ são proporcionais as suas ordenadas $[;y;]$ e Leibniz concluiu que a curva é uma logarítmica construindo uma solução poligonal que aproxima da solução do problema, a medida que diminuímos os incrementos sobre o eixo $[;x \;]$ .

Este problema e os outros apareceram depois mostrou a potência do novo Cálculo. No próximo post, veremos como Leibniz analisando um artigo de Pascal, desenvolveu a função seno a partir de sua equação diferencial.

Referência Bibliográfica:
- http://www.geocities.com/grandesmatematicos/
- Antonio J. Durán, "História, con personajes de los conceptos del cálculo" Alianza Universidad AU 861.

Gostará de ler também:
- O Cálculo de Leibniz (Parte 1);
- O Cálculo de Leibniz (Parte 2);
- O Cálculo de Leibniz (Parte 3);
- O Triângulo Harmônico de Leibniz.