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domingo, 15 de agosto de 2010

O Problema do Trem

Neste post, veremos um problema que pode ser resolvido por Álgebra Elementar, mas usarei técnicas da Geometria Analítica, permitindo uma visualização gráfica.

Problema: Diariamente, um fazendeiro viajava de trem, e chegava na estação as [;5\ h;] da tarde. Seu motorista ia buscá-lo na estação exatamente às [;5\ h;], e o levava para a fazenda. Um certo dia o maquinista do trem pisou no acelerador com toda força e o trem chegou na estação as [;4\ h;] da tarde. O fazendeiro não quis esperar pelo carro e foi andando a pé pela estrada da fazenda. Depois de um certo tempo, encontrou com o carro que vinha buscá-lo, e o motorista, fazendo meia volta, voltou para a fazenda com o fazendeiro. Nesse dia, o fazendeiro chegou em casa [;20\ min;] mais cedo. Pergunta: Quanto tempo ele andou a pé?

A primeira vista, este problema aparenta ser muito complexo, mas a solução que irei apresentar é baseada em representações geométricas no sistema cartesiano [;s\times t;], facilite a sua compreensão. Particularmente, acredito que a resolução de um problema fica quase determinada, quando conseguimos representá-lo através de um diagrama. Este argumento também foi usada na resolução do "problema das velas" cujo link disponibilizei abaixo.

Sejam [;E;] a estação ferroviária representada por um ponto na origem do sistema de coordenadas, [;C;] uma reta paralela ao eixo [;t;], conforme o diagrama abaixo:

Iremos considerar que [;t = 0;] às [;4\ h;]. A reta em verde que inicia-se em [;E;] é a trajetória do fazendeiro. A trajetória do motorista é formada por um par de retas simétricas (uma que parte de [;C;], intercepta o eixo [;t;] e a outra que sai do eixo [;t;] e intercepta a reta paralela a este eixo e que passa por [;C;]).


Além disso, no diagrama acima, [;t_0;] é um tempo qualquer que o motorista sai de casa, [;t_1;] é a hora em que o motorista chega em casa e seja [;\bar{t};] o tempo de caminhada do fazendeiro o qual desejamos determinar.


Observe que neste dia em que o maquinista pisou no acelerador o caminho percorrido pelo motorista do fazendeiro é o "pequeno v" na parte superior do diagrama. Por simetria, segue que

[;t_1 - 1 = 1 - t_0 \quad \Rightarrow \quad t_0 + t_1 = 2 \qquad (1);]

Novamente por simetria,
[;\bar{t} - t_0 = t_1 - \frac{1}{3} - \bar{t} \quad \Rightarrow \quad 2\bar{t} = t_0 + t_1 - \frac{1}{3};]

Usando [;(1);], temos
[;\bar{t} = \frac{1}{2}\biggl(2 - \frac{1}{3}\biggr) = \frac{5}{6}\ h = 50\ min;]
Gostará de ler também:
- O Problema das Velas;
- O Problema do Bode Faminto;
- Problemas de Otimização Através da Trigonometria;
- Matemática Versus Aplicação.

8 comentários:

  1. by saraeva hehehe
    demorei d+ pra fazer, qndo vi como foi feito fiquei impressionado

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  2. Que bom que gostou do post. Obrigado e volte sempre.

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  3. Prezado Prof. Paulo Sérgio

    Adorei este problema e a sua forma de o resolver: já por cá tinha passado, mas só hoje deixo esta minha opinião.

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  4. Poow amigo! Valeu!

    É um dos problemas do Saraeva, aqui tá bem legal a resposta. vlw msmo!

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  5. Achei este blog por acaso, navegando na Internet. Parabéns por ele... já está devidamente registrado nos "favoritos".

    Especificamente com relação a esse problema, me parece que uma simples operação aritmética o resolve. Se o fazendeiro chegou em casa 20 minutos mais cedo, esse foi o tempo economizado pelo motorista na sua viagem (não pelo fazendeiro). Como sua velocidade é constante, no ponto de encontro o motorista estava a 10 minutos da estação do trem, ou seja, eram 4:50h. Como o fazendeiro começou a caminhar às 4h, ele caminhou durante 50 min.

    Ok?

    Abs.

    Paulo

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  6. Bela forma de resolver este problema Paulo, parabéns pelo seu raciocínio lógico. Fico agradecido por favoritar o blog, pois tem muitos assuntos para serem explorados. Tem a seção de problemas cujas soluções podem ser enviadas por e-mail até o dia 31/03, veja neste link

    http://fatosmatematicos.blogspot.com/2011/03/problemas-dos-fatos-matematicos-parte-7.html

    Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  7. Obrigado, prof., aproveitarei o domingo chuvoso e darei uma olhada no link.

    O problema da ovelha, aqui em seu site, me foi apresentado por um amigo, há um ano, mais ou menos. Consegui resolvê-lo somando áreas de calotas, triângulos, etc... e a equação final a que cheguei foi resolvida com iterações no Excel. Fiquei satisfeito que nossos valores bateram!!! (eu não tinha nenhuma referência de resposta)

    Durante dois anos colaborei com um site (que nada tinha a ver com matemática), apresentando desafios lógicos e matemáticos quinzenais, com premiação para o primeiro a apresentar a solução justificada.

    Um desses desafios, em particular, encontrei há vários anos... e estava guardado. É lógica pura, e sua resposta é absolutamente surpreendente. Caso seja de seu interesse postá-lo, me informe para onde devo enviá-lo. Tenho certeza que irá gostar (se já não o conhecê-lo).

    Abs.

    Paulo

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  8. O objetivo do blog é divulgar a Matemática em todos os níveis buscando apresentar mais as soluções do que os problemas, pois desta forma, ela se torna clara até para os leigos, dismitificando que ela é apenas para os inteligentes ou preparados.

    Ultimamente, eu abri espaço para que outras pessoas possam publicar seus trabalhos e pequenos artigos no blog, por exemplo, o Prof. Carlos já me enviou dois artigos "Estudando uma equação de grau 7" e "Seno e cosseno hiperbólico de mãos dadas com a hipérbole equilátera", veja estes artigos na página de posts por ordem alfabética. A sessão de problemas é reservada para os problemas usuais de Geometria, Cálculo, Álgebra Elementar e Trigonometria.

    Sendo assim, seriam muito bem-vindos os desafios na forma de artigos de 3 a 5 páginas, com diagramas ou figuras caso necessário, com referência se possível. Pode ser digitado no Word ou manuscrito e digitalizado o qual pode ser enviado para o e-mail linnux2001@gmail.com

    O blog fará um agradecimento ao autor por essa contribuição. Caso tenha interesse, uma vez enviado o artigo, ele é logo publicado.

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