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O Tempo de Impacto de um Meteoro

O termo meteoro vem do grego meteoron que significa "fenômeno no céu". Em linguagem corrente é comum chamar esses objetos de estrela cadente.

Ocorre a queda de um meteoro quando poeira do Sistema Solar entra em contato com a atmosfera terrestre deixando um rastro luminoso no céu. As partículas que atingem o solo e não foram vaporizadas são chamadas de meteoritos. Os meteoros originam no interior do sistema solar e são pequenas para serem chamadas de cometas ou asteróides.

Neste post, iremos deduzir uma fórmula para calcular o tempo de queda de um meteoro, desprezando o atrito com a atmosfera e com a hipótese de que a única força agindo sobre este corpo é a força gravitacional da Terra e para simplificar os cálculos, admitiremos que o meteoro parte do repouso de uma altura [;h;], conforme a figura abaixo:

Da [;2^{\underline{a}};] lei de Newton, [;ma = -\frac{GMm}{x^2};], donde segue que

[; (1)\qquad \begin{cases}\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{GM}{x^2}\\\text{com}\quad x(0) = R + h \quad \text{e} \quad v(0) = 0\\\end{cases};]

Para resolver este problema de valor inicial, observe que

[;v = \frac{dx}{dt} \quad \Rightarrow \quad \frac{d^2x}{dt^2} = \frac{d}{dt}\biggl(\frac{dx}{dt}\biggr) = \frac{d}{dx}\biggl(\frac{dx}{dt}\biggr)\frac{dx}{dt} = v\frac{dv}{dx} \qquad (2);]

Além disso,
[;GM = R^2g \qquad (3);]

Substituindo [;(2);] e [;(3);] na equação diferencial dada em [;(1);], temos

[;v\frac{dv}{dx} = -\frac{R^2g}{x^2} \quad \Rightarrow \quad \int_{0}^{v}vdv = -R^2g\int_{R_0}^{x}\frac{dx}{x^2}\quad \Rightarrow;]

[;\frac{v^2}{2} = \frac{R^2g}{x}\biggr]_{R_0}^{x} = R^2g\biggl(\frac{1}{x}-\frac{1}{R_0} \biggr);]

onde [;R_0:=R + h;]. Desta expressão, segue que

[;v = -\sqrt{2g}R\sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{R_0}}\qquad (3);]

Na relação [;(3);] a velocidade toma sinal negativo por ser crescente à medida que [;x\ ;] decresce. Poderíamos ter usado a conservação de energia para esta expressão.

[;\frac{dx}{dt} = -\sqrt{2g}R\sqrt{\frac{R_0 - x}{R_0x}} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{2g}RT = -\int_{R_0}^{R}\frac{dx}{\sqrt{\frac{R_0 - x}{R_0x}}} \qquad (4);]

pois [;t = 0;] para [;x = R_0;]. O próximo passo é resolver a integral integral indefinida

[;\int \frac{dx}{\sqrt{\frac{R_0 - x}{R_0x}}};]

Para isto, iremos fazer algumas mudanças de variáveis e a primeira delas é


[;\frac{R_0 - x}{R_0x} = u^2 \quad \Rightarrow \quad R_0 - x = R_0u^2x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{R_0}{R_0u^2 + 1};]

donde segue que

[;dx = -\frac{R_0^2udu}{(R_0u^2 + 1)^2} \quad \Rightarrow \quad \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{R_0 - x}{R_0x}}} = -2R_0^2\int \frac{du}{(R_0u^2 + 1)^2};]
A seguir fazemos
[;u = \frac{\tan \theta}{\sqrt{R_0}} \quad \Rightarrow \quad du = \frac{\sec^2\theta d\theta}{\sqrt{R_0}};]
Assim,
[;\int \frac{dx}{\sqrt{\frac{R_0 - x}{R_0x}}} = -2R_0^2\int \frac{\frac{\sec^2 \theta}{\sqrt{R_0}}d\theta}{(\tan^2\theta + 1)^2} = -2R_{0}^{3/2}\int \cos^2 \theta d\theta;]

Usando o fato que [;2cos^2\theta = 1 + \cos 2\theta;] e integrando, obtemos



Sendo [;\tan \theta = \sqrt{R_0}u;], obtemos o triângulo retângulo

Deste triângulo, segue que

[;\sin \theta = \frac{\sqrt{R_0}u}{\sqrt{1 + R_0u^2}} \qquad \text{e} \qquad \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1 + R_0u^2}};]

Mas, [;1 + R_0u^2 = R_0/x;] e [;u = \sqrt{\frac{R_0 - x}{R_0x}};], de modo que

[;\sin \theta \cos \theta = \sqrt{\frac{R_0 - x}{R_0}}\cdot \sqrt{\frac{x}{R_0}} \qquad \text{e} \qquad \theta = \arctan \sqrt{\frac{R_0 - x}{x}}\qquad (6);]

Substituindo [;(6);] em [;(5);], temos

[;\int \frac{dx}{\sqrt{\frac{R_0 - x}{R_0x}}} = -R_0^{3/2}\biggl[\arctan \sqrt{\frac{R_0 - x}{x}} + \frac{1}{R_0}\sqrt{x(R_0 - x)}\biggr];]

Substituindo esta expressão em [;(4);], temos o tempo de queda do meteoro, isto é,

[;T = \sqrt{\frac{(R + h)h}{2Rg}} + \frac{(R + h)^{3/2}}{R\sqrt{2g}}\arctan \sqrt{\frac{h}{R}}\qquad (7);]

Exemplo: Determine o tempo de impacto de um meteoro que está a [;400.000\ km;] da superfície terrestre (quase a distância da Terra-Lua). Adote [;R = 6370\ km;] e [;g = 9,81\ m/s^2;].

Resolução: Note que [;R = 6370\ km = 6.370.000 = 6,37\times 10^6\ m;] e que [;h = 400.000\ km = 4\times 10^8\ m;]. Usando a fórmula [;(7);] acima, temos:

[;T = 4,196\times 10^5 + 3,61\times 10^4 = 4,56\times 10^5\ seg \simeq 5\ dias \ 6\ h\ 40\ min;]

Referência Bibliográfica:
- Astronomia On-line. Núcleo de Astronomia: http://www.ccvalg.pt/astronomia/.

Gostará de ler também:
- A Terra Vista do Alto;
- Uma Fórmula Para Calcular a Densidade Média Solar;
- Velocidade de Escape;
- Um Modo Diferente de Medir a Aceleração da Gravidade;
- A Velocidade Terminal de um Pára-Quedas.

12 comentários:

  1. Obrigado André. Realmente, é uma fórmula bem interessante.

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  2. Caral... Me apaixonei agora véio!

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  3. Acho legal o jeito que usam a substituição para aplicar o cálculo na física.

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  4. Oi, Prof. Paulo Sérgio,

    Eu fiz um cálculo ligeiro aqui que diz que um corpo partindo da terra com a velocidade de escape, atinge a lua em pouco mais que [;2;] dias. Pelo seu exemplo, acho que isto indica que um corpo caindo de uma distância Lua-Terra atinge o solo terrestre com uma velocidade menor que a velocidade de escape, não? Tendo em vista também que a Lua é influenciada pela gravidade terrestre ( ainda não "escapou" ). Fiquei empolgado sobre isso, talvez eu prepare uma matéria para o próximo post.

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  5. O corpo pode atingir a superfície da Terra com uma velocidade menor, igual ou maior que a velocidade de escape. Observe ainda que pela expressão acima, quanto maior a distância do objeto, maior é o tempo de chegada a Terra. Sobre velocidade de escape veja o post http://fatosmatematicos.blogspot.com.br/2009/07/velocidade-de-escape.html

    Fiquei curioso sobre o próximo post, seria interessante publicar algo sobre o assunto. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  6. Estou dizendo assim: Se um corpo é atirado da Terra com a velocidade mínima para atingir a Lua, então esta velocidade deve ser menor que a velocidade de escape da gravidade terrestre. Justificativa: se a Lua parar de girar, ela cai na Terra. Se um corpo fosse atirado à Lua com a velocidade de escape, pelo cálculo que fiz ( talvez tenha errado, vou refazer ), ele atingiria a mesma em pouco mais que [;2;] dias.

    Sobre o corpo atingir a Terra com uma velocidade maior que a de escape, eu acho que ele teria que ter um vetor velocidade inicial sentido para baixo, o que acha?

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    1. É estranho falar em velocidade mínima para atingir a Lua. Desprezando a resistência do ar, todo corpo arremessado perpendicularmente a superfície terrestre irá escapar da gravidade terrestre, se for lançado com velocidade maior ou igual a 11,2 km/s. Com essa velocidade e admitindo que a Lua esteja a 384000 km, segue que este corpo irá atingir a Lua em 9 horas.

      Sobre a Lua cair na Terra, na verdade ela está sempre caindo. Mas suponhamos que ela parasse de girar em torno da Terra e viesse em direção ao nosso planeta. Neste caso, vemos que o tempo é independente da massa da Lua, pois a fórmula acima depende de g (gravidade terrestre) e pelo exemplo acima, temos que uma distância de 400.000 km leva 5 dias e 6 horas. Adotando a distância Terra-Lua de 384000 km, teremos algo em torno de 5 dias.

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  7. Desculpe, professor, não entendi.

    Quando falo de velocidade mínima para atingir a Lua, é de forma que o corpo atinja a distância Terra-Lua, anule a velocidade para depois ser puxado para a Terra de novo. Se ele sair da Terra com a velocidade de escape, acredito que ele ultrapasse a Lua para, adiante, zerar sua velocidade e aí, sim, estar livre da gravidade terrestre. Este cálculo do Sr em que o corpo chega a Lua em 9 horas foi com o impulso inicial de 11,2 Km/s ou manteve-se esta velocidade até atingir a Lua??

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    1. Agora entendi o que você quis dizer sobre a velocidade mínima. Sob estas condições também acho que a velocidade será menor que a velocidade de escape. Não fiz as contas, mas acho que sei uma expressão para ela. É claro que devemos levar em conta a variação da gravidade terrestre.

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  8. Obrigado, Professor, por sanar as minhas dúvidas.

    Só assim, caso eu decida postar sobre este assunto, posso fazer com alguma confiança, tendo em vista que, vc já postou sobre o assunto e tenho que me espelhar à altura.

    Valeu.

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  9. Por favor, alguém calcule prá mim o que ocorreria se um asteróide de 300 metros de diâmentros, que viajasse à 80.000 km/h, com uma força um milhão de megatons, ele caindo no oceano pacífico o que ocorreria? Até onde suas tsunamis atingiria na China e na Rússia? Chegariam até Israel? Será que o oceano pacífico tornaria o impacto mais catastrófico do que em outro lugar, por causa do círculo de fogo ali presente, e por ser o pacífico a bacia oceânica mais profunda?

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