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Sobre o Produto Vetorial

O produto vetorial é uma ferramenta muito importante na Física e na Matemática Aplicada, pois através dela podemos calcular a área de um triângulo ou paralelogramo definido por dois vetores. O torque pode também ser definido através do produto vetorial.

Neste post, veremos a definição, as propriedades e algumas aplicações deste importante produto.

Definição 1: O produto vetorial dos vetores [;\vec{u} = (x_1,y_1,z_1) = x_1\vec{i} + y_1\vec{j} + z_1\vec{k};] e [;\vec{v} = (x_2,y_2,z_2) = x_2\vec{i} + y_2\vec{j} + z_2\vec{k};] , tomados nesta ordem e denotado por [;\vec{u}\times \vec{v};] é definido por

[;\vec{u}\times \vec{v} =\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_1 & y_1 & z_1 \\x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{bmatrix};]

Desta expressão vemos que o produto vetorial de dois vetores é um vetor. Para resolver o determinante podemos usar o método de Sarrus em que repete a primeira e a segunda coluna. Particularmente, eu prefiro usar o método de Laplace que consiste em transformar o determinante acima em [;3;] determinantes [;2\times 2;], isto é,

[;\vec{u}\times \vec{v} = \begin{vmatrix}y_1 & z_1 \\y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}x_1 & z_1 \\x_2 & z_2 \\ \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}x_1 & y_1 \\x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}\vec{k};]

Usando essa expressão, segue que [;(\vec{u}\times\vec{v})\cdot \vec{u} = (\vec{u}\times\vec{v})\cdot \vec{v} = 0;], ou seja, o produto vetorial é um vetor mutuamente ortogonal aos vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};].

Exemplo 1: Determine um vetor unitário e ortogonal ao plano definido pelos vetores [;\vec{u} = (1,-1,2);] , [;\vec{v}=(2,-1,3);].

Resolução:
Seja [;\vec{n};] o vetor pedido. Usando o desenvolvimento de Laplace, temos:

[;\vec{u}\times \vec{v} = \begin{vmatrix}-1 & 2 \\-1 & 3 \\ \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}1 & 2 \\2 & 3 \\ \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}1 & -1 \\2 & -1 \\ \end{vmatrix}\vec{k} = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} = (-1,1,1);]

Pelo comentário acima, este vetor é ortogonal ao plano definido pelos vetores e [;\vec{v};], mas

[;\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3};]

Para obter o vetor unitário [;\vec{n};], basta dividir pelo seu módulo, isto é,

[;\vec{n} = \frac{\vec{u}\times \vec{v}}{\mid \vec{u}\times\vec{v}\mid } = \frac{(-1,1,1)}{\sqrt{3}};]

As propriedades do produto vetorial decorrem diretamente das propriedades dos determinantes. Assim, se [;M;] uma matriz [;n\times n;] de números reais, então:

[;1);] O sinal de [;\det(M);] é alterado se permutarmos duas de suas linhas;

[;2);] Se uma linha de [;M;] é multiplicada por [;k \in \mathbb{R};], então [;\det(kM) = k\det(M);];

[;3);] Se existem duas linhas proporcionais, então [;\det(M) = 0;];

[;4);] Se a [;i;]-ésima linha da matriz [;M;] é representada por uma soma, então o determinante pode ser escrito como a soma de dois determinantes em que a [;i;]-ésima linha de cada um deles é formada pelas parcelas da soma.

Da propriedade [;1);], segue que [;\vec{v}\times \vec{u} = - \vec{u}\times \vec{v};];
Da propriedade [;2);], obtemos [;(k\vec{u})\times \vec{v} = k(\vec{u}\times \vec{v});];
A propriedade [;(k\vec{u})\times \vec{u} = \vec{0};], segue da propriedade [;3);];
E a propriedade [;\vec{u}\times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\times \vec{v} + \vec{u}\times \vec{w};] é consequência da propriedade [;4);].

Da primeira propriedade, vemos que existem apenas dois vetores unitários ortogonais ao plano formado pelos vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};]. É interessante notar que

[;\vec{i}\times \vec{j} = \vec{k}, \quad \vec{j}\times \vec{k} = \vec{i} \quad \text{e} \quad \vec{k}\times \vec{i} = \vec{j};]
e que
[;\vec{i}\times \vec{i} = \vec{j}\times \vec{j} = \vec{k}\times \vec{k} = \vec{0};]

Para ver a interpretação geométrica do produto vetorial, usaremos a identidade de Lagrange, dada por

[;\mid\vec{u}\times \vec{v}\mid^2 + \mid \vec{u}\cdot \vec{v}\mid^2 = \mid\vec{u}\mid^2\ \mid\vec{v}\mid^2 \qquad (1);]

A demonstração de [;(1);] é clássica e basta desenvolver o membro esquerdo usando as expressões:

[;\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid^2 = (y_1z_2 - y_2z_1)^2 + (x_1z_2 - x_2z_1)^2 + (x_1y_2 - x_2y_1)^2;]
e
[;\mid\vec{u}\cdot\vec{v}\mid^2 = (x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2)^2;]

Deixo para o leitor verificar a expressão [;(1);]. Por outro lado, o produto escalar de [;\vec{u};] e [;\vec{v};] é dado por

[;\vec{u}\cdot \vec{v} = \mid\vec{u}\mid\ \mid\vec{v}\mid\cos \theta \qquad (2);]

Substituindo [;(2);] em [;(1);], temos:

[;\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid^2 = \mid\vec{u}\mid^2\mid\vec{v}\mid^2 - \mid\vec{u}\mid^2\mid \vec{v}\mid^2\cos^2\theta =\mid\vec{u}\mid^2\mid\vec{v}\mid^2(1 - \cos^2\theta);]

[;=\mid\vec{u}\mid^2\mid\vec{v}\mid^2(1 - \cos^2\theta) = \mid\vec{u}\mid^2\mid\vec{v}\mid^2\sin \theta;]
ou seja,
[;\mid\vec{u}\times \vec{v}\mid = \mid\vec{u}\mid\mid\vec{v}\mid\sin \theta;]

Proposição 1: Geometricamente o módulo do produto vetorial de dois vetores representa a área do paralelogramo formado por esses vetores.


De fato, da figura acima, a área do paralelogramo é

[;S = \mid \vec{u}\mid h \qquad (3);]
Mas,
[;\sin \theta = \frac{h}{\mid\vec{v}\mid} \quad \Rightarrow \quad h =\mid \vec{v}\mid \sin \theta \qquad (4);]

Substituindo [;(4);] em [;(3);], temos:

[;S = \mid\vec{u}\mid\mid\vec{v}\mid\sin \theta = \mid\vec{u}\times\vec{v}\mid;]

Observação: Segue deste resultado que a área do triângulo definido pelos vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};] é a metade do módulo do produto vetorial.

Exemplo 2: Determine a área do paralelogramo determinado pelos vetores [;\vec{u} = \vec{AB};] e [;\vec{v} = \vec{AC};], sendo [;A(-1,2,1);], [;B(0,1,3);] e [;C(2,1,-1);].

Resolução:
Sendo
[;\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (0,1,3) - (-1,2,1) = (1,-1,2);]
e
[;\vec{v} = \vec{AC} = C - A = (2,1,-1) - (-1,2,1) = (3,-1,-2);]
então,
[;\vec{u}\times \vec{v} = (1,-1,2)\times (3,-1,-2) = (4,8,2);]

donde segue que
[;S = \mid \vec{u}\times \vec{v}\mid = \sqrt{4^2 + 8^2 + 2^2} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}\ u.a.;]

Gostará de ler também:
- Sobre o Produto Escalar;
- Retas Perpendiculares no Plano;
- A Desigualdade de Cauchy-Schwarz;
- Sobre o Vetor Normal à uma Reta no Plano Cartesiano;
- Torque (Blog O Baricentro da Mente).

19 comentários:

  1. Nossa Paulo! Acho que estou enferrujado! Há quanto tempo não resolvia um problema com produto vetorial! Eu utilizava também o método de Laplace, acho que é mais prático.

    Agradeço pela citação ao artigo sobre Torque que publiquei. Gostaria só de expor que este estudo sobre torque, fiz para explicar a ação das forças gravitacionais do Sol sobre a Terra, que gera um torque devido ao "achatamento polar". Tem aqueles que ainda insistem em nos pergunatr "aonde uso isso?". Pois bem, a Terra é um ótimo exemplo para muitas demonstrações matemáticas. Nós convivemos com tudo isso, mas mal nos damos conta de que existem.

    Só para constar: basicamente utilizei o livro de Física Básica V.1 de Moysés Nussenzveig (ótimo livro!. Versão manuscrita).

    Um forte abraço!

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  2. Todo semestre tenho que ensinar o produto vetorial para meus alunos e neste semestre resolvi fazer um post sobre este assunto. Realmente o planeta Terra é um bom exemplo para as aplicações vetoriais. Por exemplo, publiquei um post sobre a distância de dois pontos sobre a Terra em que usei o produto escalar. Muito obrigado pelo comentário e um grande abraço.

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  3. Boa noite Professor, eu estou estudando Geometria analitica e gostei muito do seu site. Porem acho que na questão da area do paralelogramo contem um erro na parte do produto vetorial, ao inves de ser (4,14,2) não seria (4,8,2)? Poderia me explicar de onde veio o 14? Abraço

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  4. Olá Paulo, realmente houve um erro de digitação já foi consertado. Obrigado pelos elogios e por relatar o erro a cima. Volte sempre!

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  5. olha fiz uma prova de eletromagnetismo hj e meu professor pediu a resposta vetorialmente, a formula usada e a seguinte: F(B)=|q|* V x B

    so que o campo foi dado assim B=1.88 T na direçao posita do eixo z e a velocidade deste modo v= (4.00 î -3.00j)M m/s sendo q=1.6*10^(-19) como ficaria o resultado em modulo e escalar?
    desde ja agradeço a resposta

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  6. Na direção positiva de z, significa que B = 1.88k, onde k é o vetor unitário. Sendo v= (4.00 î -3.00j), basta fazer o produto vetorial VxB = (4.00i - 3.00j)x1.88k. Note que ixk = -j e jxk = i. A direção do campo é horizontal e seu módulo é o módulo do produto vetorial vezes a carga. Deixo os detalhes para você.

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  7. Prof.
    Como eu faço para chegar na identidade de Lagrange?
    " |u X v|² = |u|².|v|²-(u.v)² "

    Dai pra frente eu entendi perfeitamente, o problema é que não estou conseguindo demonstrar essa identidade...
    Se puder me ajudar eu agradeço muito.

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  8. Bom Dia! Tenho dificuldade na seguinte questão onde a e b são vetores e X é produto vetorial:

    Se |a|=3, |b|=4 e a forma com b um ângulo de trinta graus então, |(a+3b)|X|(3a-b)|vale?

    Atentamente,
    Neto

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    1. A solução é a seguinte:
      |(a + 3b)x(3a - b)| = |3axa - 3axb + 9bxa - 3bxb|
      = |10axb|, pois axa = bxb = 0 e -bxa = axb. Mas,
      |10axb| = 10|a||b|sin 30 = 10.3.4.0,5 = 60.

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    2. Grato pela solução mas preciso analisar alguns pontos que ainda estão obscuro em sua solução devido minha ignorância obviamente. Há princípio estava pegando |(a+3b)| = |a|^2 +6|a||b|+|3b|^2 igualmente para |(3a-b)| = |3a|^2-6|a||b|+|b|^2
      Mas não chega no resultado, seria tb correto esse raciocínio?

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    3. Há propósito onde consta -3axb aplicando a distributiva não seria -axb?

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    4. O correto é 10bxa, mas como este termo está dentro do módulo, então tanto faz 10bxa ou -10axb.

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  9. Boa Tarde!

    Não sei se recebeu o seguinte problema a saber:

    Em R^2, a trajetória retilínea de uma avião executando um pouso é definida pelo conjunto de pontos {n,66-n}, -66<n<66. Um controlador, localizado na torre de comando e representado pelo ponto P(20,6), avista inicialmente o ponto A(-40,106) e depois o ponto B (no primeiro quadrante) dessa trajetória. Sabendo que AP̂B=90°, determine as coordenadas do ponto B.

    Desde já grato pela ajuda.

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    1. Recebi sim a sua pergunta, mas esse assunto não condiz com o post dado, por isso, não respondi. Além disso, seria mais educado identificar quando procura ajuda de algum assunto matemático.

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  10. Minhas sinceras desculpas, fui um tanto infeliz na colocação e seja como for tinha a melhor das boas intensões principalmente para alguém que prematuramente se depara com desafios que nem sempre consigue superá-los, então conhecendo minhas limitações recorro à alguém que possa não apenas elucidar mas construir uma amizade onde a aprendizagem e respeito são recíprocos. Seja como for peço humildemente uma ajuda, meu colega e muito mais amigo. Abraço.

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  11. determine o vetor torque provocado pela força F= i-3j=k para mover uma alavanca de raio representado por r=j-2k.

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  12. Bom Dia!

    Meu nome é César e gostaria se possível me ajudar em uma questão de Geometria Analítica Vetorial que já me tirou a "paciência" tentando em resolve-la que é seguinte:

    Determine as equações simétricas da reta s que passa pelo ponto P(1,-2,3), intercepta a reta r: (x-2)/3=(y-1)/2=z+1 e cujo vetor diretor é perpendicular ao vetor v = (1,-3,1).

    Desde já agradeço a ajuda e Boas Festas!

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  13. olá, meu nome é valdefran, poderia me ajudar nesta questão?
    Encontre dois vetores mutuamente ortogonais e ortogonais ao vetor v=(4,2,3), em relação ao produto interno canônico R3.

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    1. Sejam u =(2,-4,0) e w = (4,2,-20/3). Note que u, v e w são mutuamente ortogonais. Na verdade existem infinitos pares de vetores u e w que são ortogonais entre si e também ao vetor v.

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