FATOS MATEMÁTICOS: Usando Nomógrafos Para Calcular Somas e Produtos

segunda-feira, 30 de agosto de 2010

Usando Nomógrafos Para Calcular Somas e Produtos

Nomógrafo é uma calculadora que permite obter graficamente de forma aproximada o resultado de diversas operações aritméticas ou funcionais. Este é um instrumento de cálculo analógico, assim como a régua de cálculo, mas muito interessante para ser usada em oficinas ou em aulas de História da Matemática.

Existem diversos tipos de nomógrafos ou nomogramas, os quais foram muito populares nas primeiras décadas do século passado. Neste post, apresentarei um nomógrafo para efetuar somas e diferenças de números inteiros, ideal para ilustrar as operações neste conjunto numérico, e um nomógrafo para calcular o produto de dois números.

Para confeccionar o nomógrafo para somas e diferenças precisamos apenas de uma folha de papel milimetrado e uma régua. Em seguida, desenhamos $[;3;]$ colunas igualmente espaçadas conforme a figura acima. As escalas $[;A;]$ e $[;B;]$ possuem a mesma escala ( $[;1;]$ cm por exemplo para cada unidade) e a escala central, onde irá efetuar a soma, possui escala igual a metade das escalas em $[;A;]$ e $[;B;]$ .

Construídas essas escalas e numeradas, o seu uso é feito com auxílio de uma régua. Por exemplo, na figura acima, está ilustrado a soma: $[;5 + (-1) = 4;]$ . Para efetuar a subtração, basta proceder de forma inversa, ou seja, $[;4 - (-1) = 5;]$ que é lido na coluna $[;A;]$ e $[;4 - 5 = -1;]$ que é lido na coluna $[;B;]$ .

Na construção do nomógrafo, sugiro que faça colunas compreendidas entre $[;-10;]$ e $[;10;]$ para as colunas $[;A;]$ e $[;B;]$ e de $[;-20;]$ a $[;20;]$ para a coluna central. Para justificar o nomógrafo acima, considere a figura abaixo.

Por semelhança de triângulos, temos

$[;\frac{L - x_2}{m} = \frac{x_1 - x_2}{2m} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{x_1 + x_2}{2}\ u_1;]$

onde $[;u_1;]$ é a unidade de comprimento nas colunas $[;A;]$ e $[;B;]$ . Fazendo $[;u_2 = u_1/2;]$ , onde $[;u_2;]$ é a unidade de comprimento da coluna central, segue que

$[;L = \frac{x_1+x_2}{2}\cdot 2u_2 = (x_1 + x_2)\ u_2;]$

Para o nomógrafo que efetua a multiplicação e a divisão, também é necessário uma folha de papel milimetrado e uma régua. Nesta folha, irá desenhar o gráfico da função $[;y = x^2;]$ usando unidades iguais nos eixos $[;x\ ;]$ e $[;y;]$ (Por exemplo, $[;u.c = 1\ cm;]$ ou $[;2\ cm;]$ ) conforme a figura abaixo.

Feito o gráfico, projetamos encima da curva as subdivisões feitas no eixo $[;x\ ;]$ . Observe que neste eixo não temos números negativos, a escala no lado direito repete-se no lado esquerdo.

Para fazer uma multiplicação, basta alinhar uma régua entre dois pontos sobre a curva e ler o resultado no eixo $[;y;]$ . Por exemplo, $[;2,5\times 2 = 5;]$ conforme ilustrado no gráfico acima. Para compreender o funcionamento deste nomógrafo, analisaremos a figura abaixo.

Sendo $[;y_1 = x_{1}^2;]$ e $[;y_2 = x_{2}^{2};]$ , então a reta que passa passa por $[;(x_1,y_1);]$ e $[;(x_2,y_2);]$ é dada por

$[;y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\cdot (x - x_1) \quad \Rightarrow \quad y - y_1 = \frac{x_{2}^2 - x_{1}^2}{x_2 - x_1}\cdot (x - x_1);]$

Simplificando esta expressão, temos

$[;y = (x_2 - x_1)x + (-x_1)x_2 \qquad (1);]$

A leitura $[;L;]$ é obtida fazendo $[;x = 0;]$ , isto é, $[;L = (-x_1)x_2;]$ . Invertendo o sentido na parte esquerda do eixo $[;x\ ;]$ , segue que $[;L = x_1x_2;]$ como está ilustrado na figura acima.

Outro modo de efetuar o produto é através deste curioso mecanismo, baseado no compasso militar de Galilleu. A justificativa segue do teorema de Tales.