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Cálculo Mental (Parte 5)

Artifícios de cálculos mentais são importantes para desenvolver o raciocínio, além de diminuir a dependência exagerada do uso da calculadora.

Neste post, apresento algumas técnicas para calcular o quadrado perfeito dos números naturais compreendidos entre [;1;] e [;200;]. As vêzes, várias técnicas funcionam para uma operação e devemos usar a que for mais cômoda ou a que diminui o tempo de cálculo.

Devo lembrá-los que o cálculo mental é uma arte que deve ser praticada regularmente para obter bons resultados. Portanto, antes de estudar as técnicas multiplicativas, sugiro que comece praticando somas e diferenças através do mini-soroban. Vejamos então as técnicas de cálculo mental para obter os quadrados perfeitos.

1) O quadrado perfeito dos números entre [;1;] e [;10;] ou terminados em zero.

Entre [;1;] e [;10;], segue direto da tabuada. Se [;N;]é um número terminado em zero, entre [;1;] e [;200;] então [;N^2;] é igual ao quadrado de um número entre [;1;] e [;20;] multiplicado por [;100;].

Exemplo 1:
i) [;130^2 = 13^2\times 100 = 16.900;];
ii) [;180^2 = 18^2\times 100 = 32.400;].

2) O quadrado perfeito de um número terminado em [;5;].

Todo número [;N;] terminado em [;5;] pode ser escrito na forma [;N = M + 5;], donde segue que

[;N^2 = (M + 5)^2 = M^2 + 10M + 25 = M(M + 10) + 25;]

No caso particular, em que [;M = 10a;] com [;1 \leq a \leq 9;], então

[;N^2 = 10a(10a + 10) + 25 = 100a(a + 1) + 25;]

ou seja, basta multiplicar o algarismo das dezenas com o seu sucessor e acrescentar [;25;].

Exemplo 2:
i)[;65^2 = (6\times 7)25 = 4225;];
ii) [;105^2 = (10\times 11)25 = 11.025;].

3) O quadrado perfeito de um número [;N;]entre
[;11;] e [;19;], isto é, [;N = 10 + a;] com [;1 \leq a \leq 9;].

Neste caso, basta adicionar [;N;] com as suas unidades, multiplicar por [;10;] e finalmente, adicionar o quadrado das unidades. A demonstração deste fato segue abaixo.

[;N^2 = (10 + a)^2 = 100 + 20a + a^2 = 10(10 + a + a) + a^2 = 10(N + a) + a^2;]

Exemplo 3:
i)
[;13^2 = (13+3)\times 10 + 3^2 = 160 + 9 = 169;];
ii) [;19^2 = (19+9)\times 10+9^2 = 280 + 81 = 361;].


É claro que o método acima aplica-se também no cálculo de quadrados perfeitos dos números da forma [;N = 20 + a;]. Iremos restringir este caso apenas para os valores de [;a \in \{1,2,3,4\};], pois os demais casos segue de um método mais eficaz. Deste modo, [;N^2 = 20(N + a) + a^2;]. Por exemplo, [;22^2 = 10\times 2(22 + 2) + 2^2 = 10\times 48 + 4 = 484;].

4) O quadrado perfeito de um número [;N;] entre [;25;] e [;50;].

Chamaremos a diferença [;N - 25;] de "excedente em relação [;25;]" e chamaremos a diferença [;50 - N;] de "complementar em relação a [;50;]". Assim, temos a regra:

"Cem vezes o excedente de
[;N;]em relação à [;25;], adicionado ao quadrado do seu complementar em relação a [;50;] é igual ao quadrado de [;N;]".


Matematicamente, temos

[;100(N - 25) + (50 - N)^2 = N^2 \qquad \text{para} \qquad 25 \prec N \prec 50;]

A demonstração é imediata, basta desenvolver o primeiro membro da expressão acima. Outro modo é desenvolver o quadrado perfeito [;(50 - N)^2;] e reagrupar os termos.

Exemplo 4:
i) ;
ii) [;38^2 = 100(38 - 25) + (50 - 38)^2 = 1300 + 144 = 1444;];
iii) [;32^2 = 100(32 - 25) + (50 - 32)^2 = 700 + 324 = 1024;].


5) O quadrado perfeito de um número
[;N;] entre [;50;] e [;75;].

Este caso é consequência do caso anterior, trocando o termo [;(50 - N)^2;] por [;(N - 50)^2;] na expressão acima, isto é,

[;100(N - 25) + (N - 50)^2 = N^2;]

Exemplo 5:
i)
[;67^2 = 100(67 - 25) + (67 - 50)^2 = 4200 + 289 = 4489;];
ii)
[;59^2 = 100(59 - 25) + (59 - 50)^2 = 3400 + 81 = 3481;];
iii)
[;32^2 = 100(73 - 25) + (73 - 50)^2 = 4800 + 529 = 5329;].

6) O quadrado perfeito de um número
[;N;] entre [;75;] e [;100;].

De forma análoga ao caso 4), temos a seguinte regra para calcular o quadrado perfeito de um número [;75 \prec N \prec 100;]:

"Cem vezes o excedente do dobro de [;N;]em relação à [;100;], adicionado ao quadrado do seu complementar em relação a [;100;] é igual ao quadrado de [;N;]".

Matematicamente, temos

[; 100(2N - 100) + (100 - N)^2 = N^2;]

A prova é feita desenvolvendo o primeiro membro desta igualdade para obter o segundo membro.


Exemplo 6:
i) [;84^2 = (100 - 84)^2 + 100(168 - 100) = 16^2 + 6800 = 256 + 6800 = 7056;];
ii) [;93^2 = (100 - 93)^2 + 100(186 - 100) = 7^2 + 8600 = 8649;].

Esta técnica também pode ser usada para obter o quadrado perfeito de um número [;N;] entre [;50;] e [;75;]. Por exemplo,

[;62^2 = (100 - 62)^2 + 100(124 - 100) = 38^2 + 2400 = 1444 + 2400 = 3844;]

7) O quadrado perfeito de um número [;N;]entre [;100;] e [;150;].

Este caso é consequência direta do caso anterior, pois [;(N - 100)^2 = (100 - N)^2;]. Assim,

"Cem vezes o excedente do dobro de [;N;]em relação à [;100;], adicionado ao quadrado do seu excedente em relação a é igual ao quadrado de [;N;]".


Matematicamente, temos:


[; 100(2N - 100) + (N - 100)^2 = N^2;]

Sendo [;100 \prec N \prec 150;], então [;0 \prec N - 100 \prec 50;] e para determinar o quadrado deste número, devemos usar as técnicas tratadas em 3) e 4).

Exemplo 7:
i)
[;137^2 = 100(274 - 100) + (137 - 100)^2;]
[;= 17400 + 37^2 = 17400 + 100(37 - 25) + 13^2;]
[;= 17400 + 1200 + 10(13 + 3) + 3^2 = 18600 + 169 = 18769;]

ii)
[;146^2 = 100(292 - 100) + (146 - 100)^2 = 19200 + 46^2;]
[;= 19200 + 100(46 - 25) + 4^2;]
[;= 19200 + 2100 + 16 = 21316;]

8) O quadrado perfeito de um número [;N;]entre [;150;] e [;200;].

Para este caso, é necessário que o leitor seja habilidoso nos casos anteriores. A regra é

"Cem vezes o excedente do dobro de [;N;] em relação a [;100;] adicionado a cem vezes o excedente de [;N;] em relação a [;125;] adicionado ao quadrado do excedente de [;N;]em relação a [;150;] é igual ao quadrado de [;N;]".

Matematicamente, temos:

[;100(2N - 100) + 100(N - 125) + (N - 150)^2 = N^2;]

Exemplo 8:

[;186^2 = 100(372 - 100) + 100(186 - 125) + (186 - 150)^2;]
[;=27200 + 6100 + 36^2 = 27200 + 6100 + 1296 = 34596;]

Gostará de ler também:
- Cálculo Mental (Parte 1);
- Cálculo Mental (Parte 2);
- Cálculo Mental (Parte 3);
- Cálculo Mental (Parte 4).

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