FATOS MATEMÁTICOS: Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Função (Parte 1)

segunda-feira, 27 de setembro de 2010

Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Função (Parte 1)

Seja $[;f(x,y,z);]$ uma função definida numa região do espaço tridimensional. Por exemplo, a temperatura de uma sala pode ser representada pela função $[;T(x,y,z);]$ ou $[;T(\vec{u});]$ , onde $[;\vec{u} = (x,y,z);]$ é o vetor posição.

Seja $[;P_0;]$ um ponto dessa região. Com que taxa, $[;f;]$ varia quando partimos de $[;P_0;]$ numa direção específica?

Observe que nas direções dos eixos $[;x\ ;]$ , $[;y;]$ e $[;z;]$ sabemos que as taxas de variação de $[;f;]$ são dadas pelas derivadas parciais

$[;\frac{\partial f}{\partial x},\quad \frac{\partial f}{\partial y} \quad \text{e} \quad \frac{\partial f}{\partial z};]$

Mas como calcular a taxa de variação de $[;f;]$ se partimos de $[;P_0;]$ numa direção que não é a de nenhum eixo coordenado? Se partimos de $[;P_0;]$ , quais as direções em que teremos a máxima e a mínima taxa de variação de $[;f;]$ ?

A procura das respostas para estas perguntas nos leva aos conceitos de derivada direcional e gradiente de uma função. Veremos inicialmente a derivada direcional de funções de duas variáveis.

Para isso, sejam a função $[;z = f(x,y);]$ , diferenciável numa região $[;D \subset \mathbb{R}^2;]$ e o ponto $[;P_0(x_0,y_0) \in D;]$ . Além disso, considere no plano $[;xy;]$ uma direção orientada dada pelo vetor unitário $\vec{u} = \cos \alpha\vec{i} +\sin \alpha \vec{j}$ . Tomemos o ponto $[;Q(x_0 + \triangle x, y_0 + \triangle y) \in D;]$ , próximo de $[;P_0;]$ tal que o vetor $[;\vec{P_0Q};]$ tenha a mesma direção e sentido do vetor $[;\vec{u};]$ . Deste modo, $[;\vec{u};]$ é o vetor unitário do vetor $[;\vec{P_0Q};]$ conforme a figura abaixo.

O acréscimo da função $[;f;]$ , quando passamos de $[;P_0;]$ para $[;Q;]$ , é

$[;\triangle z = f(x_0 + \triangle x, y_0 + \triangle y) - f(x_0,y_0);]$

$[;=\frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\triangle x + \frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\triangle y + \eta_1\triangle x + \eta_2\triangle y \qquad (1);]$

onde $[;\eta_1 \to 0;]$ e $[;\eta_2 \to 0;]$ quando $[;\Delta s \to 0;]$ . Dividindo $[;(1);]$ por $[;\triangle s;]$ , temos

$[;\frac{\triangle z}{\triangle s} = \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\frac{\triangle x}{\triangle s} + \frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\frac{\triangle y}{\triangle s};]$ $[;+ \eta_1 \frac{\triangle x}{\triangle s} + \eta_2 \frac{\triangle y}{\triangle s} \qquad (2);]$

Do triângulo retângulo $[;P_0RQ;]$ ,

$[;\frac{\triangle x}{\triangle s} = \cos \alpha \qquad \text{e} \qquad\frac{\triangle y}{\triangle s} = \sin \alpha;]$

Substituindo estes valores em $[;(2);]$ , segue que

$[;\frac{\triangle z}{\triangle s} = \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\sin \alpha + \eta_1\cos \alpha + \eta_2\sin \alpha;]$

Assim,

$\lim_{\triangle s \to 0} \frac{\triangle z}{\triangle s} = \lim_{\triangle s \to 0} \biggl[\frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\sin \alpha + \eta_1\cos \alpha + \eta_2\sin \alpha \biggr]$

O limite $[;\frac{\triangle z}{\triangle s};]$ quando existir e for finito é chamado derivada direcional da função $[;f;]$ , no ponto $[;P_0;]$ , na direção do vetor $[;\vec{u};]$ e indicaremos pelo símbolo $[;\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{u}};]$ . Logo,

$[;\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{u}} = \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\sin \alpha;]$

Exemplo 1: Determine a derivada direcional de $[;f(x,y) = x^2 + xy + 2y^2;]$ no ponto $[;P_0(2,1);]$ na direção do vetor $[;\vec{u} = (3,-4);]$ .

Resolução: Note que $[;\frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y;]$ , de modo que $[;\frac{\partial f}{\partial x}(P_0) = 2\cdot 2 + 1 = 5;]$ e sendo $[;\frac{\partial f}{\partial y} = x + 4y;]$ , segue que $[;\frac{\partial f}{\partial y}(P_0) = 2 + 4\cdot 1 = 6;]$ . Por outro lado,

$[;\frac{\vec{u}}{\mid \vec{u} \mid} = (3/5,-4/5) \quad \Rightarrow \quad \cos \alpha = \frac{3}{5} \qquad \text{e} \qquad \sin \alpha = -\frac{4}{5};]$

Logo,

$[;\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{u}} = \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\sin \alpha;]$

$[;=5\cdot \frac{3}{5} + 6\cdot (-\frac{4}{5}) = 3 - \frac{24}{5} = -\frac{9}{5};]$

Exercício: Determine a derivada direcional de $[;f(x,y) = x^2 + y^2;]$ no ponto $[;P_0(1,1);]$ na direção de $[;45^{\circ};]$ com o eixo $[;x\ ;]$ .

No próximo post, veremos a derivada direcional de funções de três variáveis. Mas para isto, precisamos dos conceitos de ângulos e cossenos diretores.

Seja o vetor $[;\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k};]$ não-nulo, conforme a figura abaixo:

Definição 1: Chama-se ângulos diretores de $[;\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k};]$ , os ângulos $[;\alpha;]$ , $[;\beta;]$ e $[;\gamma;]$ que o vetor $[;\vec{u};]$ forma com os vetores $[;\vec{i} = (1,0,0);]$ , $[;\vec{j} = (0,1,0);]$ e $[;\vec{k} = (0,0,1);]$ respectivamente.

Definição 2: Chama-se cossenos diretores de $[;\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k};]$ os cossenos dos ângulos $[;\alpha;]$ , $[;\beta;]$ e $[;\gamma;]$ .

Da definição de ângulos diretores, temos

$[;\vec{u}\cdot \vec{i} = \mid \vec{u} \mid \mid \vec{i}\mid \cos \alpha \quad \Rightarrow \quad \cos \alpha = \frac{x}{\mid \vec{u}\mid};]$

Analogamente,

$[;\cos \beta = \frac{y}{\mid \vec{u} \mid} \qquad \text{e} \qquad \cos \gamma = \frac{z}{\mid \vec{u} \mid};]$

Uma propriedade interessante sobre os cossenos diretores de um vetor é dada pela proposição.

Proposição 1: Se $[;\alpha;]$ , $[;\beta;]$ e $[;\gamma;]$ são os ângulos diretores do vetor $[;\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k};]$ , então

$[;\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1;]$

Demonstração: De fato,

$[;\cos^2\alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = \frac{x^2}{\mid \vec{u}\mid^2} + \frac{y^2}{\mid \vec{u}\mid^2} + \frac{z^2}{\mid \vec{u}\mid^2} = \frac{\mid \vec{u}\mid^2}{\mid \vec{u} \mid^2} = 1;]$

Exemplo 2: Se $[;\alpha;]$ , $[;45^{\circ};]$ e $[;60^{\circ};]$ são os ângulos diretores de um vetor, determine $[;\alpha;]$ .

Resolução: Segue da Prop. 1 que

$[;\cos^2 \alpha + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 60^{\circ} = 1 \quad \Rightarrow ;]$

$[;\cos^2 \alpha = 1 - \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr) - \biggl(\frac{1}{2}\biggr)^2 = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4};]$

donde segue que $[;\cos \alpha = \pm \frac{1}{2};]$ .

Exemplo 3: Calcule os cossenos diretores do vetor $[;\vec{u} = (1,-\sqrt{2},\sqrt{2});]$ .

Resolução: Sendo

$[;\mid \vec{u} \mid = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{5};]$

segue que $[;\cos \alpha = 1/\sqrt{5};]$ , $[;\cos \beta = -\sqrt{2/5};]$ e $[;\cos \gamma = \sqrt{2/5};]$ .

Gostará de ler também:

- Diferentes Maneiras de Calcular a Derivada da Potência Enésima de x;

- O Cálculo no Meio Rural.

5 comentários:

rafaelmatos3 de abril de 2012 19:44
parabéns professor, ótima explicação essa sua !!!
ResponderExcluir
Douglas3 de maio de 2012 02:24
É bom ver um professor ensinando a lógica das coisas, ensinando de onde as coisas saíram. Minha professora de cálculo simplesmente jogou a matéria pra gente, sem explicações de onde saiu a derivada direcional. Mas enfim, obrigado!
ResponderExcluir
Prof. Paulo Sérgio3 de maio de 2012 07:15
Estou contemplando os assuntos de Cálculo de uma variável, mas em seguida, irei publicar os assuntos do Cálculo de Várias Variáveis buscando apresentar também suas aplicações. Obrigado pelos elogios e volte sempre!
ResponderExcluir
Anônimo16 de abril de 2013 14:41
Professor, também posso utilizar o gradiente para calcular a derivada direcional em p ?
ResponderExcluir
Respostas

Adicionar comentário

Carregar mais...

Páginas

Membros

segunda-feira, 27 de setembro de 2010

Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Função (Parte 1)

5 comentários: