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O Problema da Inclinação do Copo

Este problema é uma aplicação de alguns conceitos básicos de Trigonometria, mostrando para o aluno o quanto a Matemática está presente nas atividades do dia-a-dia.

Para facilitar o entendimento e a resolução do problema, iremos considerar algumas condições ideais, por exemplo: copo cilíndrico em um plano horizontal. O tratamento de outros casos, é deixada como sugestão para projetos de matemática.

Considere um copo cilíndrico de raio [;r;] e altura [;H;], contendo água a um nível [;h \prec H;], em um plano horizontal. O objetivo deste problema é determinar o ângulo máximo que o fundo do copo forma com o plano horizontal de modo que a água não transborde conforme a figura abaixo.

Do ponto [;D;], traçamos [;DE;] perpendicular a [;AD;], formando o triângulo retângulo [;DEC;]. Sendo [;C\hat{D}E = \theta;] (inclinação máxima), segue que

[;\tan \theta = \frac{H -h}{2r} \qquad (1);]

Observe que o ponto [;F;] é o único ponto que fica invariante no processo de inclinação do copo.

Exemplo 1: Determine o volume de água no copo da figura abaixo:

Resolução: O raio do copo é [;r = 4\ cm;] e sua altura é [;H = 15\ cm;]. Para determinar o nível de água [;h;], observe que ângulo que o fundo do copo forma com a superfície plana é [;\theta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ};]. Assim,

[;\tan \theta = \frac{H - h}{2r} \quad \Rightarrow \quad \tan 30^{\circ} = \frac{15 - h}{8} \quad \Rightarrow \quad h = 15 - \frac{4\sqrt{3}}{3}\ cm;]

Logo,
[;V = \pi r^2h = \frac{16\pi(45 - 4\sqrt{3})}{3}\ cm^3;]

Se a secção meridiana do copo é quadrada, dizemos que ele é equilátero. Neste caso, [;H = 2r;]. Segue de [;(1);] que

[;\tan \theta = \frac{2r - h}{r} = 2 - \frac{h}{r};]

Exemplo 2: Determine a inclinação máxima de um copo cilíndrico equilátero que está cheio pela metade.

Resolução: Se o copo está meio cheio, então [;h = r;], de modo que [;\tan \theta = 2 - \frac{r}{r}= 1;], de modo que [;\theta = 45^{\circ};].

Gostará de ler também:
- O Problema da Bola na Cesta;
- O Problema do Bode Faminto;
- O Problema das Velas;
- O Problema do Trem.

8 comentários:

  1. Embora simples, muito interessante, Prof. Paulo. Parabéns!

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  2. Muito obrigado Hun pelo comentário. Volte sempre!

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  3. Muito bom. É dessa maneira que a matemática se torna interessante.

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  4. Obrigado Hélio pelo comentário. Realmente, é um grande desafio apresentar a Matemática de forma interessante. Volte sempre!

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  5. Fui direcionado a esse problema pensando tratar-se de um outro, bastante interessante: um copo cilíndrico (dimensões r, h) está completamente cheio de água. Quatro (4) pessoas beberão essa água. A primeira delas bebe até que o nível da água (com o copo inclinado) passe pela borda e pelo meio da altura do copo; a segunda bebe até que o nível passe pela borda e tangencie a circunferência do fundo do copo; a terceira, até que o nível passe pela borda e pelo centro da circunferência do fundo do copo; e a quarta, o restante. Pergunta: quem bebeu mais água? Se não está claro, uma figura facilitaria bastante o entendimento.

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  6. Paulo, entendi o problema e acho que não precisa de figura para entender, apenas para resolvê-lo. Se quiser, colocaremos este problema na próxima edição dos problemas dos Fatos Matemáticos. Por e-mail discutiremos a solução. Obrigado pelo comentário, volte sempre.

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  7. Ok, Prof., pode parecer orgulho tolo, mas isso me ocorreu há muitos e muitos anos, quando bebia um copo d´água. Nunca vi esse problema postado em lugar algum. Abs.

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  8. Paulo Bouhid e Prof. Paulo Sérgio - Esse problema exposto do copo e das quatro pessoas é interessantíssimo, caso vocês tenham avançado na elaboração formal do problema por favor, contatem-me em: maelcksongomes@gmail.com

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