Este problema é uma aplicação de alguns conceitos básicos de Trigonometria, mostrando para o aluno o quanto a Matemática está presente nas atividades do dia-a-dia.Para facilitar o entendimento e a resolução do problema, iremos considerar algumas condições ideais, por exemplo: copo cilíndrico em um plano horizontal. O tratamento de outros casos, é deixada como sugestão para projetos de matemática.
Considere um copo cilíndrico de raio ![[;r;]](http://thewe.net/tex/r "r")
e altura ![[;H;]](http://thewe.net/tex/H "H")
, contendo água a um nível ![[;h \prec H;]](http://thewe.net/tex/h%20%5Cprec%20H "h \prec H")
, em um plano horizontal. O objetivo deste problema é determinar o ângulo máximo que o fundo do copo forma com o plano horizontal de modo que a água não transborde conforme a figura abaixo.
Do ponto Observe que o ponto ![[;F;]](http://thewe.net/tex/F "F")
é o único ponto que fica invariante no processo de inclinação do copo.
Exemplo 1: Determine o volume de água no copo da figura abaixo:
Resolução: O raio do copo é Logo,
![[;V = \pi r^2h = \frac{16\pi(45 - 4\sqrt{3})}{3}\ cm^3;]](http://thewe.net/tex/V%20=%20%5Cpi%20r%5E2h%20=%20%5Cfrac%7B16%5Cpi%2845%20-%204%5Csqrt%7B3%7D%29%7D%7B3%7D%5C%20cm%5E3 "V = \pi r^2h = \frac{16\pi(45 - 4\sqrt{3})}{3}\ cm^3")
![[;\tan \theta = \frac{2r - h}{r} = 2 - \frac{h}{r};]](http://thewe.net/tex/%5Ctan%20%5Ctheta%20=%20%5Cfrac%7B2r%20-%20h%7D%7Br%7D%20=%202%20-%20%5Cfrac%7Bh%7D%7Br%7D "\tan \theta = \frac{2r - h}{r} = 2 - \frac{h}{r}")
Se a secção meridiana do copo é quadrada, dizemos que ele é equilátero. Neste caso, ![[;H = 2r;]](http://thewe.net/tex/H%20=%202r "H = 2r")
. Segue de ![[;(1);]](http://thewe.net/tex/%281%29 "(1)")
que
Exemplo 2: Determine a inclinação máxima de um copo cilíndrico equilátero que está cheio pela metade.
Resolução: Se o copo está meio cheio, então ![[;h = r;]](http://thewe.net/tex/h%20=%20r "h = r")
, de modo que ![[;\tan \theta = 2 - \frac{r}{r}= 1;]](http://thewe.net/tex/%5Ctan%20%5Ctheta%20=%202%20-%20%5Cfrac%7Br%7D%7Br%7D=%201 "\tan \theta = 2 - \frac{r}{r}= 1")
, de modo que ![[;\theta = 45^{\circ};]](http://thewe.net/tex/%5Ctheta%20=%2045%5E%7B%5Ccirc%7D "\theta = 45^{\circ}")
.
Gostará de ler também:
- O Problema da Bola na Cesta;
- O Problema do Bode Faminto;
- O Problema das Velas;
- O Problema do Trem.
Embora simples, muito interessante, Prof. Paulo. Parabéns!
ResponderExcluirMuito obrigado Hun pelo comentário. Volte sempre!
ResponderExcluirMuito bom. É dessa maneira que a matemática se torna interessante.
ResponderExcluirObrigado Hélio pelo comentário. Realmente, é um grande desafio apresentar a Matemática de forma interessante. Volte sempre!
ResponderExcluirFui direcionado a esse problema pensando tratar-se de um outro, bastante interessante: um copo cilíndrico (dimensões r, h) está completamente cheio de água. Quatro (4) pessoas beberão essa água. A primeira delas bebe até que o nível da água (com o copo inclinado) passe pela borda e pelo meio da altura do copo; a segunda bebe até que o nível passe pela borda e tangencie a circunferência do fundo do copo; a terceira, até que o nível passe pela borda e pelo centro da circunferência do fundo do copo; e a quarta, o restante. Pergunta: quem bebeu mais água? Se não está claro, uma figura facilitaria bastante o entendimento.
ResponderExcluirPaulo, entendi o problema e acho que não precisa de figura para entender, apenas para resolvê-lo. Se quiser, colocaremos este problema na próxima edição dos problemas dos Fatos Matemáticos. Por e-mail discutiremos a solução. Obrigado pelo comentário, volte sempre.
ResponderExcluirOk, Prof., pode parecer orgulho tolo, mas isso me ocorreu há muitos e muitos anos, quando bebia um copo d´água. Nunca vi esse problema postado em lugar algum. Abs.
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