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A Reta no Espaço Tridimensional

Para estudar a reta no [;\mathbb{R}^3;] considere um vetor diretor [;\vec{v}=(a,b,c);] e um ponto [;P_0(x_0,y_0,z_0);] sobre esta reta [;r;].

Para deduzir sua equação seja [;P(x,y,z);] um ponto qualquer sobre [;r;]. Sendo [;r\ \parallel \ \vec{v};], então [;\vec{P_0P} \ \parallel \ \vec{v};]. Assim, existe [;t \in \mathbb{R};] tal que

[;r: \qquad \vec{P_0P} = t\vec{v} \qquad (1);]

A equação [;(1);] é conhecida por equação vetorial da reta [;r;]. A partir desta equação , podemos obter suas equações paramétricas do seguinte modo:

[;P - P_0 = t\vec{v} \quad \Rightarrow \quad (x,y,z) - (x_0,y_0,z_0) = t(a,b,c) \quad \Rightarrow;]

[;(x - x_0,y - y_0,z - z_0) = (at, bt,ct) \quad \Rightarrow;]

[;r: \qquad \begin{cases}x(t) = x_0 + at\\y(t) = y_0 + bt\\z(t) = z_0 + ct\\\end{cases} \qquad (2);]

Observe que os coeficientes de [;t;] em cada equação acima são as coordenadas do vetor diretor [;\vec{v};].

Exemplo 1: Determine as equações paramétricas da reta [;r;] que passam pelos pontos [;A(-1,2,1);] e [;B(2,-2,3);] .

Resolução: Tomamos como vetor diretor, o vetor definido pelos pontos [;A;] e [;B;], isto é,
[;\vec{v} = \vec{AB} = B - A = (2,-2,3) - (-1,2,1) = (3,-4,2);]

Podemos tomar [;P_0;] qualquer ponto sobre a reta [;r;] . Escolhendo [;P_0=B=(2,-2,3);] e usando a equações paramétricas dadas em [;(2);], temos

[;r: \qquad \begin{cases}x(t) = 2 + 3t\\y(t) = -2 - 4t\\z(t) = 3 + 2t\\\end{cases};]

Observação 1: Note que as equações paramétricas de uma reta dependem do ponto [;P_0;] escolhido e do vetor diretor calculado. Deste modo, para uma mesma reta [;r;], existem várias equações paramétricas.

A partir das equações paramétricas de [;r;], podemos obter as equações simétricas eliminando o parâmetro [;t;] em cada uma das equações, isto é,

[;t = \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\qquad (3);]

Na expressão
[;(3);], estamos supondo que o vetor diretor é não-nulo, de modo que o denominador em cada fração são as componentes do vetor diretor [;\vec{v};]. No caso em que uma das componentes do vetor diretor é nula é reta [;r;] é paralela a um dos planos coordenados, ou seja,


Se [;\vec{v} = (a,b,0);], a reta é paralela ao plano [;xy;] e suas equações paramétricas são dadas por (ver figura abaixo)

[;r: \qquad \begin{cases}x(t) = x_0 + at\\y(t) = y_0 + bt\\z(t) = z_0\\\end{cases}\qquad (4);]


De forma análoga, se a componente [;b;] do vetor diretor é nula, então as equações paramétricas da reta [;r;] são dadas por

[;r: \qquad \begin{cases}x(t) = x_0 + at\\y(t) = y_0\\z(t) = z_0 + ct\\ \end{cases};]

e se a componente [;a;] do vetor diretor é nula, então as equações paramétricas da reta [;r;] são dadas por

[;r: \qquad \begin{cases}x(t) = x_0\\y(t) = y_0 + bt\\z(t) = z_0 + ct\\ \end{cases};]

Outra forma de expressar a reta [;r;] é através das equações reduzidas nas variáveis [;x\ ;], [;y;] ou [;z;], e são obtidas a partir das equações simétricas dadas por [;(3);]. Por exemplo, as equações reduzidas na variável [;x\ ;] são dadas por

[;r: \qquad \begin{cases}y(x) = y_0 + \frac{b}{a}(x - x_0)\\z(x) = z_0 + \frac{c}{a}(x - x_0)\\ \end{cases};]

Exemplo 2: Determine as equações reduzidas na variável [;x\ ;] da reta que paralela ao à bissetriz dos quadrantes ímpares e que passa pelo ponto [;A(-1,3,2);].

Resolução: Se [;r\ \parallel \ Oy;], podemos tomar [;\vec{v} = \vec{j} = (1,1,0);]. Assim,

[;r: \qquad \begin{cases}x(t) = -1 + t\\y(t) = 3 + t\\z(t) = 2\\ \end{cases};]

Isolando [;t;] das duas primeiras equações, obtemos as equações reduzidas na variável [;x\ ;], isto é,

[;r: \qquad \begin{cases}y = x + 4\\z = 2\\ \end{cases};]

Gostará de ler também:
- Retas Perpendiculares no Plano;
- Sobre o Vetor Normal à uma Reta no Plano Cartesiano.

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