FATOS MATEMÁTICOS: A Reta no Espaço Tridimensional

quinta-feira, 23 de setembro de 2010

A Reta no Espaço Tridimensional

Para estudar a reta no $[;\mathbb{R}^3;]$ considere um vetor diretor $[;\vec{v}=(a,b,c);]$ e um ponto $[;P_0(x_0,y_0,z_0);]$ sobre esta reta $[;r;]$ .

Para deduzir sua equação seja $[;P(x,y,z);]$ um ponto qualquer sobre $[;r;]$ . Sendo $[;r\ \parallel \ \vec{v};]$ , então $[;\vec{P_0P} \ \parallel \ \vec{v};]$ . Assim, existe $[;t \in \mathbb{R};]$ tal que

$[;r: \qquad \vec{P_0P} = t\vec{v} \qquad (1);]$

A equação $[;(1);]$ é conhecida por equação vetorial da reta $[;r;]$ . A partir desta equação , podemos obter suas equações paramétricas do seguinte modo:

$[;P - P_0 = t\vec{v} \quad \Rightarrow \quad (x,y,z) - (x_0,y_0,z_0) = t(a,b,c) \quad \Rightarrow;]$

$[;(x - x_0,y - y_0,z - z_0) = (at, bt,ct) \quad \Rightarrow;]$

$[;r: \qquad \begin{cases}x(t) = x_0 + at\\y(t) = y_0 + bt\\z(t) = z_0 + ct\\\end{cases} \qquad (2);]$

Observe que os coeficientes de $[;t;]$ em cada equação acima são as coordenadas do vetor diretor $[;\vec{v};]$ .

Exemplo 1: Determine as equações paramétricas da reta $[;r;]$ que passam pelos pontos $[;A(-1,2,1);]$ e $[;B(2,-2,3);]$ .

Resolução: Tomamos como vetor diretor, o vetor definido pelos pontos $[;A;]$ e $[;B;]$ , isto é,

$[;\vec{v} = \vec{AB} = B - A = (2,-2,3) - (-1,2,1) = (3,-4,2);]$

Podemos tomar $[;P_0;]$ qualquer ponto sobre a reta $[;r;]$ . Escolhendo $[;P_0=B=(2,-2,3);]$ e usando a equações paramétricas dadas em $[;(2);]$ , temos

$[;r: \qquad \begin{cases}x(t) = 2 + 3t\\y(t) = -2 - 4t\\z(t) = 3 + 2t\\\end{cases};]$

Observação 1: Note que as equações paramétricas de uma reta dependem do ponto $[;P_0;]$ escolhido e do vetor diretor calculado. Deste modo, para uma mesma reta $[;r;]$ , existem várias equações paramétricas.

A partir das equações paramétricas de $[;r;]$ , podemos obter as equações simétricas eliminando o parâmetro $[;t;]$ em cada uma das equações, isto é,

$[;t = \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}\qquad (3);]$

Na expressão $[;(3);]$ , estamos supondo que o vetor diretor é não-nulo, de modo que o denominador em cada fração são as componentes do vetor diretor $[;\vec{v};]$ . No caso em que uma das componentes do vetor diretor é nula é reta $[;r;]$ é paralela a um dos planos coordenados, ou seja,

Se $[;\vec{v} = (a,b,0);]$ , a reta é paralela ao plano $[;xy;]$ e suas equações paramétricas são dadas por (ver figura abaixo)

$[;r: \qquad \begin{cases}x(t) = x_0 + at\\y(t) = y_0 + bt\\z(t) = z_0\\\end{cases}\qquad (4);]$

De forma análoga, se a componente $[;b;]$ do vetor diretor é nula, então as equações paramétricas da reta $[;r;]$ são dadas por

$[;r: \qquad \begin{cases}x(t) = x_0 + at\\y(t) = y_0\\z(t) = z_0 + ct\\ \end{cases};]$

e se a componente $[;a;]$ do vetor diretor é nula, então as equações paramétricas da reta $[;r;]$ são dadas por

$[;r: \qquad \begin{cases}x(t) = x_0\\y(t) = y_0 + bt\\z(t) = z_0 + ct\\ \end{cases};]$

Outra forma de expressar a reta $[;r;]$ é através das equações reduzidas nas variáveis $[;x\ ;]$ , $[;y;]$ ou $[;z;]$ , e são obtidas a partir das equações simétricas dadas por $[;(3);]$ . Por exemplo, as equações reduzidas na variável $[;x\ ;]$ são dadas por

$[;r: \qquad \begin{cases}y(x) = y_0 + \frac{b}{a}(x - x_0)\\z(x) = z_0 + \frac{c}{a}(x - x_0)\\ \end{cases};]$

Exemplo 2: Determine as equações reduzidas na variável $[;x\ ;]$ da reta que paralela ao à bissetriz dos quadrantes ímpares e que passa pelo ponto $[;A(-1,3,2);]$ .