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Sobre o Produto Misto

O produto misto tem seu destaque na Álgebra Vetorial devido a sua interpretação geométrica que está relacionado ao volume de paralelepípedo ou tetraedro determinado por [;3;] vetores. Neste post, veremos a sua definição, suas propriedades e aplicações.

Definição 1: Sejam os vetores [;\vec{u}=(x_1,y_1,z_1);], [;\vec{v} = (x_2,y_2,z_2);] e [;\vec{w} = (x_3,y_3,z_3);]. O produto misto desses vetores, tomados nesta ordem e denotado por [;(\vec{u},\vec{v},\vec{w});] é definido por

[;(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = \vec{u}\times \vec{v}\cdot \vec{w} \qquad (1);]
Sendo
[;\vec{u}\times \vec{v} =\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ x_1 & y_1 & z_1 \\x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{bmatrix} =;]

[;= (y_1z_2 - y_2z_1)\vec{i} - (x_1z_2 - x_2z_1)\vec{j} + (x_1y_2 - x_2y_1)\vec{k};]
segue que
[;(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = \vec{u}\times \vec{v}\cdot \vec{w} = ;]

[;= (y_1z_2 - y_2z_1)x_3 - (x_1z_2 - x_2z_1)y_3 + (x_1y_2 - x_2y_1)z_3;]

[; =\begin{vmatrix}x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \\x_3 & y_3 & z_3 \\ \end{bmatrix};]

ou seja, o produto misto dos vetores [;\vec{u};], [;\vec{v};] e [;\vec{w};] é um determinante de ordem [;3;] e desta forma, suas propriedades decorrem das propriedades dos determinantes. É importante observar que o produto misto é um número real.

Exemplo 1: Calcule [;(\vec{u},\vec{v},\vec{w});], sendo [;\vec{u} = (1,-1,2);], [;\vec{v} = (2,0,1);] e [;\vec{w} = (-1,3,0);].

Resolução:
Pela definição acima, temos

[;(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) =\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2\\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ \end{bmatrix} = 10;]

Proposição 1: Haverá uma troca de sinal no produto misto se fizermos uma permutação entre dois vetores quaisquer, isto é,

[;(\vec{v},\vec{u},\vec{w}) = (\vec{w},\vec{v},\vec{u}) = (\vec{u},\vec{w},\vec{v}) = \ldots = - (\vec{u},\vec{v},\vec{w});]

Demonstração: Segue diretamente do fato que a purmutação entre duas linhas de um determinante, altera o seu sinal.

Proposição 2: Valem as seguintes propriedades operatórias para o produto misto.

i) [;(\vec{u_1} + \alpha \vec{u_2},\vec{v},\vec{w}) = (\vec{u_1},\vec{v},\vec{w}) + \alpha(\vec{u_2},\vec{v},\vec{w});];
ii) [;(\alpha \vec{u}, \beta \vec{v}, \gamma \vec{w}) = \alpha \beta \gamma (\vec{u},\vec{v},\vec{w});];
iii) Se dois vetores quaisquer são paralelos, então o produto misto é nulo, isto é,

[;(\vec{u},k\vec{u},\vec{w}) = 0;]

Demonstração: Segue imediatamente das propriedades de determinantes.

Proposição 3: A permutação das operações "[;\times;]" e "[;\cdot;]" no produto misto não alteral o seu valor, isto é,

[;\vec{u}\times \vec{v}\cdot \vec{w} = \vec{u}\cdot \vec{v} \times \vec{w};].
Demonstração:

[;\vec{u}\cdot \vec{v}\times \vec{w} = \vec{v}\times \vec{w}\cdot \vec{u} = (\vec{v},\vec{w},\vec{u}) =- (\vec{u},\vec{w},\vec{v}) = (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = \vec{u}\times \vec{v}\cdot \vec{w} ;]

onde usamos a propriedade comutativa do produto escalar e a Prop. 1.

Sabemos que [;3;] pontos não colineares sempre determina um único plano, mas [;4;] pontos no espaço nem sempre são coplanares. Na proposição seguinte, veremos a condição para que isto ocorra.

Proposição 4: Os pontos [;A(x_1,y_1,z_1);], [;B(x_2,y_2,z_2);], [;C(x_3,y_3,z_3);] e [;D(x_4,y_4,z_4);] são coplanares se e somente se [;(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = 0;], onde [;\vec{u} = \vec{AB};]
, [;\vec{v} = \vec{AC};] e [;\vec{w} = \vec{AD};].

Demonstração: Suponhamos que os pontos [;A;], [;B;], [;C;] e [;D;] sejam coplanares. Assim, os vetores [;\vec{u};], [;\vec{v};] e [;\vec{w};] são coplanares, de modo que existem [;\alpha, \beta \in \mathbb{R};] tais que
[;\vec{w} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v};]. Assim,

[;(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = (\vec{u},\vec{v}, \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}) = \alpha (\vec{u},\vec{v},\vec{u}) + \beta (\vec{u},\vec{v},\vec{v}) = 0;]

devido a Prop. 2.

Reciprocamente, se [;(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) = 0;], então os vetores [;\vec{u}\times \vec{v};] e [;\vec{w};] são ortogonais. Mas isto somente é possível se [;\vec{w};] pertencer ao plano definido por [;\vec{u};] e [;\vec{v};], ou seja, [;\vec{u};],
[;\vec{v};] e [;\vec{w};] são coplanares e consequentemente os pontos [;A;], [;B;], [;C;] e [;D;].

Proposição 5: (Interpretação Geométrica do Produto Misto). Sejam [;\vec{u};], [;\vec{v};] e [;\vec{w};] três vetores não coplanares. O módulo de [;(\vec{u},\vec{v},\vec{w});] é numericamente igual ao volume do paralelepípedo formado por esses vetores.

Demonstração: Na figura acima, vemos que

[;V = Sh = \mid \vec{u}\times \vec{v}\mid h \qquad (2);]

Mas,
[;\mid \cos \theta \mid = \frac{h}{\mid\vec{w}\mid} \quad \Rightarrow \quad h = \mid \vec{w}\mid \mid \cos \theta \mid \qquad (3);]

Substituindo [;(3);] em [;(2);], temos

[;V = \mid \vec{u}\times \vec{v} \mid \mid \vec{w}\mid \mid \cos \theta \mid = \mid \vec{u}\times \vec{v}\cdot \vec{w}\mid = \mid (\vec{u},\vec{v},\vec{w})\mid;]

Corolário 1: O volume do tetraedro determinado pelos vetores [;\vec{u};], [;\vec{v};] e [;\vec{w};] é dado por

[;V = \frac{\mid (\vec{u},\vec{v},\vec{w})\mid}{6};]

Exemplo 2: Determine o volume do tetraedro [;OABC;], na figura acima.

Resolução: Da figura, [;\vec{OA} = (a,a,0);], [;\vec{OB} = (0,a,a);] e [;\vec{OC} = (a,0,a);]. Assim,

[;V =\frac{\mid (\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC})\mid}{6};]
Sendo
[;(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}) =\begin{vmatrix} a & a & 0\\ 0 & a & a \\ a & 0 & a \\ \end{bmatrix} = 2a^3;]
segue que
[;V = \frac{2a^3}{6} =\frac{a^3}{3};]

Gostará de ler também:
- Sobre o Produto Escalar;
- Sobre o Produto Vetorial;
- Sobre o Vetor Normal a uma Reta no Plano Cartesiano;

14 comentários:

  1. Estava precisando de um poster como esse.
    Caiu do céu.
    Eu tava lendo uma coisa de cálculo vetorial com geometria analítica.

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  2. Que bom que gostou Sônia. Espero que lhe seja útil em seus estudos. Volte sempre!

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  3. Boa Tarde Professor

    Estou estudando esta matéria e estava com algumas dúvidas. Esse post esclareceu todas.
    Muito Obrigado

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  4. Fico agradecido por isso. Obrigado e volte sempre!

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  5. valeu professor este poster auxiliou meus estudos obrigado claudio

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  6. Alguém pode me explicar como o cos de teta sumiu na interpretação geométrica do produto misto ? Durante a demostração em que |u x v| |w| cos teta= |(u,v,w)|. Por favor alguém pode me convencer de como o cos sumiu ? eu preciso provar para minha professora terça feira dia 21\06. quem puder me ajudar por favor entrar em contato

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  7. Isso é simples Vitor Hugo. Pela interpretação geométrica do produto escalar, temos [;|p.w cos theta | = |p.w|. Fazendo p = uxv, segue que |uxv| |w| |cos theta| = |(u,v,w)|. Obrigado pelo comentário e volte sempre!

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  8. Valeu professor, estou iniciando uma faculdade de mátemática e essa postagem foi bastante útil.

    Fabrício Lima.

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  9. Gostaria de saber quais são as aplicações do produto misto na sociedade( fora da matemática)???

    Cleiton da Mata

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  10. Olá Cleiton, não sei quais são as aplicações do produto misto na sociedade, uma vez que a sociedade, assim como uma máquina complexa, é formada de várias peças, mas tenho certeza de que no projeto de algumas dessas peças foi usado de forma direta ou indireta o produto misto. Neste ponto, podemos dizer que a qualidade de vida de uma sociedade está na razão direta do conhecimento que ela tem da Matemática. Nesta ciência, as paredes e os andares são sempre adicionados e nada é demolido com o tempo e notamos também que toda a parafernália do mundo moderno, tais como celulares, computador, internet, compras pela internet, carros modernos, só foi possível com as ferramentas matemáticas. Se você não percebe isso, é devido ao conhecimento de matemática que possui, mas com o tempo compreenderá o que eu quis dizer. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  11. ola boa noite, como faço pra encontrar dados sobre otimização de área? quem desenvolveu e a pratica provada. grato!

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    1. Existem problemas de otimização que envolvem a maximização ou a minimização de áreas de superfícies com algum vínculo. Isto remota aos primórdios do Cálculo. Quanto ao termo "prática provada", não faço a menor ideia do que se trata.

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  12. Professor gosto muito do seu site e de suas demonstrações, são bastante elucidativas. Gostaria de sugerir,se possível, que você faça um post sobre o teorema das circunferências tangentes de Descartes, é bem interessante e nunca encontrei uma dedução dela. Segue o site que o mostra http://pt.encydia.com/es/Teorema_dos_c%C3%ADrculos_de_Descartes

    Valeu!

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    1. Irei pesquisar sobre este assunto nas férias. Se obtiver sucesso, farei um post sobre o assunto. Obrigado pelos elogios e pela sugestão.

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