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Uma Fórmula Para Calcular o Comprimento da Elipse

Ao contrário de uma circunferência, não existe uma fórmula simples para calcular exatamente o comprimento (perímetro) de uma elipse. Deste modo, iremos deduzir uma expressão aproximada em função do seu semi-eixo maior e de sua excentricidade.

Seja a elipse de semi-eixo maior [;a;] e semi-eixo menor [;b;] centrada na origem, conforme a figura ao lado. Os pontos [;(\pm c,0);] são os focos que satisfaz a relação

[;a^2 = b^2 + c^2 \qquad (1);]

Sua excentricidade é definida por [;e = c/a;] e usando a definição de elipse é possível mostrar que sua equação cartesiana é dada por

[;\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \qquad (2);]

Para determinar o comprimento desta elipse, usaremos a seguinte fórmula cuja dedução pode ser encontrada nos livros de Cálculo.

[;L = \int dl = \int_{a}^{b}\sqrt{1 + (y^{\prime})^2}dx \qquad (3);]

Derivando implicitamente em relação a [;x\ ;] a expressão [;(1);], temos

[;\frac{2x}{a^2} + \frac{2y}{b^2}y^{\prime} = 0 \quad \Rightarrow \quad y^{\prime} = - \frac{b^2x}{a^2y}\quad \Rightarrow;]

[;1 + (y^{\prime})^2 = 1 + \frac{b^4x^2}{a^4y^2}\qquad (4);]

Isolando [;y^2;]da expressão [;(1);], temos a expressão

[;y^2 = b^2\biggl(1 - \frac{x^2}{a^2}\biggr) \qquad (5);]

Substituindo [;(5);] em [;(4);], segue que

[;1 + (y^{\prime})^2 = 1 + \frac{b^2x^2}{a^2(a^2 - x^2)} = \frac{a^2(a^2 - x^2) + b^2x^2}{a^2(a^2 - x^2)} = \frac{a^4 - (a^2 - b^2)x^2}{a^2(a^2 - x^2)};]
[;= \frac{a^4 - c^2x^2}{a^2(a^2 - x^2)} = \frac{a^2 - \frac{c^2x^2}{a^2}}{a^2 - x^2} = \frac{a^2 - e^2x^2}{a^2 - x^2}\qquad (6);]

Substituindo [;(6);] na expressão [;(3);], temos

[;L = 4\int_{0}^{a}\sqrt{\frac{a^2 - e^2x^2}{a^2 - x^2}}dx;]

Fazendo a substituição trigonométrica [;x = a\sin \theta;], temos [;dx = a\cos \theta d\theta;]. Para [;x = 0 \ \Rightarrow \ \theta = 0;] e para [;x = a \ \Rightarrow \ \theta = \pi/2;]. Assim,

[;L = 4\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\frac{a^2 - e^2a^2\sin^2\theta}{a^2 - a^2\sin^2\theta}}a\cos \theta d\theta = 4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\frac{1 - e^2\sin^2\theta}{\cos^2\theta}}\cos \theta d\theta;]

[;= 4a\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1 - e^2\sin^2\theta}d\theta \qquad (7);]

Observe que se [;e = 0;], a elipse representa uma circunferência de raio [;a;] e segue da expressão [;(7);] que [;L = 2\pi a;] como era esperado.

A integral dada em [;(7);] é uma integral elíptica e já foi amplamente estudada por grandes matemáticos o qual mostraram que expressar a integral acima em termos de funções elementares. Deste modo, para obter uma fórmula para comprimento da elipse, iremos expandir o integrando através do binômio de Newton, ou seja,

[;(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)x^2}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)x^3}{3!}+\ldots;]

Fazendo [;n = 1/2;] e [;x = -e^2\sin^2\theta;] nesta expressão, obtemos

[;(1 - e^2\sin^2\theta)^{1/2} \simeq 1 -\frac{e^2 \sin^2 \theta}{2} + \frac{e^4\sin^4\theta}{8} - \frac{e^6\sin^6\theta}{16} \qquad (8);]

Substituindo [;(8);] em [;(7);] e integrando termo a termo, obtemos a fórmula aproximada para calcular o comprimento de uma elipse em função de sua excentricidade e do seu eixo maior, isto é,

[;L \simeq \pi a \biggl(2 - \frac{e^2}{2} + \frac{3e^4}{16} - \frac{5e^6}{128}\biggr) \qquad (9);]

Exemplo: Um jadineiro é contratado para construir um canteiro no formato de uma elipse de eixos iguais [;40 \ m;] e [;50 \ m;] respectivamente. Para delimitá-lo, o jardineiro construirá uma cerca com estacas e [;3;] voltas de arame. Determine a quantidade de arame necessário para este projeto.

Resolução: Note que o semi-eixo maior é [;a = 25\ m;] e o semi-eixo menor é igual a [;b = 20\ m;], de modo que [;c = \sqrt{25^2 - 20^2} = 15\ m;] e [;e = c/a = 15/25 = 0,6;]. Usando a fórmula acima segue que o comprimento de arame para dar uma volta é

[;L \simeq \pi\cdot 25\biggl(2 - \frac{0,6^2}{2} + \frac{3\cdot 0,6^4}{16} - \frac{5\cdot 0,6^6}{128}\biggr) = 144,71\ m;]

Portanto, o comprimento mínimo necessário para cercar o canteiro elíptico é [;144,71\times 3 \simeq 434\ m;].

Gostará de ler também:
- Uma Fórmula Para Calcular a Área de Superfície do Elipsóide de Revolução;
- Volume do Elipsóide pelo Princípio de Cavalieri.

14 comentários:

  1. Encontrei a fórmula mostrada a seguir, que não verifiquei se corresponde à sua, mas considerada como sendo muito conhecida no livro de fracções contínuas "Continued Fractions with Applications" de Lisa Lorentzen e Haakon Waadeland:

    L = π(a+b)(1+t/4+t^2/64+t^3/256+...),

    em que t = ((a-b)/a+b))^2.

    No livro deduz-se a fórmula aproximada

    L ≈ π(a+b)(3-√(4-t)) descoberta pela 1.ª vez por Ramanujan.

    Para o seu exemplo, em que a=25 e b=20, vem:

    t = ((a-b)/a+b))^2 = (5/45)^2 = 1/81

    e

    L ≈ 45π(3-√(4-1/81)) ≈ 141,81 m

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  2. Bem interessante estas fórmulas. Tinha visto a fórmula deduzida por Ramanujan, mas resolvi não comentar neste post. Muito obrigado pelo comentário!!

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  3. Olá prof. Paulo!
    Muito interessante teu post, me ajudou bastante pois eu também estava estudando esse problema.

    Porém, eu cheguei a expressão (7) um pouco diferente: o interior da raiz ficou 1 - e² - e².(sin(t))². O resto ficou igual (usei t ao invés de teta). Não tenho idéia quem de nós chegou na expressão mais correta, mas é um problema que vem me chamando atenção nos últimos dias.

    Percebi que se e=1 temos uma elipse tão achatada que seu comprimento tende a 4a. Com a minha expressão isso acontece, por isso vim te perguntar se é possível que eu esteja certo.

    Um abraço

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  4. Ps: o interior da raiz ficou 1 - e² + e².(sin(t))², escrevi errado ali em cima

    é possível que nossas expressões sejam inclusive equivalentes, não chequei isso ainda

    desculpe o incômodo, mas não tenho nenhum livro sobre o assunto, por isso vim te perguntar aqui

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  5. Pois é Matheus, o melhor é digitar no word as suas ideias e me enviar por e-mail para eu analisar com calma e comparar as duas expressões.
    Fico contente em saber que teve interesse neste problema.

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  6. analisei com mais calma agora, na verdade a expressão é a mesma, apenas consideramos ângulos diferentes: pelo que eu entendi o teu teta parte do eixo y no sentido horário, enquanto o meu t parte do eixo x com sentido anti-horário.

    essa pequena diferença se deu pois encaramos o problema de formas diferentes: eu parametrizei a elipse desde o inicio, partindo de x=a.cos(t) e y=b.sen(t)

    engraçado é que eu cai nesse problema sem querer, pois fui tentar calcular o centróide de um arame elíptico para uma cadeira de mecânica vetorial

    de qualquer forma, parabéns pelo post, me ajudou muito!
    abraço

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  7. Professor para resolver essa integral (7) por aproximação, utilizando a regra do trapezio em integração numérica, será que seria uma boa solução? o senhor poderia resolve-lá dessa forma?

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    1. Olá Sonildo, se você deseja precisão, recomendo que use a regra de integração de Simpson que apresenta um erro menor. Se quiser ainda mais precisão você pode aumentar o número de pontos ou usar outras técnicas de integração, tal como a integração gaussiano. Além disso, para resolver numericamente a integral acima tem que ser dado o valor de e para cada integral. Recomendo que procure na internet ou em bibliotecas, livros e apostilas sobre o assunto.

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  8. Me soa estranho utilizar 434m de arame para fechar com 3 fiadas, um canteiro de apenas 40cmx50cm em forma elíptica.... Acho que o enunciado está errado... onde se lê 40cm e 50cm, leia-se respectivamente 40metros e 50 metros.... o que, pela minha forma de calcular (mais simples), daria 424,11 metros...

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    1. Realmente houve um erro de digitação o qual já foi corrigido. Obrigado pela leitura atenta e volte sempre.

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  9. Professor, a equação 8 ao ser integrada não da a expressaõ 9, os termos 3 e 4 não são, no termo 3, 3e^4/32 e o termo 4 é 5e^6/256. Agradeço se o senhor concorda com isto, e se for o caso, por favor, me faz saber.

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  10. Integrate[(Sin[t])^4, {t, 0, Pi/2}] =3Pi/16
    Integrate[(Sin[t])^6, {t, 0, Pi/2}] =5Pi/32

    Termo 3: 3Pi/16*e^4/8 = 3*Pie^4/128
    Termo 4: 5Pi/32*e^6/16 = 5*Pie^6/512


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    1. Realmente, refiz as contas e vi que a integral sin^4x de x = 0 a pi/2 é igual a 3pi/16. Tenho que corrigir a fórmula acima. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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