FATOS MATEMÁTICOS: Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Função (Parte 2)

terça-feira, 12 de outubro de 2010

Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Função (Parte 2)

Neste post, veremos a definição da derivada direcional para funções de $[;3;]$ variáveis independentes e o máximo da derivada direcional.

Definição 1: Sejam a função $[;f(x,y,z);]$ , diferenciável numa região $[;D \subset \mathbb{R}^3;]$ , o ponto $[;P_0(x_0,y_0,z_0) \in \mathbb{R}^3;]$ e a direção orientada no espaço $[;xyz;]$ , definida pelo vetor unitário $[;\vec{u} = \cos \alpha \vec{i} + \cos \beta \vec{j} + \cos \gamma \vec{k};]$ . A derivada direcional da função $[;f(x,y,z);]$ no ponto $[;P_0;]$ e na direção de $[;\vec{u};]$ é definida por:

$[;\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{u}} = \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \beta + \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \gamma;]$

Exemplo 1: Seja dada a função $[;f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2;]$ . Achar a derivada direcional $[;\frac{\partial f}{\partial \vec{u}};]$ no ponto $[;P_0(1,1,1);]$ na direção do vetor $[;\vec{u} = \vec{i} - \vec{j} + \vec{k};]$ .

Resolução: Sendo $[;\mid \vec{u} \mid = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3};]$ , então $[;\cos \alpha = 1/sqrt{3};]$ , $[;\cos \beta = -1/\sqrt{3};]$ e $[;\cos \gamma = 1/\sqrt{3};]$ . As derivadas parciais de $[;f;]$ são dadas por

$[;\frac{\partial f}{\partial x} = 2x;]$ , $[;\frac{\partial f}{\partial y} = 2y;]$ e $[;\frac{\partial f}{\partial z} = 2z;]$

segue que

$[;\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{u}} = 2x_0\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 2y_0\cdot \frac{(-1)}{\sqrt{3}} + 2z_0\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}};]$

Máximo da Derivada Direcional

Para funções de duas variáveis, vimos que a derivada direcional no ponto $[;P_0(x_0,y_0);]$ é dada por:

$[;\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{u}} = \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\sin \alpha;]$

Para cada vetor $[;\vec{u} = \cos \alpha \vec{i} + \sin \alpha \vec{j};]$ , temos um único valor para $[;\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{u}};]$ . Assim, a derivda direcional é uma função da variável $[;\alpha;]$ , ou seja,

$[;f(\alpha) = \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\sin \alpha \qquad (1);]$

Se houver uma direção em que a direção direcional tem um valor máximo, este valor é chamado gradiente de $[;z = f(x,y);]$ em $[;P_0;]$ . Geometricamente, o gradiente é a inclinação da tangente de maior declividade que pode ser traçada no ponto $[;P_0;]$ . Para achar essa direção, fazemos $[;f^{\prime}(\alpha) = 0;]$ , ou seja,

$[;f^{\prime}(\alpha) = \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}(-\sin \alpha) + \frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\cos \alpha = 0 \quad \Rightarrow;]$

$[;\tan \bar{\alpha} = \frac{\frac{\partial f(P_0)}{\partial y}}{\frac{\partial f(P_0)}{\partial x}} \qquad (2);]$

Dependendo dos sinais das derivadas parciais de $[;f;]$ , o ângulo $[;\bar{\alpha};]$ é um ângulo do $[;1^{\circ};]$ e $[;3^{\circ};]$ quadrantes ou $[;2^{\circ};]$ e $[;4^{\circ};]$ quadrantes. Da expressão $[;(2);]$ , segue que

$[;\sin \bar{\alpha} = \frac{\partial f(P_0)/\partial y}{\sqrt{\biggl(\frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\biggr)^2 + \biggl(\frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\biggr)^2};]$

$[;\cos \bar{\alpha} = \frac{\partial f(P_0)/\partial x}{\sqrt{\biggl(\frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\biggr)^2 + \biggl(\frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\biggr)^2};]$

Substituindo essas expressões em $[;(1);]$ e simplificando, obtemos

$[;f(\bar{\alpha}) = \sqrt{\biggl(\frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\biggr)^2 + \biggl(\frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\biggr)^2};]$

ou seja, o gradiente de $[;z = f(x,y);]$ em $[;P_0;]$ é o módulo de um vetor cujas componentes são $[;\partial f(P_0)/\partial x;]$ e $[;\partial f(P_0)/\partial y;]$ . Isto sugere a seguinte definição:

Definição 2: Seja $[;z = f(x,y);]$ definida e contínua na região $[;D \subset \mathbb{R}^2;]$ . Admitindo que $[;\partial f/\partial x;]$ e $[;\partial f/\partial y;]$ existam, o vetor gradiente da função $[;f;]$ no ponto $[;P;]$ é definido por

$[;grad\ f(P) = \frac{\partial f(P)}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f(P)}{\partial y}\vec{j} = \biggl(\frac{\partial f(P)}{\partial x}, \frac{\partial f(P)}{\partial y}\biggr);]$

cujas coordenadas são as derivadas parciais de $[;1^{\underline{a}};]$ ordem calculadas em $[;P \in D;]$ , é chamado gradiente da função $[;f;]$ no ponto $[;P;]$ .

Observações:
1) Pela definição acima segue que $[;f(\bar{a}) = \mid grad\ f(P)\mid;]$ . Logo, o vetor gradiente aponta na direção e sentido em que $[;f;]$ possui o maior crescimento.

2) O gradiente de funções de $[;3;]$ é definido de maneira análoga, ou seja, se $[;w = f(x,y,z);]$ , então

$[;grad\ f(P) = \frac{\partial f(P)}{\partial x}\vec{i} +\frac{\partial f(P)}{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial f(P)}{\partial z}\vec{k};]$

Definição 3: Chama-se operador diferencial vetorial ou operador nabla, denotado por $[;\nabla;]$ ou $[;\vec{\nabla};]$ , o vetor definido por:

$\nabla \equiv \vec{i} \frac{\partial}{\partial x} + \vec{j}\frac{\partial}{\partial y}+ \vec{k}\frac{\partial}{\partial z}$

Este vetor possui propriedades análogas às dos vetores comuns e simplifica bastante ao vetor gradiente definido acima, isto é,

$[;\nabla f = \biggl(\frac{\partial}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{k}\biggr) = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k};]$

Teorema 1: A derivada direcional $[;\partial f(P_0)/\partial \vec{u};]$ em qualquer direção dada é a componente escalar do $[;\nabla f(P_0);]$ naquela direção, ou seja,

$[;\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{u}} = \nabla f(P_0)\cdot \vec{u} = \mid \nabla f(P_0) \mid \cos \theta;]$

onde $[;\theta;]$ é o ângulo entre os vetores $[;\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{u}};]$ e $[;\nabla f;]$ , sendo $[;\vec{u};]$ um vetor unitário dado.

Demonstração: Sejam $[;z = f(x,y,z);]$ diferenciável numa região $[;D \subset \mathbb{R}^3;]$ e o ponto $[;P_0(x_0,y_0,z_0) \in D;]$ . Assim,

$[;\frac{\partial f(P_0)}{\partial \vec{u}} = \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \beta + \frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\cos \gamma;]$

$[;=\biggl[\frac{\partial f(P_0)}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f(P_0)}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial f(P_0)}{\partial z}\vec{k} \biggr]\cdot (\vec{i}\cos \alpha + \vec{j}\cos \beta + \vec{k}\cos \gamma);]$

$[; =\nabla f(P_0)\cdot \vec{u} = \mid \nabla f(P_0)\mid \mid \vec{u}\mid \cos \theta = \mid \nabla f(P_0)\mid \cos \theta;]$

Exercícios Propostos:

1) Nos exercícios abaixo, determine as derivadas direcionais das funções dadas nos pontos dados e nas direções indicadas. a) $[;f(x,y) = x^2 - 3y;]$ em $[;P_0(0,0);]$ na direção do vetor $[;\vec{u}=(1,2);]$ ; b) $[;w = x^2 + 2xy + z^2;]$ em $[;P_0(1,0,-1);]$ na direção do vetor $[;(1,-1,1);]$ .

2) Calcule o vetor gradiente das funções abaixo nos pontos dados: a) $[;f(x,y) = 2x^2 + 3y^2;]$ em $[;P_0(1,1);]$ ; b) $[;f(x,y,z) = \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2};]$ em $[;P_0(2,1,-1);]$ .

3) Mostre que
a) $[;\nabla (f + g) = \nabla f + \nabla g;]$ ;
b) $[;\nabla (af) = a\nabla f, \quad \forall a \in \mathbb{R};]$ ;
c) $[;\nabla (fg) = f\nabla(g) + g\nabla(f);]$ ;
d) $[;\nabla \biggl(\frac{f}{g}\biggr) = \frac{g\nabla f - f\nabla g}{g^2};]$ .

4) A temperatura $[;T;]$ de uma placa circular aquecida, em qualquer dos seus pontos $[;(x,y);]$ é dada por

$[;T(x,y) = \frac{100}{x^2 + y^2 + 2};]$

estando a origem no centro da placa. No ponto $[;P_0(2,-1);]$ determine:

a) A taxa de variação de $[;T;]$ na direção $[;\theta = \pi/3;]$ ;

b) $[;\nabla T(2,-1);]$ .

Gostará de ler também:
- Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Função (Parte 1);
- Sobre o Produto Escalar;
- Diferentes Maneiras de Calcular a Derivada da Potência Enésima de x .

7 comentários:

AndreFillipe12 de outubro de 2010 14:47
Muito bom o post.
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Prof. Paulo Sérgio12 de outubro de 2010 15:29
Obrigado AndreFillipe. Este assunto é pouco abordado na internet, por isso, resolvi fazer este post. Volte sempre!
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AndreFillipe13 de outubro de 2010 02:10
Com certeza vou voltar! Professor, conheces algum material em português sobre tensores e geometria diferencial?
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Prof. Paulo Sérgio13 de outubro de 2010 09:22
Sou leigo em Geometria Diferencial, mas gostei desse material

http://home.uevora.pt/~rpa/Geometria_Diferencial.pdf

e sobre tensores tem esse

http://paginas.fe.up.pt/~ldinis/capitulo1.pdf
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AndreFillipe14 de outubro de 2010 14:14
Muito obrigado!
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Anônimo10 de setembro de 2012 20:59
Entao, se z=f(x,y), o vetor gradiente de f em Po sera o vetor
diretor da reta tangente em Po=(xo,yo)que tem o maior coeficiente angular ou da reta tangente em Po=(xo,yo,f(xo,yo)), com maior coeficiente angular ?

Exelente blog! obrigado!
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Prof. Paulo Sérgio11 de setembro de 2012 10:31
Falar em coeficiente angular da reta tangente ou coeficiente do vetor diretor da reta tangente é a mesma coisa. O vetor gradiente aponta para a direção e sentido de maior crescimento da função. Obrigado pelo comentário e volte sempre!
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Derivadas Direcionais e o Gradiente de uma Função (Parte 2)

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