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A Desigualdade de Weitzenböck

Neste post, veremos uma desigualdade geométrica descoberta por Roland Weitzenböck que afirma que para qualquer triângulo de lados [;a;], [;b;] e [;c;] e área [;S;] tem-se

[;a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}S \qquad (1);]

A sua prova surgiu na International Mathematical Olympiad (IMO) de [;1961;]. A demonstração que apresentarei baseia-se na desigualdade triangular, na desigualdade aritmética-geométrica e na famosa fórmula de Heron.

Pela desigualdade triangular,

[;a + b \succ c \quad \Rightarrow \quad a + b - c \succ 0;]

[;a + c \succ a \quad \Rightarrow \quad a + c - b \succ 0;]

[;b + c \succ a \quad \Rightarrow \quad b + c - a \succ 0;]

Assim, pela desigualdade aritmética-geométrica, temos

[;\frac{a+b-c+a+c-b+b+c-a}{3}\geq \sqrt[3]{(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)};]
donde segue que

[;(a+b+c)^3 \geq 27(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a) \qquad (2);]

Por outro lado, para quaisquer [;a,b,c \in \mathbb{R}_{+};], temos:

[;\begin{cases}(a - b)^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 + b^2 \geq 2ab \qquad (3)\\(a - c)^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 + c^2 \geq 2ac \qquad (4)\\(b - c)^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad b^2 + c^2 \geq 2bc \qquad (5)\\\end{cases};]

Adicionando as expressões [;(3);], [;(4);] e [;(5);] membro a membro, temos:

[;2(a^2 + b^2 + c^2) \geq 2(ab + ac + bc) \quad \Rightarrow;]

[;3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + ac + bc) \quad \Rightarrow;]

[;3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 = \sqrt{(a + b + c)^4} \quad \Rightarrow;]

[;a^2 +b^2 + c^2 \geq \sqrt{3(a+b+c)\biggl(\frac{a+b+c}{3} \biggr)^3}\qquad (6);]

Substituindo [;(2);] em [;(6);], segue que

[;a^2+b^2+c^2 \geq \sqrt{3(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}\quad \Rightarrow;]

[;a^2+b^2+c^2 \geq \sqrt{3\cdot 2p(2p - 2a)(2p - 2b)(2p - 2c)};]

onde [;p = (a+b+c)/2;]. Simplificando e usando a fórmula de Heron para área de um triângulo dada por

[;S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};]

segue a desigualdade [;(1);].

Gostará de ler também:
- A Desigualdade de Erdös-Mordell;
- A Desigualdade de Cauchy-Schwarz;
- Duas Médias (Parte 2);
- A Fórmula de Heron.

3 comentários:

  1. Muito bom!!!!! Com vcs a geometria parece fácil

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  2. com essa inequaçao é possivel provar que de todos os triangulos de mesmo perimetro o equilatero é o que tem maior area

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  3. Interessante esta aplicação e como seria a prova? Se quiser pode enviar por e-mail para linnux2001@gmail.com para enriquecer o post. É com os devidos créditos.

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