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sábado, 30 de outubro de 2010

A Matemática de Euler (Parte 1)

Já apresentei a série "O Cálculo de Leibniz" em [;5;] episódios. Em comemoração ao tricentésimo aniversário de nascimento de Leonhard Euler em [;2007;], Eric Merenstein fez um estudo minucioso de sua obra em várias áreas da Matemática e que agora apresentarei em vários episódios.

Veremos neste post suas contribuições em Análise seguindo as suas ideias. Assim, era muito comum que em suas demonstrações, o uso de grandezas infinitamente grandes ou infinitamente pequenas substituíam a Teoria dos Limites que teve seu desenvolvimento no século [;XIX;] com os trabalhos de Cauchy e Bolzano.

A sua grande perspicácia ao tratar os assuntos de Análise sempre o conduzia a resultados corretos. Assim, agindo desta forma, ele obteve as séries infinitas para as funções exponenciais, logarítmicas, a sua famosa identidade com números complexos e as constantes [;\pi;] e [;e;].

Para obter a série exponencial, Euler começou com a função [;y = a^x;] com [;a \succ 1;]. Em seguida, escreveu

[;a^{\omega} = 1 + \psi \qquad (1);]

onde [;\omega;] e [;\psi;] são dois números infinitesimais de mesma ordem, de modo que [;\psi = k\omega;] Portanto, [;k;]depende apenas de [;a;]. Assim,

[;a^x = (a^{\omega})^{x/\omega} = (1 + \psi)^{x/\omega};]

Fazendo [;j = x/\omega;] e usando o teorema binomial, temos:

[;a^x = (1 + k\omega)^{x/\omega} = \biggl(1 + \frac{kx}{j}\biggr)^{j};]

[;= 1 + j\biggl(\frac{kx}{j}\biggr) + \frac{j(j-1)}{2}\biggl(\frac{kx}{j}\biggr)^2 + \frac{j(j-1)(j-2)}{3!}\biggl(\frac{kx}{j}\biggr)^3+\ldots;]

[;=1 + kx + \frac{j-1}{j}\biggl(\frac{k^2x^2}{2\cdot 1}\biggr) + \frac{(j-1)(j-2)}{j\cdot j}\biggl(\frac{k^3x^3}{3\cdot 2\cdot 1}\biggr)+\ldots;]

Desde que [;x\ ;] é um número finito e [;\omega;] é um infinitésimo, então [;j;] é infinitamente grande e Euler concluiu que

[;\frac{j-1}{j} = \frac{j-2}{j}=\frac{j-3}{j}=\ldots = \frac{j-n}{j}=1;]

Observe que Euler trabalhou com grandezas infinitamente grande e infinitamente pequena, uma vez que a teoria de limites seria criada no século seguinte. De qualquer modo Euler estava correto em suas hipóteses. Portanto, a série para [;a^x;] é dada por

[;a^x = 1 + kx + \biggl(\frac{k^2x^2}{2\cdot 1}\biggr) + \biggl(\frac{k^3x^3}{3\cdot 2\cdot 1}\biggr) + \biggl(\frac{k^4x^4}{4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\biggr) + \ldots;]

Fazendo [;x = 1;] temos:

[;a = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\ldots;]

Ele calculou numericamente algumas decimais de [;a;] e obteve [;a = 2,7182818\ldots;] e designou essa constante pela letra [;e;]. Logo,

[;e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}+\ldots = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!};]

Gostará de ler também
- Grandes Matemáticos (Leonhard Euler);
- Euler: O Mestre de Todos Nós;
- Uma Prova que e é Irracional;
- Euler e o Quadrilátero Convexo;
- Alguns Matemáticos com suas Fórmulas Famosas.

Referência Bibliográfica:
- Merenstein, Eric. Leonhard Euler: University of Rochester, Spring, [;2008;].
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 30.10.10
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12 comentários:

  1. Parabéns pelo blog é uma grande ferramenta para os aficcionados em Matemática!
    vlw!

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  2. Obrigado Felipe, temos muito a desenvolver. Agradeço pelos elogios. Volte sempre!

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  3. Ninguém melhor para falar que o mestre Euler.

    Você nos faz obedecer a Laplace, outro mestre, quando disse: "Leiam Euler, leiam Euler, ele é o mestre de todos nós".

    Mais um post louvável. Você tem feito sempre ótimas escolhas.
    Parabéns.

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  4. Ia me esquecendo. Ficaram ótimas as mudanças no blog.

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  5. Muito obrigado João Batista, seus comentários sempre enriquece o blog. Realmente, Euler é um mestre a ser seguido, particularmente eu considero o maior matemático de todos os tempos.

    Além disso, há muito tempo estava procurando um teemplate com fundo branco sem que aparece bordas nas equações. Até que na última semana consegui. Tenho recebidos muitos comentários aprovando este novo template. Obrigado e volte sempre!

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  6. Realmente o template ficou muito bom! Prático, simples, e de fácil navegação.

    Abraços.

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  7. Muito obrigado Matheus. Também gosto muito do template do seu blog. Abraços e volte sempre!

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  8. Muito boa a sua exposição. Gosto francamente do novo "design".

    Abraços

    Américo

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  9. Américo, agradeço muito a sua opinião e aprovação do novo template. Abraços!!

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  10. Ficou muito bom o banner Paulo, combinou com o template.

    Forte abraço!

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  11. Muito obrigado Kleber, você merece todos os créditos pela confecção do novo cabeçalho, onde foi adicionado o logo do blog. Meus sinceros agradecimentos.

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  12. Esta série sobre Euler é realmente encantadora.
    Para todos os matemáticos e simpatizantes das ciências exatas, o blog é realmente uma ótima ferramenta de aprendizado.
    Parabéns mais uma vez.

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