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Sobre o Duplo Produto Vetorial e Generalizações

Neste post veremos um tipo de produto que raramente é apresentado na disciplina de Geometria Analítica ou Cálculo Vetorial.

Trata-se do duplo produto vetorial que possui valores diferentes conforme a forma que associamos os vetores [;\vec{u};], [;\vec{v};] e [;\vec{w};].

Proposição 1: [;(\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{w};] pertence ao plano definido pelos vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};] e é dado por

[;(\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{w} = (\vec{u}\cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v}\cdot \vec{w})\vec{u} \qquad (1);]

ou seja, "O duplo produto vetorial [;(\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{w};] é igual a diferença entre de dois vetores, cujo coeficiente do primeiro termo é igual ao produto escalar do primeiro com o terceiro vetor e o coeficiente do segundo vetor é igual ao produto escalar do segundo pelo terceiro vetor".

Demonstração: Na figura acima, [;\vec{u}\times \vec{v};] é perpendicular ao plano formado pelos vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};]. Portanto, [;(\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{w};] é perpendicular a [;\vec{u}\times \vec{v};], e deste modo, deve estar contido no plano definido pelos vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};]. Assim, existem [;a,b \in \mathbb{R};] tal que

[;(\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{w} = a\vec{u} + b\vec{v} \qquad (2);]

Sendo [;(\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{w} \perp \vec{w};], segue que [;0 = [(\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{w}]\cdot \vec{w} = a\vec{u}\cdot \vec{w} + b\vec{v}\cdot \vec{w} \quad \Rightarrow;] [;a\vec{u}\cdot \vec{w} = -b\vec{v}\cdot \vec{w} \quad \Rightarrow;]

[;a = - b\frac{\vec{v}\cdot \vec{w}}{\vec{u}\cdot \vec{w}} \qquad (3);]
Substituindo [;(3);] em [;(2);], temos

[;(\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{w} = -b\frac{\vec{v}\cdot \vec{w}}{\vec{u}\cdot \vec{w}}\vec{u} + b\vec{v} = -\frac{b}{\vec{u}\cdot \vec{w}}[(\vec{u}\cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v}\cdot \vec{w})\vec{u}];]
ou seja,


No caso particular em que [;\vec{u} = \vec{w};], temos:

[;(\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{u} = \lambda [\mid \vec{u} \mid^2 \vec{v} - (\vec{v}\cdot \vec{u})\vec{u}] \qquad (5);]

Tomando o produto escalar em [;(5);], segue que

[;(\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{u}\cdot \vec{v} = \lambda [\mid \vec{u}\mid^2 \vec{v}\cdot \vec{v} - (\vec{v}\cdot \vec{u})\vec{u}\cdot \vec{v}];]

Usando o fato que [;\times;] e [;\cdot;] permutam-se no produto misto, podemos escrever

[;(\vec{u}\times \vec{v})\cdot (\vec{u}\times \vec{v}) = \lambda [\mid \vec {u}\mid^2\mid \vec{v}\mid^2 - (\vec{u}\cdot \vec{v})^2];]

Pela identidade de Lagrange,

[;\mid \vec{u} \mid^2\mid \vec{v} \mid^2 - (\vec{u}\cdot \vec{v})^2 = \mid \vec{u}\times \vec{v}\mid^2;]

Assim, [;\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid^2 = \lambda \mid \vec{u}\times \vec{v} \mid^2 \quad \Rightarrow \quad \lambda = 1;]. Substituindo este valor na expressão [;(4);], provamos a Proposição.

Observação 1: Podemos escrever a expressão na forma de um determinante [;2\times 2;], isto é:

[;(\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{w} = (\vec{u}\cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v}\cdot \vec{w})\vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{u}\cdot \vec{w} & \vec{v}\cdot \vec{w}\\\vec{u} & \vec{v}\\ \end{vmatrix};]

Observação 2: Sendo

[;\vec{u}\times (\vec{v}\times \vec{w}) = - (\vec{v}\times \vec{w})\times \vec{u} = - \begin{vmatrix}\vec{v}\cdot \vec{u} & \vec{w}\cdot \vec{u}\\ \vec{v} & \vec{w}\\ \end{vmatrix};]

[;= (\vec{w}\cdot \vec{u})\vec{v} - (\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{w} = (\vec{u}\cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u}\cdot \vec{v})\vec{w};]

concluímos que [;(\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{w} \neq \vec{u}\times (\vec{v}\times \vec{w});].

Exemplo 1: Mostre que

[;(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a},\vec{c},\vec{d})\vec{b} - (\vec{b},\vec{c},\vec{d})\vec{a};]

Resolução: De fato, seja [;\vec{u} = \vec{c}\times \vec{d};]. Assim,

[;(\vec{a}\times \vec{b})\times (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{u} = (\vec{a}\cdot \vec{u})\vec{b} - (\vec{b}\cdot \vec{u})\vec{a};]

[;= [\vec{a}\cdot (\vec{c}\times \vec{d})]\vec{b} - [\vec{b}\cdot (\vec{c}\times \vec{d})]\vec{a} = (\vec{a},\vec{c},\vec{d})\vec{b} - (\vec{b},\vec{c},\vec{d})a;]

Exemplo 2: Prove que [;\vec{a}[\vec{a}\times (\vec{a}\times \vec{b})] = \mid \vec{a}\mid^2(\vec{b}\times \vec{a});].

Resolução: Sendo [;\vec{a}\times (\vec{a}\times \vec{b}) = (\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a}\cdot \vec{a})\vec{b};], então

[;\vec{a}\times [\vec{a}\times (\vec{a}\times \vec{b})] = \vec{a}\times [(\vec{a}\cdot \vec{b})\vec{a} - \mid \vec{a}\mid^2 \vec{b}] = (\vec{a}\cdot \vec{b})(\vec{a}\times \vec{a}) - \mid \vec{a}\mid^2(\vec{a}\times \vec{b});]

[; = \mid \vec{a}\mid^2(\vec{b}\cdot \vec{a});]

Exemplo 3: Mostre que

[;(\vec{u}\times \vec{v})\times \vec{w} = (\vec{u}\cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v}\cdot \vec{w})\vec{u} = \begin{vmatrix}\vec{a}\cdot \vec{c} & \vec{b}\cdot \vec{c}\\ \vec{a}\cdot \vec{d} & \vec{b}\cdot \vec{d}\\ \end{vmatrix};]

Resolução: De fato, seja [;\vec{u} = \vec{a}\times \vec{b};]. Assim,

[;(\vec{a}\times \vec{b})\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = \vec{u}\cdot (\vec{c}\times \vec{d}) = (\vec{u}\times \vec{c})\cdot \vec{d};]

[; = [(\vec{a}\times \vec{b})\times \vec{c}]\cdot \vec{d} = [(\vec{a}\cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b}\cdot \vec{c})\vec{a}]\cdot \vec{d};]

[; = (\vec{a}\cdot \vec{c})(\vec{b}\cdot \vec{d}) - (\vec{a}\cdot \vec{d})(\vec{b}\cdot \vec{c});]
donde segue o resultado.

Exercícios Propostos:

[;1);] Prove que [;(\vec{u}\times \vec{v})\cdot \vec{w} = \vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w});].

[;2);] Mostre que
[;\begin{vmatrix}\vec{a}\cdot \vec{a} & \vec{a}\cdot \vec{b}\\ \vec{a}\cdot \vec{b} & \vec{b}\cdot \vec{b}\\ \end{vmatrix} = \mid \vec{a}\times \vec{b}\mid^2;]

Sugestão: Faça [;\vec{c} = \vec{a};] e [;\vec{d} = \vec{b};] no exemplo 3.

[;3);] Prove a identidade [;(\vec{a} + \vec{b})\cdot (\vec{a}\times \vec{c})\times (\vec{a} + \vec{b}) = 0;].

[;4);] Mostre que [;(\vec{v}\times \vec{w})\times (\vec{w}\times \vec{u})\times (\vec{u}\times \vec{v}) = (\vec{u},\vec{v},\vec{w})^2;].

[;5);] Prove a identidade de Lagrange:

[;\mid \vec{u}\times \vec{v}\mid^2 + (\vec{u}\cdot \vec{v})^2 = \mid \vec{u}\mid^2 \mid \vec{v}\mid^2;].

Gostará de ler também:
- Sobre o Produto Escalar;
- Sobre o Produto Vetorial;
- Sobre o Produto Misto;
- O Produto Escalar de Dois Números Complexos;
- O Produto Vetorial de Dois Números Complexos.

5 comentários:

  1. Oi! eu nao intendi so uma coisa,, Qual o significado geometrico do duplo produto vetoral, quer dizer , o produto misto representa, em modulo, o volume o outro la que eue esqueci o nome representa, em modulo, a area, mas e esse tem algum significado assim?

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  2. Este produto tem aplicações em trigonometria esférica e física. Irei elaborar um post sobre isso. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  3. Olá Sérgio. Na figura do topo da página ao meu ver tem algum equívoco como os vetores normais. Por exemplo: u x v = n, vetor normal, deveria estar na direção de w. Agora, imaginando que o meu problema seja de visualização e que n e w estejam corretos ainda teria um problema pois, (u x v) x w, deveria estar para dentro do paralelepípedo. Espero que eu esteja certo. Aprecio seu trabalho com este blog, ótimos artigos que muitas vezes só encontramos similares em sites estrangeiros! Estimas!

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