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Sobre o Vetor Projeção

O vetor projeção na Geometria Analítica tem muitas aplicações, tais como o cálculo de distância entre um ponto e um plano e útil também para determinar o pé de perpendiculares de forma analítica. Antes de continuar a leitura, sugiro que leia o post: Sobre o Produto Escalar.

Definição 1: Sejam os vetores não-nulos [;\vec{u};] e [;\vec{v};] no [;\mathbb{R}^2;] ou [;\mathbb{R}^3;]. Considere também o ponto sobre o pé da perpendicular baixada da extremidade de [;\vec{u};] sobre o vetor [;\vec{v};] ou o seu prolongamento. Se [;O;] é a origem comum entre [;\vec{u};] e [;\vec{v};], definimos o vetor projeção de [;\vec{u};] sobre [;\vec{v};], denotado por [;proj_{\vec{v}}\ \vec{u};]como sendo o vetor [;\vec{OA};], conforme a figura acima.

Proposição 1: Analiticamente, o vetor projeção de [;\vec{u};] sobre [;\vec{v};] é dado por

[;proj_{\vec{v}}\ \vec{u} = \biggl(\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}} \biggr)\vec{v} \qquad (1);]

Demonstração: Sendo [;\vec{u}\cdot \vec{v} = \mid \vec{u}\mid \mid \vec{v}\mid \cos \theta;], então [;\cos \theta = \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\mid \vec{u}\mid \mid \vec{v} \mid};]. Da figura acima, temos [;\mid \vec{OA} \mid = \mid \vec{u} \mid \cos \theta;], donde segue que

[;\mid \vec{OA}\mid = \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\mid \vec{v} \mid};]
Sendo
[;\vec{OA} = \mid \vec{OA}\mid \frac{\vec{v}}{\mid \vec{v}\mid};]
obtemos:
[;proj_{\vec{v}}\ \vec{u} = \vec{OA} = \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\mid \vec{v}\mid}\frac{\vec{v}}{\mid \vec{v} \mid} = \biggl(\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}}\biggr)\vec{v};]

Observação 1: Note que em termos do vetor unitário [;\hat{v};], podemos escrever o vetor projeção de [;\vec{u};] sobre [;\vec{v};] do seguinte modo:

[;proj_{\vec{v}}\ \vec{u} = \mid \vec{OA} \mid \hat{v} = \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\mid \vec{v} \mid}\hat{v} = (\vec{u}\cdot \hat{v})\hat{v};]

Analogamente, o vetor projeção de [;\vec{v};] sobre [;\vec{u};] é dado por

[;proj_{\vec{u}}\ \vec{v} = \biggl(\frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}}\biggr)\vec{u};]

Proposição 2: Considere os vetores [;\vec{u};], [;\vec{v};], [;\vec{w};] e o escalar [;k \in \mathbb{R};]. Então:
i) [;proj_{\vec{w}}\ (\vec{u} + \vec{v}) = proj_{\vec{w}}\ \vec{u} + proj_{\vec{w}}\ \vec{v};];
ii) [;proj_{\vec{v}}\ (k\vec{u}) = kproj_{\vec{v}}\ \vec{u};].

Demonstração:
i) [;proj_{\vec{w}} \ (\vec{u} + \vec{v}) = [(\vec{u} + \vec{v})\cdot \hat{w}]\hat{w} = (\vec{u}\cdot \hat{w} + \vec{v}\cdot \hat{w})\hat{w};]

[;= (\vec{u}\cdot \hat{w})\hat{w} + (\vec{v}\cdot \hat{w})\hat{w} = proj_{\vec{w}}\ \vec{u} + proj_{\vec{w}}\ \vec{v};]

ii) [;proj_{\vec{v}}\ (k\vec{u}) = [(k\vec{u}\cdot \hat{v})]\hat{v} = [k(\vec{u}\cdot \hat{v})\hat{v}] = k(\vec{u}\cdot \hat{v})\hat{v} = kproj_{\vec{v}}\ \vec{u};]

Exemplo 1: O [;\triangle ABC;] é definido pelos pontos [;A(-1,2,1);], [;B(2,1,-1);] e [;C(1,3,-2);]. Determine o pé da perpendicular baixada do vértice [;C;] sobre o lado [;AB;].

Resolução: Sejam os vetores

[;\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (2,1,-1) - (-1,2,1) = (3,-1,-2);]
e
[;\vec{v} = \vec{AC} = C - A = (1,3,-2) - (-1,2,1) = (2,1,-3);]

Note que
[;\vec{AD} = proj_{\vec{u}}\ \vec{v} = \biggl(\frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}} \biggr)\vec{u} \quad \Rightarrow;]

[;D - A = \biggl[\frac{(2,1,-3)\cdot (3,-1,-2)}{(3,-1,-2)\cdot (3,-1,-2)}\biggr](3,-1,-2) \quad \Rightarrow \quad D = (-1,2,1) + \frac{11}{14}(3,-1,-2) \quad \Rightarrow;]

Logo, [;D(19/14,17/14,-3/7);] é o pé da perpendicular baixada do vértice [;C;] ao lado [;AB;].

Gostará de ler também:
- Sobre o Produto Escalar;
- Sobre o Produto Vetorial;
- Sobre o Produto Misto;
- Retas Perpendiculares no Plano;
- A Reta no Espaço Tridimensional.

5 comentários:

  1. amigo, tenho um problema a resolver. trabalho modelagem tridimensional e todos meus elementos são triangulos em 3D. tenho as coordenadas (x,y,z) de cada ponto e preciso do inclinação do plano que contém o triangulo em relação ao plano horizontal e da direção horizontal dessa inclinação. até onde consegui chegar tenho como determinar o vetor normal do plano.. seria o caso de determinar o angulo em x,y para determinar a direção horizontal.. a inclinação nem tenho idéia... agradeço a ajuda se responder a edsonfk@hotmail.com

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  2. Está um pouco confuso as suas perguntas. Inclinação do plano que contém o triângulo em relação ao plano horizontal seria a tangente do ângulo que este plano forma com o plano horizontal? Se sim, então seja [;\theta;] este ângulo e [;\vec{N}_T = (x,y,z);] o vetor normal deste triângulo. Assim, pela fórmula do produto interno,

    [;\cos \theta = \frac{\vec{N}_T\cdot \vec{k}}{|N_T|\cdot 1} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}};]

    A partir daí podemos achar [;tan \theta;].

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  3. Quanto a outra pergunta, não sei o significa "direção horizontal dessa inclinação".

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  4. tenho um trabalho a fazer mais não consigo achar nada relacionado a *Projeçãode um vetor em uma dada direção*

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    1. Dado um vetor u, para projetá-lo em uma direção, devemos saber que direção é essa. Normalmente, fazemos isso através de vetores. Por exemplo, para projetar um vetor u sobre o eixo x, vemos que o vetor unitário i fornece a direção deste eixo, sendo o vetor projetado v é dado por v =(u.i)i, onde o . representa o produto escalar.

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