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quinta-feira, 28 de outubro de 2010

Uma Solução Analítica do Problema do Arbelo

Já apresentei na PSP [;1;], (click aqui), a demonstração do elegante problema do arbelo de Arquimedes. Neste post veremos uma solução analítica deste problema cujo enunciado é:

Sejam [;C;] um ponto qualquer sobre o semicírculo de diâmetro [;AB;] e [;CD;] a perpendicular a [;AB;]. Em seguida considere os semicírculos de diâmetros [;AD;] e [;DB;] respectivamente. A região limitada pelas [;3;] circunferências é chamado de arbelo de Arquimedes e sua área é igual a área do círculo diâmetro [;CD;], conforme a figura ao lado.

Sejam [;S_1;] a área do semicírculo de diâmetro [;BC;], [;S_2;] a área do semicírculo de diâmetro [;AC;] e [;S;] a área do círculo de [;CD;]. Provaremos que

[;S_{arb} = S \qquad (1);]

De fato, a equação cartesiana do círculo [;AEB;] é [;x^2 + y^2 = R^2;]. Sendo [;CD^2 = R^2 - x^2;], então

[;S = \frac{\pi CD^2}{4} = \frac{\pi(R^2 - x^2)}{4} \qquad (2);]

Por outro lado, [;BC = R - x;] e [;AC = R + x;], de modo que

[;S_1 = \frac{\pi}{2}\biggl(\frac{AC}{2}\biggr)^2 = \frac{\pi (R + x)^2}{8} \qquad \text{e} \qquad S_2 = \frac{\pi}{2}\biggl(\frac{BC}{2}\biggr)^2 = \frac{\pi (R - x)^2}{8};]

de modo que a área do arbelo é

[;S_{arb} = \frac{\pi R^2}{2} - S_1 - S_2 = \frac{\pi R^2}{2} - \frac{\pi}{8}[(R + x)^2 + (R - x)^2];]

[;S_{arb} = \frac{\pi R^2}{2} - \frac{\pi R^2}{4} - \frac{\pi x^2}{4} = \frac{\pi(R^2 - x^2)}{4} \qquad (3);]
De [;(2);] e [;(3);], obtemos [;(1);].

Uma consequência interessante deste resultado é mostrar a equivalência de áreas na figura abaixo, ou seja, mostre que a área das regiões de cor azul é igual a área das regiões de cor verde.

Devemos provar que [;S_1 + S_2 + S_3 = S_4 + S_5;]. Para isto, seja [;S_x;] a área da região interna do círculo de diâmetro [;CD;], limitada por [;S_1,S_2,S_3,S_4;] e [;S_5;]. Pelo teorema do arbelo, temos:

[;S_1 + S_2 + S_3 + S_x = S_4 + S_x + S_5;]

donde segue o resultado.

Gostará de ler também:
- As Lúnulas de Hipócrates;
- O Teorema da Corda Quebrada de Arquimedes;
- Provas Sem Palavras (Parte 15);
- Grandes Matemáticos (Arquimedes de Siracusa);
- Uma Média Geométrica Entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone;

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