FATOS MATEMÁTICOS: Uma Solução Analítica do Problema do Arbelo

quinta-feira, 28 de outubro de 2010

Uma Solução Analítica do Problema do Arbelo

Já apresentei na PSP $[;1;]$ , (click aqui), a demonstração do elegante problema do arbelo de Arquimedes. Neste post veremos uma solução analítica deste problema cujo enunciado é:

Sejam $[;C;]$ um ponto qualquer sobre o semicírculo de diâmetro $[;AB;]$ e $[;CD;]$ a perpendicular a $[;AB;]$ . Em seguida considere os semicírculos de diâmetros $[;AD;]$ e $[;DB;]$ respectivamente. A região limitada pelas $[;3;]$ circunferências é chamado de arbelo de Arquimedes e sua área é igual a área do círculo diâmetro $[;CD;]$ , conforme a figura ao lado.

Sejam $[;S_1;]$ a área do semicírculo de diâmetro $[;BC;]$ , $[;S_2;]$ a área do semicírculo de diâmetro $[;AC;]$ e $[;S;]$ a área do círculo de $[;CD;]$ . Provaremos que

$[;S_{arb} = S \qquad (1);]$

De fato, a equação cartesiana do círculo $[;AEB;]$ é $[;x^2 + y^2 = R^2;]$ . Sendo $[;CD^2 = R^2 - x^2;]$ , então

$[;S = \frac{\pi CD^2}{4} = \frac{\pi(R^2 - x^2)}{4} \qquad (2);]$

Por outro lado, $[;BC = R - x;]$ e $[;AC = R + x;]$ , de modo que

$[;S_1 = \frac{\pi}{2}\biggl(\frac{AC}{2}\biggr)^2 = \frac{\pi (R + x)^2}{8} \qquad \text{e} \qquad S_2 = \frac{\pi}{2}\biggl(\frac{BC}{2}\biggr)^2 = \frac{\pi (R - x)^2}{8};]$

de modo que a área do arbelo é

$[;S_{arb} = \frac{\pi R^2}{2} - S_1 - S_2 = \frac{\pi R^2}{2} - \frac{\pi}{8}[(R + x)^2 + (R - x)^2];]$

$[;S_{arb} = \frac{\pi R^2}{2} - \frac{\pi R^2}{4} - \frac{\pi x^2}{4} = \frac{\pi(R^2 - x^2)}{4} \qquad (3);]$

De $[;(2);]$ e $[;(3);]$ , obtemos $[;(1);]$ .

Uma consequência interessante deste resultado é mostrar a equivalência de áreas na figura abaixo, ou seja, mostre que a área das regiões de cor azul é igual a área das regiões de cor verde.

Devemos provar que $[;S_1 + S_2 + S_3 = S_4 + S_5;]$ . Para isto, seja $[;S_x;]$ a área da região interna do círculo de diâmetro $[;CD;]$ , limitada por $[;S_1,S_2,S_3,S_4;]$ e $[;S_5;]$ . Pelo teorema do arbelo, temos: