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Cálculo Aplicado à Economia (Parte 2)

É claro que é importante para um fabricante conhecer tudo sobre a função custo, mas isto não é suficiente. O objetivo do fabricante é obter lucro e isto depende, em grande medida, de quantas unidades [;x\ ;] de um produto podem ser vendidas a um dado preço [;p;].

Nesta análise, admitiremos a lei da oferta e da procura (demanda) em que afirma que o preço [;p;] e a procura ou demanda [;x\ ;] são inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior o preço [;p;], menor a demanda [;x\ ;] e vice-versa. A curva entre o preço [;p;] e a demanda [;x\ ;] tem o seguinte aspecto.

Observe que a natureza da curva depende do produto, sendo relativamente plana (ou inelástica) para o leite e o arroz, pois as pessoas necessitam comprá-los independentemente do preço.

Essa curva é acentuada (ou elástica) para refrigerantes, pois eles não são uma necessidade básica. Ao comparar a curva de demanda e a função custo, os economistas, em geral consideram o preço [;p;] em função da demanda [;x\ ;], ou seja, [;p = p(x);], conhecida por função demanda.

Definição 1: A função lucro [;L(x);] é a diferença entre a receita total [;R(x);] e o custo total [;C(x);], isto é,



O formato desta curva é dado por

pois um fabricante perderá dinheiro se a produção for muito baixa, devido os custos fixos e também perderá dinheiro se a produção for muito alta por causa dos altos custos marginais. Assim, o fabricante deve trabalhar em algum nível intermediário de produção, senão ele irá a falência.

Assim, das considerações anteriores e do Cálculo, o lucro é máximizado se [;L^{\prime}(x) = 0;], ou seja,

[;R^{\prime}(x) = C^{\prime}(x) \qquad (2);]

A expressão [;(2);]pode ser interpretada dizendo que o lucro de uma produção é maximizado se a receita marginal é igual ao custo marginal. (Veja estes conceitos na primeira parte deste post).

Quando [;x\ ;] unidades de um bem são produzidas e vendidas a um preço [;p(x);] unidades monetárias, a receita é dada por

[;R(x) = xp(x)\qquad (3);]

Se a função demanda [;p(x);] e a função custo [;C(x);] são conhecidas, podemos usar as expressões [;(2);] e [;(3);] para calcular o valor de [;x\ ;] maximiza os lucros. Observe que este valor não precisa ser o valor que minimiza o custo médio, pois este depende apenas da função custo [;C(x);]. Assim, podemos dizer que o lucro depende do mercado e a eficiência é um assunto interno da empresa.

Exemplo 1:
a) Suponha que um fabricante possa vender [;x\ ;] bicicletas por ano ao preço de [;p(x) = 300 - 0,1x;] reais cada uma e que o custo para ele produzir [;x\ ;] bicicletas seja [;C(x) = 600.000 + 150x;] reais. Para obter lucro máximo qual deve ser a produção e a que preço ele deve vender cada bicicleta? b) Se a receita marginal de produzir [;x\ ;] unidades de um bem é [;R^{\prime}(x) = 40 - x^2/60;] reais por unidade, quantas unidades devem ser produzidas para maximizar o lucro?

Resolução:
a) [;R(x) = xp(x) = 300x - 0,1x^2;] e [;C(x) = 600.000 + 150x;]. Assim,

[;L(x) = R(x) - C(x) = 0,1x^2 + 300x - 150x - 600.000;]
[;= -0,1x^2 + 150x - 600.000;]


Derivando esta expressão e igualando a zero, temos

[;L^{\prime}(x) = -0,2x + 150 = 0 \quad \Rightarrow \quad x_0 = 750;]

ou seja, devem ser produzidas [;750;] bicicletas por ano a um preço de reais para que o lucro obtido seja máximo.

b) O lucro de uma produção é maximizado se o custo marginal é igual a receita marginal, isto é,
[;40 - x^2/60 = 150 \quad \Rightarrow \quad x^2 = -6.900;]

ou seja, não existe [;x\ ;] real que satisfaça esta equação e se a empresa não tomar nenhuma atitude, ela poderá ir a falência.

Exemplo 2: Se a receita marginal de produzir [;x\ ;] unidades de um certo bem é [;40 - x^2/60;] reais por unidade e o custo marginal é [;10 + x^2/60;] reais por unidade, quantas unidades devem ser produzidas para maximizar o lucro?

Resolução: Da expressão [;(2);], temos

[;\frac{x^2}{60} + 10 = 40 - \frac{x^2}{60} \quad \Rightarrow \quad \frac{2x^2}{60} = 30 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 900;]

de modo que devem ser produzidas [;30;] unidades para maximizar o lucro.

Exercício: Um fabricante de facas estima-se que seus custos de produção semanal são dados por [;C(x) = 9500 + 8x + 0,00025x^2;], onde [;x\ ;] é o número de facas produzidas por semana. O departamento de vendas estima que, estabelecendo em [;y;]o preço de venda, [;x = 13000 - 500y;] facas podem ser vendidas. Quantas facas devem ser fabricadas por semana e qual deve ser o preço de venda a fim de obter lucro máximo?
Respostas: [;4000;] facas por semana ao custo de [;R\$\ 18,00;] por faca.

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Referência Bibliográfica:
- Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 1. Ed. Makron Books, São Paulo, 1987.
- Alpha C. Chiang. Fundamental Methods of Mathematical Economics. Third Edition. Mc Graw-Hill, 1984.

Gostará de ler também:
- Cálculo Aplicado à Economia (Parte 1);

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