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Cálculo de Áreas Através do Vetor Projeção

Veremos neste post como podemos usar o vetor projeção para calcular a área de paralelogramos e triângulos no [;\mathbb{R}^n;]. Já vimos como calcular a área dessas figuras no [;\mathbb{R}^2;] e [;\mathbb{R}^3;]usando o produto vetorial, mas esta ferramenta é inadequada para dimensões superiores.

Para ver como podemos fazer isso, seja [;ABCD;] um paralelogramo. Consideremos os vetores [;\vec{u} = \vec{AB};] e [;\vec{v} = \vec{AD};] conforme a figura acima. Sendo a altura do paralelogramo [;ABCD;] dada por [;h = \mid \vec{v} - proj_{\vec{u}}\ \vec{v}\mid;], então

[;S = ABh = \mid \vec{u} \mid \mid \vec{v} - proj_{\vec{u}}\ \vec{v}\mid \qquad (1);]

Mas,

[;\mid \vec{v} - proj_{\vec{u}}\ \vec{v} \mid^2 = (\vec{v} - proj_{\vec{u}}\ \vec{v})\cdot (\vec{v} - proj_{\vec{u}}\ \vec{v});]

[;=\mid \vec{v}\mid^2 - 2\vec{v}\cdot proj_{\vec{u}}\ \vec{v} + proj_{\vec{u}}\ \vec{v} \cdot proj_{\vec{u}}\ \vec{v};]
[;=\mid \vec{v} \mid^2 - 2\biggl(\frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}}\biggr)\vec{u}\cdot \vec{v} + \biggl(\frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}} \biggr)\vec{u}\cdot \vec{u};]

[;=\mid \vec{v} \mid^2 - 2\frac{(\vec{u}\cdot \vec{v})^2}{\mid \vec{u}\mid^2} + \frac{(\vec{u}\cdot \vec{v})^2}{\mid\vec{u}\mid^2} = \mid\vec{v} \mid^2 - \frac{(\vec{u}\cdot \vec{v})^2}{\mid \vec{u}\mid^2};]

donde segue que
[;\mid\vec{v} - proj_{\vec{u}}\ \vec{v} \mid = \frac{\sqrt{\mid \vec{u}\mid^2 \mid \vec{v}\mid^2 - (\vec{u}\cdot\vec{v})^2}}{\mid \vec{u}\mid}\qquad (2);]

Substituindo [;(2);]em [;(1);], temos:

[;S = \sqrt{\mid \vec{u}\mid^2\mid \vec{v}\mid^2 - (\vec{u}\cdot \vec{v})^2} \qquad (3);]

Com esta expressão, podemos calcular a área de um paralelogramo formado pelos vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v}\in \mathbb{R}^n;] com [;n \geq 2;]. Note que

de modo que

[;S = \sqrt{D(\vec{u},\vec{v})};]

e por simetria, a área do triângulo definida pelos vetores [;\vec{u};] e [;\vec{v};] é dada por

[;S = \frac{1}{2}\sqrt{D(\vec{u},\vec{v})};]

No caso particular em que [;n=3;] segue a identidade de Lagrange, isto é,

[;\mid \vec{u} \times \vec{v}\mid^2 + (\vec{u}\cdot \vec{v})^2 = \mid \vec{u}\mid^2\mid \vec{v}\mid^2 \qquad (4);]

Substituindo [;(4);] em [;(3);], segue que a área de um paralelogramo no espaço tridimensional é dada por [;S = \mid \vec{u}\times \vec{v}\mid;].

Exemplo 1: Calcule a área do triângulo [;ABC;], sendo [;A(1,-1,0,1);], [;B(0,1,-1,1);] e [;C(1,1,0,-1) \in \mathbb{R}^4;].

Resolução: Sejam [;\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (-1,2,-1,0);] e [;\vec{v}= \vec{AC} = C - A = (0,2,0,-2);]. Assim,

[;\vec{u}\cdot \vec{v} = (-1,2,-1,0)\cdot (0,2,0,-2) = 4;]

[;\vec{u}\cdot {\vec{u}} = (-1,2,-1,0)\cdot (-1,2,-1,0) = 6;]

[;\vec{v}\cdot \vec{v} = (0,2,0,-2)\cdot (0,2,0,-2) = 8;]
de modo que

[;D(\vec{u},\vec{v}) = \begin{vmatrix}6 & 4\\4 & 8\\\end{vmatrix} = 48 - 16 = 32;]

Logo, [;S = \frac{1}{2}\sqrt{D(\vec{u},\vec{v})} = \frac{\sqrt{32}}{2} = 2\sqrt{2};].

Gostará de ler também:
- Sobre o Vetor Projeção;
- Sobre o Produto Vetorial;
- Sobre o Duplo Produto Vetorial e Generalizações.
- O Teorema de Gua;
- O Teorema Generalizado de Gua.

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