FATOS MATEMÁTICOS: Cálculo de Áreas Através do Vetor Projeção

terça-feira, 9 de novembro de 2010

Cálculo de Áreas Através do Vetor Projeção

Veremos neste post como podemos usar o vetor projeção para calcular a área de paralelogramos e triângulos no $[;\mathbb{R}^n;]$ . Já vimos como calcular a área dessas figuras no $[;\mathbb{R}^2;]$ e $[;\mathbb{R}^3;]$ usando o produto vetorial, mas esta ferramenta é inadequada para dimensões superiores.

Para ver como podemos fazer isso, seja $[;ABCD;]$ um paralelogramo. Consideremos os vetores $[;\vec{u} = \vec{AB};]$ e $[;\vec{v} = \vec{AD};]$ conforme a figura acima. Sendo a altura do paralelogramo $[;ABCD;]$ dada por $[;h = \mid \vec{v} - proj_{\vec{u}}\ \vec{v}\mid;]$ , então

$[;S = ABh = \mid \vec{u} \mid \mid \vec{v} - proj_{\vec{u}}\ \vec{v}\mid \qquad (1);]$

Mas,

$[;\mid \vec{v} - proj_{\vec{u}}\ \vec{v} \mid^2 = (\vec{v} - proj_{\vec{u}}\ \vec{v})\cdot (\vec{v} - proj_{\vec{u}}\ \vec{v});]$

$[;=\mid \vec{v}\mid^2 - 2\vec{v}\cdot proj_{\vec{u}}\ \vec{v} + proj_{\vec{u}}\ \vec{v} \cdot proj_{\vec{u}}\ \vec{v};]$
$[;=\mid \vec{v} \mid^2 - 2\biggl(\frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}}\biggr)\vec{u}\cdot \vec{v} + \biggl(\frac{\vec{v}\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}} \biggr)\vec{u}\cdot \vec{u};]$

$[;=\mid \vec{v} \mid^2 - 2\frac{(\vec{u}\cdot \vec{v})^2}{\mid \vec{u}\mid^2} + \frac{(\vec{u}\cdot \vec{v})^2}{\mid\vec{u}\mid^2} = \mid\vec{v} \mid^2 - \frac{(\vec{u}\cdot \vec{v})^2}{\mid \vec{u}\mid^2};]$

donde segue que

$[;\mid\vec{v} - proj_{\vec{u}}\ \vec{v} \mid = \frac{\sqrt{\mid \vec{u}\mid^2 \mid \vec{v}\mid^2 - (\vec{u}\cdot\vec{v})^2}}{\mid \vec{u}\mid}\qquad (2);]$

Substituindo $[;(2);]$ em $[;(1);]$ , temos:

$[;S = \sqrt{\mid \vec{u}\mid^2\mid \vec{v}\mid^2 - (\vec{u}\cdot \vec{v})^2} \qquad (3);]$

Com esta expressão, podemos calcular a área de um paralelogramo formado pelos vetores $[;\vec{u};]$ e $[;\vec{v}\in \mathbb{R}^n;]$ com $[;n \geq 2;]$ . Note que

$\mid \vec{u} \mid^2\mid \vec{v} \mid^2 - (\vec{u}\cdot \vec{v})^2 = \begin{vmatrix}\vec{u}\cdot \vec{u} & \vec{u}\cdot \vec{v}\\\vec{u}\cdot \vec{v} & \vec{v}\cdot \vec{v}\\\end{vmatrix}= D(\vec{u},\vec{v})$

de modo que

$[;S = \sqrt{D(\vec{u},\vec{v})};]$

e por simetria, a área do triângulo definida pelos vetores $[;\vec{u};]$ e $[;\vec{v};]$ é dada por

$[;S = \frac{1}{2}\sqrt{D(\vec{u},\vec{v})};]$

No caso particular em que $[;n=3;]$ segue a identidade de Lagrange, isto é,

$[;\mid \vec{u} \times \vec{v}\mid^2 + (\vec{u}\cdot \vec{v})^2 = \mid \vec{u}\mid^2\mid \vec{v}\mid^2 \qquad (4);]$

Substituindo $[;(4);]$ em $[;(3);]$ , segue que a área de um paralelogramo no espaço tridimensional é dada por $[;S = \mid \vec{u}\times \vec{v}\mid;]$ .