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Demonstrações Geométricas Através de Vetores (Parte 1)

Neste post mostraremos que os vetores são excelentes ferramentas para demonstrar várias propriedades geométricas em triângulos e quadriláteros. É claro que o leitor já deve ter uma familiaridade com as operações vetoriais, tais como soma e diferença os quais podem ser obtidas através das regras do paralelogramo e do triângulo.

Além disso, dois vetores [;\vec{A};] e [;\vec{B};] são iguais se tem o memo módulo (intensidade), a mesma direção e o mesmo sentido. Um vetor que tem o mesmo módulo e a mesma direção de um vetor [;\vec{A};] mas com sentido oposto, é chamado de vetor oposto e representado por [;-\vec{A};].

Exemplo 1: Sejam [;M;] e [;N;]os pontos médios de dois lados do [;\triangle ABC;]. Mostre que [;MN;] é paralelo ao terceiro lado e é a metade deste.

Resolução: Seja [;M;] o ponto médio de [;AB;] e [;N;] ponto médio de [;BC;], conforme a figura acima. Assim, [;\vec{AB} = 2\vec{AM};] e [;\vec{BC} = 2\vec{BN};]. Como

[;\vec{AB}\cdot \vec{MN} = \vec{AB}\cdot (\vec{MB} + \vec{BN}) = \vec{AB}\cdot \biggl(\vec{AM} + \frac{BC}{2}\biggr);]
[;\frac{\vec{AB}}{2}(\vec{AB} + \vec{BC}) = \frac{\vec{AB}\cdot \vec{AC}}{2}\quad \Rightarrow;]

[;\vec{AB}\cdot \biggl(\vec{MN} - \frac{\vec{AC}}{2}\biggr) = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{MN} - \frac{\vec{AC}}{2} = \vec{0};]


donde segue que [;MN \parallel AC;] e [;MN = \frac{AC}{2};].

Exemplo 2: Prove que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio. (Figura abaixo).

Resolução: Sejam [;M;] e [;N;] os pontos médios de [;AC;] e [;BD;] respectivamente. Provaremos que [;M=N;]. Note que [;2\vec{AM} = \vec{AC};] e [;2\vec{BN} = \vec{BD};]. Assim,



De forma análoga, [;\vec{AD} - \vec{AB} = \vec{BD};]. Somando essas expressões, obtemos [;2\vec{AD} = \vec{AC} + \vec{BD};]. Mas, [;\vec{AD} = \vec{AN} + \vec{ND};], donde segue que

[;2(\vec{AN} + \vec{ND}) = 2\vec{AM} + 2\vec{BN} \quad \Rightarrow;]

[;\vec{AN} + \vec{BN} = \vec{AM} + \vec{BN} \quad \Rightarrow;]

[;\vec{AN} = \vec{AM} \quad \Rightarrow \quad N - A = M - A \quad \Rightarrow \quad M = N;]

Exemplo 3: Demonstrar que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é paralelo às bases e igual à semi-diferença das bases. (Figura abaixo).

Resolução: Sejam [;M;] e [;N;] os pontos médios de [;AC;] e [;BD;] respectivamente. Assim, [;\vec{AC} = 2\vec{AM};] e [;\vec{BD} = 2\vec{BN};]. Mas,

[;\vec{AM} + \vec{MN} + \vec{NB} = \vec{AB} \quad \Rightarrow;]

[;2\vec{MN} = 2\vec{AB} - 2\vec{AM} - 2\vec{NB} = 2\vec{AB} - 2\vec{MC} + 2\vec{BN};]
ou seja,

[;2\vec{MN} = 2\vec{AB} + 2\vec{BN} - 2\vec{MC} \qquad (1);]
Por outro lado,

[;\begin{cases}2\vec{BN} = \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD},\\2\vec{CM} = \vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC}\end{cases};]
Assim,

[;2\vec{BN} - 2\vec{MC} = \vec{BC} + \vec{CD} - \vec{AD} - \vec{DC} \quad \Rightarrow;]

[;2\vec{BN} - 2\vec{MC} = \vec{BC} + 2\vec{CD} - \vec{AD} \qquad (2);]


Substituindo [;(2);]em [;(1);],temos:


[;2\vec{MN} = 2\vec{AB} + 2\vec{CD} + \vec{BC} - \vec{AD} \qquad (3);]

Mas, [;\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DA} = \vec{0} \quad \Rightarrow;]

[;\vec{BC} - \vec{AD} = -\vec{AB} - \vec{CD} \qquad (4);]

Substituindo [;(4);] em [;(3);], segue que

[;2\vec{MN} = \vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AB} - \vec{DC} \quad \Rightarrow;]

[;\vec{MN} = \frac{\vec{AB} - \vec{DC}}{2} \quad \Rightarrow \quad MN = \frac{AB - CD}{2};]


Problemas Propostos:

1) Sejam [;P;], [;Q;], [;R;] e [;S;] pontos médios dos lados do quadrilátero [;ABCD;]. Prove que [;PQRS;] é um paralelogramo.

2) Com relação ao problema anterior, se [;PQRS;] é um retângulo, o que representa o quadrilátero [;ABCD;]?

3) Demonstrar vetorialmente que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual a sua semi-soma.

Gostará de ler também:
- Euler e o Quadrilátero Convexo;
- Sobre os Quadriláteros Cíclicos;
- Sobre o Vetor Normal à uma Reta no Plano;
- Retas Perpendiculares no Plano;
- Organograma dos Quadriláteros Notáveis (Blog O Baricentro da Mente).

8 comentários:

  1. 1) Se P é o ponto medio do segmento AB,Q de BC,R de DC e S de AD,então 2P=A+B,2Q=B+C,2R=D+C,2S=A+D;
    PQRS é paralelogramo <=> PQ=SR (igualdade vetorial) <=> (B+C-A-B)/2=(D+C-A-D)/2 , o que é verdade.
    3)Seja A,B,C e D distribuídos horariamente, e M e N pontos médios dos segmentos AD e BC, resp.. Então 2M=A+D e 2N=B+C => MN(vetor)=N-M=(B-A+C-D)/2 =>MN=(AB+DC)/2(vetores).
    Mas como MN, AB e DC tem o mesmo sentido e direção, podem ser substituídos pelos módulos.

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  2. Parabéns Katzbalger. As resoluções estão corretas. Obrigado e volte sempre!

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  3. nao entendi a resolução da numero 1! Ele trata B+C-A-B, como pontos ai acabei me perdendo pois estou acostumada a ver a indicação com vetores. Poderia repetir? obrigada.

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  4. Por favor, corrijam a primeira imagem do exercício 1, pois mesmo a resolução estando correta, não condiz com a imagem, já que a reta MN não é paralela a AC, e sim paralelo com AB, ou seja, MN // AB.

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    1. A primeira imagem é justamente para justificar a necessidade da prova, supondo que M e N são diferentes.

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  5. A minha pergunta é sobre a operação com pontos
    Se N-A = M-A eu somaria A dos dois lados e afirmaria que N=M? É isso? Pode operação com ponto?
    Tendo só AN = AM e sabendo que M é o ponto médio, logo N também o seria.

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  6. A resolução do exemplo 2 está um tanto quanto equivocada ao dizer que o segmento AC é o dobro do AM, já que isso seria o mesmo que dizer que M é o ponto médio do segmento AC, o que é errado, posto que faz-se o uso da hipótese como tese. O mesmo para com o segmento BD ser o dobro de BN.É como dizer, o ponto M e N estão no meio e por isso se cortam no meio.

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    1. A resolução está correta. Temos que ler com calma o enunciado do teorema. Podemos encontrar e denotar por M e N os pontos médios de AC e BD respectivamente. A tese do teorema é mostrar que M = N e isso ocorre se a figura é uma paralelogramo. O mesmo não acontece em trapézio isósceles, faça a figura e comprove.

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