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A Equação de Bernoulli

A equação
[;\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n \qquad (1);]

onde [;P(x);] e [;Q(x);] são funções contínuas de [;x\ ;] em um intervalo aberto [;(a,b);] e [;n \neq 0;] e [;n\neq 1;] é uma equação diferencial nã0-linear conhecida por equação de Bernoulli.

Fazendo a mundança de variável dependente [;z = y^{1-n};], a equação diferencial [;(1);] transforma em uma equação diferencial linear. De fato,

[;z = y^{1-n} \quad \Rightarrow \quad \frac{dz}{dz} = (1 - n)y^{-n}\frac{dy}{dx} \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-n}y^n\frac{dz}{dx} \qquad (2);]

Além disso, de [;z= y^{1-n} = yy^{-n};], segue que [;y = y^nz \qquad (3);].

Substituindo [;(2);] e [;(3);] em [;(1);], temos:

[;\frac{1}{1-n}y^n\frac{dz}{dx} + P(x)y^nz = Q(x)y^n \quad \Rightarrow;]

[;\frac{dz}{dx} + (1 - n)P(x)z = (1 - n)Q(x) \qquad (4);]

A equação diferencial [;(4);] é linear e pode ser resolvida pela técnica do fator integrante.

Exemplo 1: Resolva a equação diferencial

[;\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = xy^2;]

Resolução:
Note que [;P(x) = -1/x;], [;Q(x) = x;] e [;n = 2;]. Fazendo a substituição [;z = y^{1 - n}= y^{1-2}=y^{-1};], obtemos a equação diferencial linear

[;\frac{dz}{dx} + \frac{1}{x}z = -x \qquad (5);]

Sendo [;\mu(x) = \exp(\int 1/x dx) = \exp(ln x) = x;], então a equação [;(5);] é equivalente a

[;x\frac{dz}{dx} + z = -x^2 \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dx}(xz) = -x^2 \quad;]
ou seja,
[;xz = -\frac{x^3}{3} + C \quad \Rightarrow \quad z(x) = -\frac{x^2}{3} + \frac{C}{x};]
Logo,
[;\frac{1}{y(x)} = -\frac{x^2}{3} + \frac{C}{x};]
é a solução da equação dada.

Um outro modo de resolver a equação de Bernoulli e também as equações diferenciais lineares é o método de Lagrange. Para isso, suponhamos que a solução [;y(x);] de [;(1);] pode ser escrita na forma [;y(x) = u(x)v(x);]. Assim,

[;y^{\prime}(x) = u^{\prime}(x)v(x) + u(x)v^{\prime}(x) \qquad (6);]

Substituindo [;(6);] em [;(1);], temos:

[;u^{\prime}v + uv^{\prime} + P(x)uv = Q(x)u^nv^n \quad \Rightarrow;]

[;[u^{\prime}+P(x)u]v + uv^{\prime} = Q(x)u^nv^n \qquad (7);]

Como as funções [;u(x);] e [;v(x);] são desconhecidas, podemos impor que [;u(x);] satisfaça a equação [;u^{\prime} + P(x)u = 0;], donde segue que

[;u(x) = \exp\biggl(-\int P(x)dx\biggr) \qquad (8);]

Segue da expressão [;(7);], que a função [;v(x);] deve satisfazer

[;\frac{dv}{dx} = Q(x)u(x)^{n-1}v^n \qquad (9);]

De [;(8);] e [;(9);], obtemos a solução [;y(x);] da equação de Bernoulli.

Exemplo 2: Resolva equação de Bernoulli.

[;\frac{dy}{dx} + \frac{1}{3}y = e^xy^4;]

Resolução: Note que [;P(x) = 1/3;], [;Q(x) = e^x;] e [;n = 4;]. Assim, fazendo [;y = uv;], segue da expressão [;(8);] que,

[;u(x) = \exp\bigg(-\int \frac{1}{3}dx\biggr) = \exp(-x/3) = e^{-x/3};]
Sendo
[;\frac{dv}{dx} = Q(x)u(x)^{n-1}v = e^x(e^{-x/3})^{3}v^4 =v^4;]
então
[;v^{-3}/3 = x + C \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{v(x)^3} = -3x + C;]
Logo,
[;y(x)^3 = u(x)^3v(x)^3 = (e^{-x/3})^3\frac{1}{C - 3x} \quad \Rightarrow;]

[;\frac{1}{y(x)^3} = e^x(C - 3x);]

Exercícios Propostos: Resolva as equações diferenciais de Bernoulli abaixo:

1) [;\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = y^2;];
2) [;x\frac{dy}{dx} + y = xy^3;];
3) [;\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = -x^2\cos x y^2;];
4) [;x\frac{dy}{dx} + y = x^2y^2\ln x;].

Respostas:

1) [;\frac{1}{y(x)} = x(C - \ln x);];
2) [;y^2(x) = \frac{1}{2x + Cx^2};];
3) [;\frac{1}{y(x)} = x^2(\sin x + C);];
4) [;\frac{1}{xy(x)} = C + x(1 - \ln x);].

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4 comentários:

  1. Eu gostaria de ver a resolução da questão 2 ou da questão 4, por favor.

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  2. Nestes dois exercícios, você deve primeiro dividir toda a expressão por x e em seguida, usar os passos dos exemplos acima.

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    1. Prof. pode mostrar a resolução do exemplo 2 ?...

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  3. muito bom esses exercicios para aquecer a memoria, valeu e dale eng

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