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Limites Pela Definição

Em Matemática o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função a medida que seu argumento aproxima de um determinado valor. Para compreender melhor este conceito considere a função

[;f(x) = \frac{(2x+1)(x-1)}{x-1};]

definida para todo [;x \neq 1;]. Desta forma, podemos dividir o numerador e o denominador por [;x - 1;] obtendo [;f(x) = 2x + 1;]. Estudemos os valores da função [;f;] quando [;x\ ;] assume valores próximos de [;1;], mas diferentes de [;1;].

[;x \qquad \qquad \qquad f(x)\\0.000 \qquad 1.000\\0.500 \qquad 2.000\\0.750 \qquad 2.500\\0.900 \qquad 2.800\\0.990 \qquad 2.980\\0.999 \qquad 2.998;]

Se atribuirmos a [;x\ ;] valores próximos de [;1;], porém maiores que [;1;], temos:

[;x \qquad \qquad \qquad f(x)\\2.000 \quad 5.000\\1.500 \quad 4.000\\1.250 \quad 3.500\\1.100 \quad 3.200\\1.010 \quad 3.020\\1.001 \quad 3.002;]

Observemos em ambas as tabelas que, quando [;x\ ;] se aproxima cada vez mais de [;1;], [;f(x);] aproxima cada vez mais de [;3;], isto é, quanto mais próximo de [;1;] estiver [;x\ ;], tanto mais próximo de [;3;] estará [;f(x);]. Destas duas tabelas, observamos que

[;\mid x - 1 \mid = 0.1\quad \Rightarrow \quad \mid f(x) - 3 \mid = 0.2\\\mid x - 1 \mid = 0.01 \quad \Rightarrow \quad \mid f(x) - 3 \mid = 0.02\\\mid x - 1 \mid = 0.001\quad \Rightarrow \quad \mid f(x) - 3 \mid = 0.002;]

Observemos que podemos tornar [;f(x);] tão próximo de [;3;] quanto desejarmos, bastando para isto tomarmos [;x\;] suficientemente próximo de [;1;]. Em geral, temos a seguinte definição:

Definição 1: A função [;y = f(x);] tende ao limite [;L;] quando [;x\ ;] tende para [;a;], se para todo número positivo [;\epsilon;], existe um número positivo [;\delta;] tal que, para todo [;x \neq a;] tal que [;0 \prec \mid x - a \mid \prec \delta;], temos [;\mid f(x) - L \mid \prec \epsilon;].

Neste caso escrevemos,

[;\lim_{x \to a} f(x) = L \qquad \text{ou} \qquad f(x) \to L \qquad \text{quando} \qquad x \to a;]

Analisando a figura acima, vemos que se [;f(x) \to L;] quando [;x \to a;], significa que dado [;\epsilon \succ 0;], existe [;\delta \succ 0;] de modo que todos os pontos [;P;], no gráfico de [;f(x);] correspondentes aos valores de [;x\ ;] que se encontram a uma distância não maior que [;\delta;] do ponto [;a;], se localizarão dentro de uma faixa de largura [;2\epsilon;], limitada pelas retas [;y = L - \epsilon;] e [;y = L + \epsilon;]. Podemos resumir a definição 1 acima, usando símbolos

[;\lim_{x \to a} f(x) = L \quad \Leftrightarrow \quad \forall \epsilon \succ 0, \quad \exists \delta \succ 0 \quad \text{tal que};]

[;\mid f(x) - L \mid \prec \epsilon \quad \text{se} \quad 0 \prec \mid x - a \mid \prec \delta;]

É importante ter sempre em mente no cálculo de [;\lim_{x \to a} f(x);] que interessa o comportamento de [;f(x);] quando [;x\ ;] se aproxima de [;a;] e não o que ocorre com [;f;]quando [;x = a;].

Exemplo 1:
Prove que [;\lim_{x \to 3} 2x - 4 = 2;].

Resolução: Note que [;f(x) = 2x - 4;], [;a = 3;] e [;L = 2;]. Dado , existe [;\delta \succ 0;] tal que

[;\mid f(x) - 2 \mid \prec \epsilon \qquad \text{se} \qquad 0 \prec \mid x - 3 \mid \prec \delta;]

[;\Rightarrow \quad \mid (2x - 4) - 2\mid \prec \epsilon \qquad \text{se} \qquad 0 \prec \mid x - 3 \mid \prec \delta;]

[;\Rightarrow \quad 2\mid x - 3 \mid \prec \epsilon \qquad \text{se} \qquad 0 \prec \mid x - 3 \mid \prec \delta;]

[;\Rightarrow \mid x - 3 \mid \prec \frac{\epsilon}{2};]

Escolhendo [;\delta = \epsilon/2;], a definição se verifica.

Teorema 1: (Unicidade) Se [;\lim_{x \to a} f(x) = L_1;] e [;\lim_{x \to a} f(x) = L_2;], então [;L_1 = L_2;].

Demonstração: Suponhamos por absurdo que [;L_1 \neq L_2;]. Sem perda de generalidade, suponhamos que [;L_2 \succ L_1;] e escolhemos [;\epsilon = L_2 - L_1 \succ 0;].

Como [;\lim_{x \to a} f(x) = L_1;], existe [;\delta_1 \succ 0;] tal que

[;0 \prec \mid x - a \mid \prec \delta_1 \quad \Rightarrow \quad \mid f(x) - L_1 \mid \prec \frac{\epsilon}{2};]

e sendo [;\lim_{x \to a} f(x) = L_2;], existe [;\delta_2 \succ 0;] tal que

[;0 \prec \mid x - a \mid \prec \delta_2 \quad \Rightarrow \quad \mid f(x) - L_2 \mid \prec \frac{\epsilon}{2};]

Tomando [;\delta = \min\{\delta_1,\delta_2\};], segue que se [;0 \prec \mid x - a \mid \prec \delta;], então

[;\epsilon = \mid L_2 - L_1 \mid = \mid f(x) - L_1 + L_2 - f(x)\mid \leq \mid f(x) - L_1\mid + \mid f(x) - L_2\mid \prec \epsilon;]

o que é uma contradição.

Exemplo 2: Demonstre usando a definição que [;\lim_{x \to 1} x^2 = 1;].

Resolução: Devemos provar que

[;\forall \epsilon \succ 0, \quad \exists \delta \succ 0 \quad \mid 0 \quad \prec \mid x - 1\mid \prec \delta \quad \Rightarrow \quad \mid x^2 - 1 \mid \prec \epsilon;]

Notemos que [;\mid x^2 - 1 \mid = \mid x - 1 \mid \ \mid x + 1 \mid;]. Precisamos substituir [;\mid x + 1\mid;] por um valor constante. Neste caso, vamos supor que [;0 \prec \delta \leq 1;], então [;0 \prec \mid x - 1 \mid \prec \delta;], seguem as seguintes desigualdades equivalentes:

[;\mid x - 1 \mid \prec \delta \leq 1 \quad \Rightarrow \quad \mid x - 1 \mid \prec 1 \quad \Rightarrow \quad -1 \prec x - 1 \prec 1 \quad \Rightarrow \quad 0 \prec x \prec 2 \quad \Rightarrow;]

[;1 \prec x + 1 \prec 3;]

Logo, [;\mid x + 1 \mid \prec 3;]. Assim,
[;\mid f(x) - 1 \mid = \mid x^2 - 1 \mid \prec 3\mid x - 1 \mid;]

Como, pela definição, deve ocorrer que [;\mid x - 1 \mid \prec \delta;], temos que [;\mid f(x) - 1 \mid \prec 3\delta;]. Escolhendo [;\delta = \min \{1,\epsilon/3\};], obtém-se que

[;\mid f(x) - 1 \mid \leq 3\cdot \frac{\epsilon}{3} = \epsilon;]

Exercício: Demonstre usando a definição que:

a) [;\lim_{x \to 2} 4x - 1 = 7;];

b) [;\lim_{x \to 3}4 - 2x = -2;];

c) [;\lim_{x \to 2} x^2 = 4;];

d) [;\lim_{x \to 2}\frac{9}{x + 1} = 3;].

Referência Bibliográfica:
- Iezzi, Gelson. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar, Vol. [;8;]: Limites, Derivadas e Noções de Integral.

44 comentários:

  1. Professor, no exemplo 1, não seria 0<\x-3\<delta ao inves de 0<\x-2\<delta? como está representado, uma vez que por definição \f(x)-L\< epsilon se 0<\x-a\<delta, como observamos no exemplo a é 3.Otimo blog professor, muito bom, visito sempre.

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  2. Obrigado pela observação e pelos elogios joldimais. Problema de digitação corrigido. Volte sempre!

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  3. A definição de limite é um obstáculo pra todo mundo. Certamente esses exemplos simples ajudam bastante.

    Valeu!

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  4. Obrigado Joelson e Renato pelos comentários. Volte sempre!

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  5. Muito obrigado pelas contribuições!Agora consigo ver de maneira mais clara como funcionam os limites pela definição. Grato!
    Luiz;
    Rio Negrinho - SC

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  6. Fico agradecido que o post lhe ajudou a compreender os limites pela definição. Agradeço pela visita e volte sempre!

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  7. Muito bem explicado professor. Me esclareceu algumas dúvidas.

    Abraços.

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  8. Obrigado pelo comentário Matheus e volte sempre!

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  9. consegui graças a esses exemplos mais fáceis de entender.obrigada

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  10. muito util. obrigado

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  11. Professor, estou com dificuldades em compreender o segundo exemplo (provar pela definição que lim_{x \to 1} x^2=1) de onde veio |x-4| o que foi feito em seguida. Poderia detalhar mais?

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  12. Houve um erro de digitação que foi corrigido. Leia novamente com calma que entenderá.

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  13. Agora entendi! Estou começando o curso de cálculo Tive trabalho para entender, mas com certeza aprendi muito! Obrigado, Professor, e parabéns pelo material.

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  14. Ótimo material!
    Sou aluno de lic. em fisica e vejo que a definição de limites não serve para nada. Nem mesmo para derivada pois usando a lógica de limites é possivel fazer e depois com as formulas o limite literalmente desaparece dos calculos. Dando espaço a integrais e derivadas...

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    1. Hã? A definição de limite foi fundamental para o desenvolvimento do calculo. Ele é muito útil.
      Sem eles nenhum matemático acreditaria em derivada e nem em integral e provavelmente você nem aprenderia isso.
      Devemos muito a definição de Cauchy que é simples . A definição é simples, mas a prova é realmente difícil.

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    2. Sinceramente, tb odeio a definição de Cauchy. Não a entendo até hoje.

      Se eu impuser no exemplo 1, por hipótese, um limite falso. L= 3 em vez de L=2, tb terei o módulo da diferença entre f(x) e o limite > 0.

      /f(x) - 3/ > 0

      Pra que serve essa definição então?

      Abraços, Alex

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  15. Professor, por que epsolon sobre 2 na hora da prova da unicidade do limite? Só quero entender isso.

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    1. Outra pergunta professor, qual a relação entre a escolha de delta e a derivada?

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    2. As linhas abaixo explica porque eu usei epsilon/2, ou seja, para obter a contradição epsilon < epsilon através da desigualdade triangular.

      Como a derivada é um limite, dado [;\epsilon \succ 0;] e um ponto [;P(x_0,f(x_0));], existe [;\delta \succ 0;] tal que se [;x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta);],

      [;\mid \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - \epsilon \mid \prec \epsilon;]

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  16. Eu tenho uma dúvida sobre o Exemplo 2 na parte em que 0 < x < 2 => 1 < x+1 < 3. É só somar 1 aos três valores?

    Obrigado!

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    1. Continuando no Exemplo 2, é correto dizer que

      |x-1|.|x+1| < δ.3 => |x²-1| < 3δ ?

      Obrigado pela atenção!

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    2. Sim.

      Se |x-1| < d e |x+1| < 3, então |x-1|.|x+1| < d.3.

      Logo |x^2-1| < 3d.

      Espero ter ajudado.

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  17. Olá!
    Uma coisa que eu não consigo entender em todas as resoluções desse tipo é por que se adota sempre delta variando entre 0 e 1 para eliminar o módulo indesejado, no caso módulo de x+1?
    Agradeço desde já!

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    1. Esta condição, neste exercício permitiu obter a desigualdade [;\mid x + 1 \mid \prec 3;], o qual foi util para achar delta desejado, a partir de épsilon dado. Observe também que não há nenhum problema em adotar esta condição.

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    2. Olá professor! Ainda estou aqui!
      Então é apenas uma convenção para tornar as coisas mais fáceis? Sempre devo utilizá-la?

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  18. Olá prof Sérgio!
    Obrigado por descomplicar esse conteúdo.
    Sou novo a estudar limites. gostaria de saber como, no primeiro exemplo, assim de imediato o prof diz "Dado que epsilon maior que 0, existe delta maior que 0"... Como determino isso? na função, quem representa epsilon e quem representa delta (já que L=2[limite] e a=3[ponto])?

    Desculpa a volta, obrigado!

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    1. No Exemplo 1, quando escrevi dado [;\epsilon > 0;], existe um [;\delta > 0;].... Isto vem da definição de limite. Como queremos provar que o limite é igual a 2, devemos achar tal delta > 0 que satisfaça a definição. As estratégias e as formas de achar este delta a partir do epsilon dado varia de limite para limite. Obrigado pelo comentário e volte sempre.

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  19. Professor, este site está abrindo propagandas o tempo todo. Fica difícil a leitura. Valeu, abraço.

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    1. Não é o blog, é o seu computador. Já verifiquei o problema e cheguei a esta conclusão. Este problema estava acontecendo no computador do meu irmão, no navegador Firefox. Você tem que ir em propriedades e excluir alguns plugins.

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  20. É verdade, professor. Aconteceu isso quando eu visitei o blog "O Baricentro da Mente". Você sabe quais são os plugins causadores do problema? Será que foi algum programa que instalei e veio "de brinde" esse plugin?
    Abraços, prof. Paulo.

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    1. Isto também aconteceu com o meu computador. O que houve realmente é que você instalou uma falsa atualização do Java no Firefox. Sugiro que exclua os complementos maliciosos do Firefox, caso use este navegador. Para outros navegadores, o caminho é semelhante. Sendo assim, vá no menu Ferramentas. Se ele não está visível, exiba-o antes nas opçoes. Em seguida, vá em complementos. Irá aparecer uma tela dos complementos instalados. Delete os que você achar suspeitos.

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  21. Olá professor ! Eu estou com uma dúvida no exemplo 1.

    ε = |L2-L1|
    = |f(x)-L1+L2-f(x)|<= |f(x)-L1|+|f(x)-L2|

    como o sinal de L2 e f(x) foram trocados ?

    |f(x)-L2| não deveria ser |L2-f(x)| ?

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    1. Tanto faz, pois observe que |f(x) - L2| = |L2 - f(x)|. Troquei a ordem para ficar mais elegante.

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    2. Ah ! É verdade professor , rs. Obrigado pela resposta.

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  22. estou com uma duvida como provar por definição que o limite de (1/x)=(1/5)
    lim ->5

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  23. Professor, voltando à alternativa c, se o x tendesse à -2, como poderíamos provar a definição? Já tentei utilizar o método de supor que delta >= 1, mas não chego a lugar algum. Obrigado.

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  24. Professor, você poderia por favor colocar a resolução da letra d ? Obrigado antecipadamente pela atenção.

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  25. Eu entendi o exemplo 1. Mas digamos que alem de |2x-4-2| fosse |2x-7|. Nesse caso eu n poderia por o 2 pra fora pra dps dividir. Como fazer nesses casos?

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  26. Professor, eu posso escolher qualquer valor para delta quando encontro um caso parecido ao exemplo 2? Como por exemplo: lim x²-7, quando x tende à 1, resultando à -6?

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  27. Muito bom
    Gostei mesmo
    Parabens


    Vandi Junior

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  28. Qual seria a resposta da alternativa d?

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  29. Oi professor, poderia me dizer como resolver :

    "prove que o limite de [ \sqrt[n]{x} ] quando x tende a p ,é igual a [ \sqrt[n]{p} ] ."

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