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A Matemática de Euler (Parte 2)

Tendo em mãos uma série infinita elegante para a função exponencial (ver primeira parte deste post), seu próximo passo foi achar uma representação para a função logarítmica. Para isto, Euler usou novamente a grandeza infinitesimal [;\omega;] para escrever:

[;e^{\omega} = 1 + \omega \qquad (1);]

donde segue que [;\omega = \ln(1 + \omega);]. Assim,

[;j\omega = j\ln(1 + \omega) = \ln(1 + \omega)^j;]

Desde que [;\omega;] é positivo, então [;(1 + \omega)^j \succ 1;], de modo que

[;(1 + \omega)^j - 1 = x\qquad (2);]

para algum [;x\ ;] positivo. Deste modo, Euler concluiu que:

i) [;1 + x = (1 + \omega)^j = e^{j\omega} \quad \Rightarrow \quad \ln(1 + x) = j\omega;];
ii) [;j \to \infty;], pois [;\ln(1 + x);] é finito e [;\omega;] é infinitesimal;
iii) [;\omega = (1 + x)^{1/j^} - 1;] segue de [;(2);].

Usando o teorema binomial, Euler concluiu que

[;\ln(1 + x) = j\omega = j[(1 + x)^{1/j} - 1];]

[;=j\biggl[1 + \frac{1}{j}x + \frac{\frac{1}{j}(\frac{1}{j} - 1)}{2\cdot 1}x^2 + \frac{\frac{1}{j}(\frac{1}{j}-1)(\frac{1}{j}-2)}{3\cdot 2 \cdot 1}+\ldots \biggr] - j;]

[;=x - \frac{(j-1)}{2j}x^2 + \frac{(j-1)(2j-1)}{2j\cdot 3j}x^3 + \frac{(j-1)(2j-1)(3j-1)}{2j\cdot 3j \cdot 4j}x^4+\ldots;]

usando i) e iii).

Em seguida, Euler usou o fato que [;j;] é infinitamente grande para obter

[;\frac{j-1}{2j} = \frac{1}{2}, \qquad \quad \frac{(j-1)(2j-1)}{2j\cdot 3j} = \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3};]

e assim por diante. Logo,

[;\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots \qquad (3);]

Euler, deseja agora usar essa série para calcular logaritmos, mas devido a baixa convergência desta série, ele não foi capaz de calcular diretamente o logaritmo de números grandes. Assim, ele procedeu do seguinte modo: Substituiu [;x\ ;] por [;-x;] na série [;(3);] e subtraiu uma da outra, isto é,

[;\ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}-\ldots;]
e
[;\ln(1 + x) - \ln(1 - x) = \biggl[x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}+\ldots \biggr] - \biggl[-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}-\ldots \biggr] \quad \Rightarrow;]

[;\ln\biggl(\frac{1 + x}{1 - x}\biggr) = 2\biggl(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}+\ldots\biggr)\qquad (4);]

O comportamento desta série é muito melhor que a expansão logarítmica dada em [;(3);] e pode ser usada para computar o logaritmo de vários números. Por exemplo, se [;x= 1/3;] em [;(4);], temos:

[;\ln\biggl(\frac{1 + 1/3}{1 - 1/3}\biggr) = \ln \frac{4/3}{2/3} = \ln 2;]

[;=2\biggl(\frac{1}{3} + \frac{1}{81} + \frac{1}{15309}+\ldots\biggr) = 0,693135;]

Mostraremos agora como Euler deduziu que a derivada da função logarítmica [;y =\ln x;] é igual a [;1/x;] a partir de sua série infinita. Sendo [;y =\ln x;], sua diferencial é dada por

[;dy = \ln(x + dx) - \ln x = \ln\biggl(\frac{x + dx}{x}\biggr) = \ln\biggl(1 + \frac{dx}{x}\biggr);]

[;=\frac{dx}{x} - \frac{(dx/x)^2}{2} + \frac{(dx/x)^3}{3} - \frac{(dx/x)^4}{4}+\ldots;]

Euler deduziu corretamente que poderia desprezar as potências superiores de [;dx/x;], uma vez que [;dx;] é um infinitésimo. Portanto, ele afirma que

[;dy = \frac{dx}{x} \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x};]
ou seja,
[;\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x};]

Gostará de ler também:

- A Matemática de Euler (Parte 1);
- Grandes Matemáticos (Leonhard Euler);
- Euler e o Quadrilátero Convexo;
- O Logaritmo Através da Integral (Parte 1);
- O Logaritmo Através da Integral (Parte 2).

2 comentários:

  1. Gostei muito Professor, eu considero Euler o maior matemático de todos os tempos, recentemente eu terminei de ler o livro Euler, o mestre de todos nós, realmente Laplace estava certo!

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  2. Obrigado Joelson. Na próxima parte tratarei de forma sucinta como ele obteve a constante gama. Realmente devemos ler sim os trabalhos de Euler, o matemático mais prolífico de todos os tempos.

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