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domingo, 14 de novembro de 2010

O Ângulo Ótimo de Ramificação de uma Artéria

Quanto menor a resistência ao fluxo em um vaso sanguíneo menor a energia gasta pelo coração para bombear o sangue, de modo que o sistema vascular opera de tal forma que a circulação do sangue através dos órgãos do corpo e de volta ao coração é executada com mínimo de gasto de energia possível.

Assim, é razoável esperar que, quando a artéria se ramifica o ângulo entre a artéria "mãe" e a artéria "filha" deve minimizar a resistência total ao fluxo sanguíneo. Usando a [;2^{\underline{a}};] Lei de Poiseuille, podemos encontrar o ângulo ótimo de ramificação.

Na figura abaixo, temos uma artéria "filha" de raio [;r;] se ramificando através de uma artéria "mãe" de raio [;R;]. O sangue flui do ponto [;A;] para o ramo em [;B;], e então para [;C;] e [;D;].

Provaremos que o ângulo ótimo de ramificação entre duas artérias satisfaz a equação

[;\cos \theta = \frac{r^4}{R^4} \qquad (1);]

De fato, de acordo com a [;2^{\underline{a}};] lei de Poiseuille, a resistência do sangue em fluir do ponto [;A;] para o ponto [;B;] é dada por

[;\rho_1 = \frac{ks_1}{R^4};]

e a resistência do ponto [;B;] ao ponto [;C;] é

[;\rho_2 = \frac{ks_2}{r^4};]

onde [;k;]é uma constante que depende da viscosidade do sangue e [;s_1;] e [;s_2;] são os comprimentos das partes da artéria de [;A;] a [;B;] e de [;B;] e [;C;], respectivamente. Assim, a resistência total do sangue em fluir através da ramificação é dada pela soma

[;\rho = \rho_1 + \rho_2 = \frac{ks_1}{R^4} + \frac{ks_2}{r^4} = k\biggl(\frac{s_1}{R^4} + \frac{s_2}{r^4}\biggr);]

Através da figura acima, podemos escrever a resistência [;\rho;] em função do ângulo de ramificação [;\theta;], isto é,

[;\rho(\theta) = k\biggl(\frac{L - h\cot \theta}{R^4} + \frac{h\csc \theta}{r^4}\biggr);]

Os valores de [;\theta;] que minimizam a resistência [;\rho(\theta);] deve satisfazer a equação [;\rho^{\prime}(\theta) = 0;] ,ou seja,

[;\frac{\csc \theta}{R^4} - \frac{\cot \theta}{r^4} = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos \theta = \frac{r^4}{R^4};]

Finalmente, se [;\theta = \theta_0;] é o ângulo que satisfaz esta equação, é fácil mostrar que [;\rho^{\prime \prime}(\theta_0) \succ 0;], o que mostra a resistência é minimizada para este ângulo.

Gostará de ler também:
- As Leis de Poiseuille (Parte 1);
- As Leis de Poiseuille (Parte 2);
- O Ângulo Ótimo de Visualização;
- Mínimos Locais Através da Desigualdade Aritmética-Geométrica;
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 14.11.10
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2 comentários:

  1. Pode ser aplicado em hidródinâmica?
    Pois quem ter oporunidades poderia fazer um belo projeto.

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  2. Em hidrodinâmica, temos um estudo completo e bem mais detalhado dos fluidos em diversos regimes. Mas esta área utiliza-se várias ferramentas matemáticas. Obrigado pelo comentário.

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