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Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 3)


Problema [;7;]: Mostre que
[;\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}dx = \frac{\pi}{4};]

Problema [;8;]: Sejam [;x\ ;] e [;y;]números reais tais que [;x^3 + 3x^2 + 4x + 5 = 0;] e [;y^3 - 3y^2 + 4y - 5 = 0;]. Determine [;(x + y)^{2010};].

Problema [;9;]: Na exploração de uma mina foi feito o corte inclinado conforme a figura abaixo. Para calcular o volume do minério extraído do corte foram medidos: [;CD = 10\sqrt{3}\ m;], e que é perpendicular ao plano [;ABC;] e os ângulos [;A\widehat{D}C = 60^{\circ};], [;B\widehat{D}C = 30^{\circ};] e [;A\widehat{D}B = 60^{\circ};]. Calcule esse volume.

Vejamos as soluções dos problemas da edição anterior.

Problema [;4;]: Mostre que

[;\cos 36^{\circ} - \cos 72^{\circ} = \frac{1}{2};]


Resolução: Na figura acima,

[;AB = CD \quad \Leftrightarrow \quad l\cos 36^{\circ} = l\cos 72^{\circ} + \frac{l}{2} \quad \Rightarrow \cos 36^{\circ} - \cos 72^{\circ} = \frac{1}{2};]


Solução enviada por Marcos K.

Problema [;5;]: Seja [;P_0(x_0,y_0);] um ponto sobre a parábola [;y = 4 - x^2;]. Determine as coordenadas de [;P_0;] de modo que a reta passa pelo ponto [;(3,4);]seja tangente à curva em [;P_0;].

Resolução: A equação da reta tangente [;r;] à parábola que passa por [;P_0(x_0,y_0);] é dada por [;y - y_0 = f^{\prime}(x_0)(x - x_0);]. Note que [;f^{\prime}(x_0) = -2x_0;], [;y_0 = f(x_0) = 4 -x_{0}^{2};] e que o ponto [;(3,4);] pertence a [;r;]. Assim,

[;4 - (4 - x_{0}^{2}) = -2x_0(3 - x_0)\quad \Rightarrow \quad x_{0}^{2} = 2x_{0}^{2} - 6x_0;]

donde segue que [;x_0 = 0;] e [;x_0 = 6;]. Logo, os pontos sobre a parábola são [;(0,4);] e [;(6,-32);].

Solução adaptada de vários leitores.


Problema [;6;]: (XXV OBM - [;2003;]) A figura a seguir mostra um quadrado [;ABCD;] e um triângulo equilátero [;BEF;], ambos com lado de medida [;1\ cm;]. Os pontos [;A;], [;B;] e [;E;] são colineares, assim como os pontos [;A;], [;G;] e [;F;]. Determine a área do triângulo [;BFG;].

Resolução: Seja [;P;] o pé da perpendicular baixada do vértice [;F;]. Note que [;\triangle AFP \sim \triangle AGB;], donde segue que

[;\frac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \frac{x}{1} \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{3}/3;]

Como temos [;2;] lados e um ângulo, usamos a fórmula: [;S = \frac{ab}{2}\sin \alpha;] , isto é,

[;S = \frac{\sqrt{3}/3\cdot 1 \sin 30^{\circ}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{12} \quad u.a.;]

Solução enviada por Anderson.

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Alexandre - Prob. [;4;]
- Américo Tavares - Prob. [;4;] e [;5;]

- Anderson - Todos

- Diogo Cardoso Lima - Prob. [;5;] e [;6;]

- Fernando Al Assal - Prob. [;6;]

- Gustavo - Prob. [;6;]

- Gustavo Oliveira - Prob. [;4;] e [;6;]

- Hun Sen - Prob. [;4;]

- Luis Fernando Bossa - Prob. [;6;]

- Marcos - Todos

- Yuri Lemos - Todos


As soluções dos problemas [;7;], [;8;] e [;9;] podem ser enviadas até o dia 30/11/2010 para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 1);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 2).

7 comentários:

  1. Estupenda a solução de Marcos K. do Problema 4!

    Américo

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  2. Concordo com você Américo, muito bonita a solução. Parabéns para o Marcos K.

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  3. Prof. Paulo Sérgio, conheci seu blog hoje e gostei bastante, suas postagens são enriquecedora. Estou até inserindo um link no meu blog www.benditamatematica.com para que os visitantes possam conhecer o blog Fatos Matemáticos.

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  4. Prof. Carlos agradeço muito pelos elogios e pelo apreço que tem pelo meu blog. Retribuindo a sua ação, também estou adicionando o banner do seu blog.

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  5. O problema 9 cai em contas enormes cheias de radicais grandes? Ou será que errei em alguma etapa?
    Obrigado.

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  6. Só gostaria de avisar que a solução do problema 4 não é originalmente minha. É uma solução conhecida que aprendi no colégio. Na verdade, um amigo meu havia me mostrado essa solução depois duma prova de trigonometria onde havia caido a mesma questão.

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  7. Fernando no Problema 9 temos sim alguns radicais grandes. Abraços.

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