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A Regra de Cramer Através do Produto Misto

Uma das formas de resolver um sistema linear [;2\times 2;] ou [;3\times 3;] é através da regra de Cramer. Para compreender essa regra, considere o sistema linear abaixo.

[;\begin{cases}a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1\\a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2\qquad \qquad (1)\\a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3\\ \end{cases};]

que pode ser escrito na forma [;A\vec{u} = \vec{b};], onde

[;A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31}& a_{32} & a_{33}\\\end{bmatrix};] ,

[;\vec{u} = \begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix};] e
[;\vec{b} =  \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end{bmatrix};]

Denotando por [;D = \det(A);], [;D_x;] o determinante da matriz obtida de [;A;] substituindo sua primeira coluna pelo vetor [;\vec{b};], isto é,

[;D_x = \begin{vmatrix}b_1 & a_{12} & a_{13}\\b_2 & a_{22} & a_{23}\\b_3 & a_{23} & a_{33}\\\end{vmatrix};]

e de forma análoga, [;D_y;] e [;D_z;] são os determinantes obtidos da matriz [;A;] substituindo a segunda e terceira coluna pelo vetor [;\vec{b};] respectivamente.

A regra de Cramer afirma que se o sistema linear [;(1);] é compatível e determinado, então

[;x = \frac{D_x}{D}\qquad y = \frac{D_y}{D}\qquad z = \frac{D_z}{D}\qquad (2);]

A demonstração da regra de Cramer pode ser obtida diretamente através do seguinte teorema sobre vetores:

Teorema 1: Se [;\vec{u_1};],[;\vec{u_2};] e [;\vec{u_3} \in \mathbb{R}^3;] são vetores linearmente independentes, então todo vetor [;\vec{u} \in \mathbb{R}^3;] pode ser escrito de forma única como combinação linear de [;\vec{u_1};], [;\vec{u_2};] e [;\vec{u_3};], ou seja, existem [;x\ ;], [;y;] e [;z \in \mathbb{R};] tal que

[;\vec{u} = x\vec{u_1} + y\vec{u_2} + z\vec{u_3}\qquad (3);]
Demonstração:
Existência: Multiplicando escalarmente (3) por [;\vec{u_2}\times \vec{u_3};], temos:

[;\vec{u}\cdot (\vec{u_2}\times \vec{u_3}) = x\vec{u_1}\cdot (\vec{u_2}\times \vec{u_3}) + y\vec{u_2}\cdot (\vec{u_2}\times \vec{u_3}) + z\vec{u_3}\cdot (\vec{u_2}\times \vec{u_3});]

Usando as propriedades de produto misto, segue que

[;(\vec{u},\vec{u_2},\vec{u_3}) = x(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3}) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{(\vec{u},\vec{u_2},\vec{u_3})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})};]

De forma análoga,

[;y = \frac{(\vec{u_1},\vec{u},\vec{u_3})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})} \qquad \text{e} \qquad z = \frac{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})};]

Unicidade: Suponhamos que existem [;x_1,y_1,z_1,x_2,y_2;] e [;z_2;] tais que:

[;\vec{u} = x_1\vec{u_1} + y_1\vec{u_2} + z_1\vec{u_3} \qquad (4);]

[;\vec{u} = x_2\vec{u_1} + y_2\vec{u_2} + z_2\vec{u_3} \qquad (5);]

Comparando as expressões [;(4);] e [;(5);], segue que

[;x_1\vec{u_1} + y_1\vec{u_2} + z_1\vec{u_3} = x_2\vec{u_1} + y_2\vec{u_2} + z_2\vec{u_3} \quad \Rightarrow;]

[;(x_1 - x_2)\vec{u_1} + (y_1 - y_2)\vec{u_2} + (z_1 - z_2)\vec{u_3} = \vec{0};]

Sendo [;\vec{u_1};], [;\vec{u_2};] e [;\vec{u_3};] vetores linearmente independentes, então

[;\begin{cases}x_1 - y_1 = 0\\y_1 - y_2 = 0\\z_1 - z_2 = 0\\\end{cases};]

ou seja, [;x_1 = x_2;], [;y_1 = y_2;] e [;z_1 = z_2;].

Corolário 1: (Regra de Cramer) As soluções do sistema linear [;(1);] são dadas por

[;x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D}\quad \text{e}\quad z = \frac{D_z}{D};]
desde que [;D = \det(A) \neq 0;].

Demonstração: Sejam [;\vec{u_1} = (a_{11}, a_{21}, a_{31});], [;\vec{u_2} = (a_{12},a_{22},a_{32});], [;\vec{u_3} = (a_{13},a_{23},a_{33});] e [;\vec{b} = (b_1,b_2,b_3);]. Assim, o sistema linear

[;\begin{cases}a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1\\a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2\\a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3\\\end{cases};]
pode ser escrito na forma

[;x\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\\ \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\\ \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\\end{bmatrix};]
ou
[;x\vec{u_1} + y\vec{u_2} + z\vec{u_3} = \vec{b};]

Assim, achar as soluções do sistema linear [;(1);] é equivalente a escrever o vetor [;\vec{b};]como combinação linear dos vetores [;\vec{u_1};] , [;\vec{u_2};] e [;\vec{u_3};].

Sendo [;D \neq 0;], então [;\vec{u_1};], [;\vec{u_2};]
e [;\vec{u_3};] são linearmente independentes, de modo que existem [;x\ ;], [;y;] e [;z;] (únicos) tais que

[;x = \frac{(\vec{b},\vec{u_2},\vec{u_3})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})}, \qquad y = \frac{(\vec{u_1},\vec{b},\vec{u_3})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})} \qquad \text{e} \qquad x = \frac{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{b})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})};]

Mas [;(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3}) = \det(A^t) = \det(A) = D;], [;(\vec{b},\vec{u_2},\vec{u_3}) = D_x;], [;(\vec{u_1},\vec{b},\vec{u_3}) = D_y;] e [;(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{b}) = D_z;], provamos a regra de Cramer comentada acima.

Gostará de ler também:
- Sobre o Produto Misto;
- A Lei dos Cossenos Através da Regra de Cramer;
- O Método de Eliminação de Gauss Para Sistemas Lineares;
- Sistemas Lineares no Balanceamento de Reações Químicas.

2 comentários:

  1. Realmente achei muito interessante essa demonstração professor, apesar do meu pouco uso da regra de Cramer, achei bastante interessante a demonstração, ainda mais porque sou um amante de álgebra vetorial.

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  2. Também gosto muito de Álgebra Vetorial, basta ver os posts sobre retas, planos e ângulos que já publiquei. Realmente a regra de Cramer é pouco usada em sistemas lineares, mas é muito vantajosa quando resolve sistemas de equações diferenciais através das transformadas de Laplace. Muito obrigado pelo comentário. Volte sempre!

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