Uma das formas de resolver um sistema linear que pode ser escrito na forma ![[;A\vec{u} = \vec{b};]](http://thewe.net/tex/A%5Cvec%7Bu%7D%20=%20%5Cvec%7Bb%7D "A\vec{u} = \vec{b}")
, onde
![[;A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31}& a_{32} & a_{33}\\\end{bmatrix};]](http://thewe.net/tex/A%20=%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7Da_%7B11%7D%20&%20a_%7B12%7D%20&%20a_%7B13%7D%5C%5Ca_%7B21%7D%20&%20a_%7B22%7D%20&%20a_%7B23%7D%5C%5Ca_%7B31%7D&%20a_%7B32%7D%20&%20a_%7B33%7D%5C%5C%5Cend%7Bbmatrix%7D "A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\a_{31}& a_{32} & a_{33}\\\end{bmatrix}")
,
![[;\vec{u} = \begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix};]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu%7D%20=%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7Dx%5C%5Cy%5C%5Cz%5C%5C%5Cend%7Bbmatrix%7D "\vec{u} = \begin{bmatrix}x\\y\\z\\\end{bmatrix}")
e ![[;\vec{b} = \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end{bmatrix};]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bb%7D%20=%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7Db_1%5C%5Cb_2%5C%5Cb_3%5C%5C%5Cend%7Bbmatrix%7D "\vec{b} = \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end{bmatrix}")
Gostará de ler também:
- Sobre o Produto Misto;
- A Lei dos Cossenos Através da Regra de Cramer;
- O Método de Eliminação de Gauss Para Sistemas Lineares;
- Sistemas Lineares no Balanceamento de Reações Químicas.
Denotando por ![[;D = \det(A);]](http://thewe.net/tex/D%20=%20%5Cdet%28A%29 "D = \det(A)")
, ![[;D_x;]](http://thewe.net/tex/D_x "D_x")
o determinante da matriz obtida de ![[;A;]](http://thewe.net/tex/A "A")
substituindo sua primeira coluna pelo vetor ![[;\vec{b};]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bb%7D "\vec{b}")
, isto é,
![[;D_x = \begin{vmatrix}b_1 & a_{12} & a_{13}\\b_2 & a_{22} & a_{23}\\b_3 & a_{23} & a_{33}\\\end{vmatrix};]](http://thewe.net/tex/D_x%20=%20%5Cbegin%7Bvmatrix%7Db_1%20&%20a_%7B12%7D%20&%20a_%7B13%7D%5C%5Cb_2%20&%20a_%7B22%7D%20&%20a_%7B23%7D%5C%5Cb_3%20&%20a_%7B23%7D%20&%20a_%7B33%7D%5C%5C%5Cend%7Bvmatrix%7D "D_x = \begin{vmatrix}b_1 & a_{12} & a_{13}\\b_2 & a_{22} & a_{23}\\b_3 & a_{23} & a_{33}\\\end{vmatrix}")
e de forma análoga, ![[;D_y;]](http://thewe.net/tex/D_y "D_y")
e ![[;D_z;]](http://thewe.net/tex/D_z "D_z")
são os determinantes obtidos da matriz substituindo a segunda e terceira coluna pelo vetor respectivamente.
A regra de Cramer afirma que se o sistema linear![[;(1);]](http://thewe.net/tex/%281%29 "(1)")
é compatível e determinado, então
![[;x = \frac{D_x}{D}\qquad y = \frac{D_y}{D}\qquad z = \frac{D_z}{D}\qquad (2);]](http://thewe.net/tex/x%20=%20%5Cfrac%7BD_x%7D%7BD%7D%5Cqquad%20y%20=%20%5Cfrac%7BD_y%7D%7BD%7D%5Cqquad%20z%20=%20%5Cfrac%7BD_z%7D%7BD%7D%5Cqquad%20%282%29 "x = \frac{D_x}{D}\qquad y = \frac{D_y}{D}\qquad z = \frac{D_z}{D}\qquad (2)")
Teorema 1: Se![[;\vec{u_1};]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu_1%7D "\vec{u_1}")
,![[;\vec{u_2};]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu_2%7D "\vec{u_2}")
e ![[;\vec{u_3} \in \mathbb{R}^3;]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu_3%7D%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E3 "\vec{u_3} \in \mathbb{R}^3")
são vetores linearmente independentes, então todo vetor ![[;\vec{u} \in \mathbb{R}^3;]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu%7D%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D%5E3 "\vec{u} \in \mathbb{R}^3")
pode ser escrito de forma única como combinação linear de , e ![[;\vec{u_3};]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu_3%7D "\vec{u_3}")
, ou seja, existem ![[;x\ ;]](http://thewe.net/tex/x%5C "x\")
, ![[;y;]](http://thewe.net/tex/y "y")
e ![[;z \in \mathbb{R};]](http://thewe.net/tex/z%20%5Cin%20%5Cmathbb%7BR%7D "z \in \mathbb{R}")
tal que
![[;\vec{u} = x\vec{u_1} + y\vec{u_2} + z\vec{u_3}\qquad (3);]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu%7D%20=%20x%5Cvec%7Bu_1%7D%20+%20y%5Cvec%7Bu_2%7D%20+%20z%5Cvec%7Bu_3%7D%5Cqquad%20%283%29 "\vec{u} = x\vec{u_1} + y\vec{u_2} + z\vec{u_3}\qquad (3)")
Demonstração:
Existência: Multiplicando escalarmente (3) por![[;\vec{u_2}\times \vec{u_3};]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu_2%7D%5Ctimes%20%5Cvec%7Bu_3%7D "\vec{u_2}\times \vec{u_3}")
, temos:
![[;\vec{u}\cdot (\vec{u_2}\times \vec{u_3}) = x\vec{u_1}\cdot (\vec{u_2}\times \vec{u_3}) + y\vec{u_2}\cdot (\vec{u_2}\times \vec{u_3}) + z\vec{u_3}\cdot (\vec{u_2}\times \vec{u_3});]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu%7D%5Ccdot%20%28%5Cvec%7Bu_2%7D%5Ctimes%20%5Cvec%7Bu_3%7D%29%20=%20x%5Cvec%7Bu_1%7D%5Ccdot%20%28%5Cvec%7Bu_2%7D%5Ctimes%20%5Cvec%7Bu_3%7D%29%20+%20y%5Cvec%7Bu_2%7D%5Ccdot%20%28%5Cvec%7Bu_2%7D%5Ctimes%20%5Cvec%7Bu_3%7D%29%20+%20z%5Cvec%7Bu_3%7D%5Ccdot%20%28%5Cvec%7Bu_2%7D%5Ctimes%20%5Cvec%7Bu_3%7D%29 "\vec{u}\cdot (\vec{u_2}\times \vec{u_3}) = x\vec{u_1}\cdot (\vec{u_2}\times \vec{u_3}) + y\vec{u_2}\cdot (\vec{u_2}\times \vec{u_3}) + z\vec{u_3}\cdot (\vec{u_2}\times \vec{u_3})")
Usando as propriedades de produto misto, segue que
![[;(\vec{u},\vec{u_2},\vec{u_3}) = x(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3}) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{(\vec{u},\vec{u_2},\vec{u_3})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})};]](http://thewe.net/tex/%28%5Cvec%7Bu%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%20=%20x%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%20%5Cquad%20%5CRightarrow%20%5Cquad%20x%20=%20%5Cfrac%7B%28%5Cvec%7Bu%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%7D%7B%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%7D "(\vec{u},\vec{u_2},\vec{u_3}) = x(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3}) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{(\vec{u},\vec{u_2},\vec{u_3})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})}")
Unicidade: Suponhamos que existem ![[;x_1,y_1,z_1,x_2,y_2;]](http://thewe.net/tex/x_1,y_1,z_1,x_2,y_2 "x_1,y_1,z_1,x_2,y_2")
e ![[;z_2;]](http://thewe.net/tex/z_2 "z_2")
tais que:
![[;\vec{u} = x_1\vec{u_1} + y_1\vec{u_2} + z_1\vec{u_3} \qquad (4);]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu%7D%20=%20x_1%5Cvec%7Bu_1%7D%20+%20y_1%5Cvec%7Bu_2%7D%20+%20z_1%5Cvec%7Bu_3%7D%20%5Cqquad%20%284%29 "\vec{u} = x_1\vec{u_1} + y_1\vec{u_2} + z_1\vec{u_3} \qquad (4)")
![[;\vec{u} = x_2\vec{u_1} + y_2\vec{u_2} + z_2\vec{u_3} \qquad (5);]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu%7D%20=%20x_2%5Cvec%7Bu_1%7D%20+%20y_2%5Cvec%7Bu_2%7D%20+%20z_2%5Cvec%7Bu_3%7D%20%5Cqquad%20%285%29 "\vec{u} = x_2\vec{u_1} + y_2\vec{u_2} + z_2\vec{u_3} \qquad (5)")
A regra de Cramer afirma que se o sistema linear
A demonstração da regra de Cramer pode ser obtida diretamente através do seguinte teorema sobre vetores:
Teorema 1: Se
Existência: Multiplicando escalarmente (3) por
Usando as propriedades de produto misto, segue que
De forma análoga,
![[;y = \frac{(\vec{u_1},\vec{u},\vec{u_3})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})} \qquad \text{e} \qquad z = \frac{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})};]](http://thewe.net/tex/y%20=%20%5Cfrac%7B%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bu%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%7D%7B%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%7D%20%5Cqquad%20%5Ctext%7Be%7D%20%5Cqquad%20z%20=%20%5Cfrac%7B%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bu%7D%29%7D%7B%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%7D "y = \frac{(\vec{u_1},\vec{u},\vec{u_3})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})} \qquad \text{e} \qquad z = \frac{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})}")
Comparando as expressões ![[;(4);]](http://thewe.net/tex/%284%29 "(4)")
e ![[;(5);]](http://thewe.net/tex/%285%29 "(5)")
, segue que
![[;x_1\vec{u_1} + y_1\vec{u_2} + z_1\vec{u_3} = x_2\vec{u_1} + y_2\vec{u_2} + z_2\vec{u_3} \quad \Rightarrow;]](http://thewe.net/tex/x_1%5Cvec%7Bu_1%7D%20+%20y_1%5Cvec%7Bu_2%7D%20+%20z_1%5Cvec%7Bu_3%7D%20=%20x_2%5Cvec%7Bu_1%7D%20+%20y_2%5Cvec%7Bu_2%7D%20+%20z_2%5Cvec%7Bu_3%7D%20%5Cquad%20%5CRightarrow "x_1\vec{u_1} + y_1\vec{u_2} + z_1\vec{u_3} = x_2\vec{u_1} + y_2\vec{u_2} + z_2\vec{u_3} \quad \Rightarrow")
![[;(x_1 - x_2)\vec{u_1} + (y_1 - y_2)\vec{u_2} + (z_1 - z_2)\vec{u_3} = \vec{0};]](http://thewe.net/tex/%28x_1%20-%20x_2%29%5Cvec%7Bu_1%7D%20+%20%28y_1%20-%20y_2%29%5Cvec%7Bu_2%7D%20+%20%28z_1%20-%20z_2%29%5Cvec%7Bu_3%7D%20=%20%5Cvec%7B0%7D "(x_1 - x_2)\vec{u_1} + (y_1 - y_2)\vec{u_2} + (z_1 - z_2)\vec{u_3} = \vec{0}")
![[;x\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\\ \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\\ \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\\end{bmatrix};]](http://thewe.net/tex/x%5Cbegin%7Bbmatrix%7Da_%7B11%7D%5C%5Ca_%7B21%7D%5C%5Ca_%7B31%7D%5C%5C%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20+%20y%5Cbegin%7Bbmatrix%7Da_%7B12%7D%5C%5Ca_%7B22%7D%5C%5Ca_%7B32%7D%5C%5C%20%5Cend%7Bbmatrix%7D%20+%20z%5Cbegin%7Bbmatrix%7Da_%7B13%7D%5C%5Ca_%7B23%7D%5C%5Ca_%7B33%7D%5C%5C%5Cend%7Bbmatrix%7D%20=%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7Db_1%5C%5Cb_2%5C%5Cb_3%5C%5C%5Cend%7Bbmatrix%7D "x\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\\ \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\a_{32}\\ \end{bmatrix} + z\begin{bmatrix}a_{13}\\a_{23}\\a_{33}\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\\end{bmatrix}")
ou
![[;x\vec{u_1} + y\vec{u_2} + z\vec{u_3} = \vec{b};]](http://thewe.net/tex/x%5Cvec%7Bu_1%7D%20+%20y%5Cvec%7Bu_2%7D%20+%20z%5Cvec%7Bu_3%7D%20=%20%5Cvec%7Bb%7D "x\vec{u_1} + y\vec{u_2} + z\vec{u_3} = \vec{b}")
Mas ![[;(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3}) = \det(A^t) = \det(A) = D;]](http://thewe.net/tex/%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%20=%20%5Cdet%28A%5Et%29%20=%20%5Cdet%28A%29%20=%20D "(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3}) = \det(A^t) = \det(A) = D")
, ![[;(\vec{b},\vec{u_2},\vec{u_3}) = D_x;]](http://thewe.net/tex/%28%5Cvec%7Bb%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%20=%20D_x "(\vec{b},\vec{u_2},\vec{u_3}) = D_x")
, ![[;(\vec{u_1},\vec{b},\vec{u_3}) = D_y;]](http://thewe.net/tex/%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bb%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%20=%20D_y "(\vec{u_1},\vec{b},\vec{u_3}) = D_y")
e ![[;(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{b}) = D_z;]](http://thewe.net/tex/%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bb%7D%29%20=%20D_z "(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{b}) = D_z")
, provamos a regra de Cramer comentada acima.
Sendo , e vetores linearmente independentes, então
![[;\begin{cases}x_1 - y_1 = 0\\y_1 - y_2 = 0\\z_1 - z_2 = 0\\\end{cases};]](http://thewe.net/tex/%5Cbegin%7Bcases%7Dx_1%20-%20y_1%20=%200%5C%5Cy_1%20-%20y_2%20=%200%5C%5Cz_1%20-%20z_2%20=%200%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D "\begin{cases}x_1 - y_1 = 0\\y_1 - y_2 = 0\\z_1 - z_2 = 0\\\end{cases}")
ou seja,![[;x_1 = x_2;]](http://thewe.net/tex/x_1%20=%20x_2 "x_1 = x_2")
, ![[;y_1 = y_2;]](http://thewe.net/tex/y_1%20=%20y_2 "y_1 = y_2")
e ![[;z_1 = z_2;]](http://thewe.net/tex/z_1%20=%20z_2 "z_1 = z_2")
.
Corolário 1: (Regra de Cramer) As soluções do sistema linear são dadas por
![[;x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D}\quad \text{e}\quad z = \frac{D_z}{D};]](http://thewe.net/tex/x%20=%20%5Cfrac%7BD_x%7D%7BD%7D,%5Cquad%20y%20=%20%5Cfrac%7BD_y%7D%7BD%7D%5Cquad%20%5Ctext%7Be%7D%5Cquad%20z%20=%20%5Cfrac%7BD_z%7D%7BD%7D "x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D}\quad \text{e}\quad z = \frac{D_z}{D}")
desde que ![[;D = \det(A) \neq 0;]](http://thewe.net/tex/D%20=%20%5Cdet%28A%29%20%5Cneq%200 "D = \det(A) \neq 0")
.
Demonstração: Sejam![[;\vec{u_1} = (a_{11}, a_{21}, a_{31});]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu_1%7D%20=%20%28a_%7B11%7D,%20a_%7B21%7D,%20a_%7B31%7D%29 "\vec{u_1} = (a_{11}, a_{21}, a_{31})")
, ![[;\vec{u_2} = (a_{12},a_{22},a_{32});]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu_2%7D%20=%20%28a_%7B12%7D,a_%7B22%7D,a_%7B32%7D%29 "\vec{u_2} = (a_{12},a_{22},a_{32})")
, ![[;\vec{u_3} = (a_{13},a_{23},a_{33});]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bu_3%7D%20=%20%28a_%7B13%7D,a_%7B23%7D,a_%7B33%7D%29 "\vec{u_3} = (a_{13},a_{23},a_{33})")
e ![[;\vec{b} = (b_1,b_2,b_3);]](http://thewe.net/tex/%5Cvec%7Bb%7D%20=%20%28b_1,b_2,b_3%29 "\vec{b} = (b_1,b_2,b_3)")
. Assim, o sistema linear
![[;\begin{cases}a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1\\a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2\\a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3\\\end{cases};]](http://thewe.net/tex/%5Cbegin%7Bcases%7Da_%7B11%7Dx%20+%20a_%7B12%7Dy%20+%20a_%7B13%7Dz%20=%20b_1%5C%5Ca_%7B21%7Dx%20+%20a_%7B22%7Dy%20+%20a_%7B23%7Dz%20=%20b_2%5C%5Ca_%7B31%7Dx%20+%20a_%7B32%7Dy%20+%20a_%7B33%7Dz%20=%20b_3%5C%5C%5Cend%7Bcases%7D "\begin{cases}a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1\\a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2\\a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3\\\end{cases}")
pode ser escrito na forma
ou seja,
Corolário 1: (Regra de Cramer) As soluções do sistema linear
Demonstração: Sejam
Assim, achar as soluções do sistema linear é equivalente a escrever o vetor como combinação linear dos vetores , e .
Sendo![[;D \neq 0;]](http://thewe.net/tex/D%20%5Cneq%200 "D \neq 0")
, então , e são linearmente independentes, de modo que existem , e ![[;z;]](http://thewe.net/tex/z "z")
(únicos) tais que
![[;x = \frac{(\vec{b},\vec{u_2},\vec{u_3})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})}, \qquad y = \frac{(\vec{u_1},\vec{b},\vec{u_3})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})} \qquad \text{e} \qquad x = \frac{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{b})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})};]](http://thewe.net/tex/x%20=%20%5Cfrac%7B%28%5Cvec%7Bb%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%7D%7B%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%7D,%20%5Cqquad%20y%20=%20%5Cfrac%7B%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bb%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%7D%7B%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%7D%20%5Cqquad%20%5Ctext%7Be%7D%20%5Cqquad%20x%20=%20%5Cfrac%7B%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bb%7D%29%7D%7B%28%5Cvec%7Bu_1%7D,%5Cvec%7Bu_2%7D,%5Cvec%7Bu_3%7D%29%7D "x = \frac{(\vec{b},\vec{u_2},\vec{u_3})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})}, \qquad y = \frac{(\vec{u_1},\vec{b},\vec{u_3})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})} \qquad \text{e} \qquad x = \frac{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{b})}{(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})}")
Sendo
- Sobre o Produto Misto;
- A Lei dos Cossenos Através da Regra de Cramer;
- O Método de Eliminação de Gauss Para Sistemas Lineares;
- Sistemas Lineares no Balanceamento de Reações Químicas.
Realmente achei muito interessante essa demonstração professor, apesar do meu pouco uso da regra de Cramer, achei bastante interessante a demonstração, ainda mais porque sou um amante de álgebra vetorial.
ResponderExcluirTambém gosto muito de Álgebra Vetorial, basta ver os posts sobre retas, planos e ângulos que já publiquei. Realmente a regra de Cramer é pouco usada em sistemas lineares, mas é muito vantajosa quando resolve sistemas de equações diferenciais através das transformadas de Laplace. Muito obrigado pelo comentário. Volte sempre!
ResponderExcluir