Arquimedes e o Volume da Esfera

Acredito que a descoberta feita por Arquimedes sobre a fórmula para calcular o volume da esfera pode ser considerada como uma das maiores descobertas matemáticas de todos os tempos. O que torna essa descoberta fascinante é o método empregado por Arquimedes e que de certo modo, influenciou Cavalieri em seu princípio para determinar o volume de vários sólidos quase dois mil anos depois.

Alguns estudiosos atribuem a Arquimedes a invenção do Cálculo Integral, pois nesta descoberta do volume da esfera e também de outros sólidos tais como conóide (parabolóide de revolução) e esferóides, aparece a primeira manisfestação da ideia básica de integração. Convido os leitores a se opinarem sobre este tema no final deste post.

Naquela época, Arquimedes já conhecia que o volume de cone é igual a um terço do volume de um cilindro com a mesma altura e mesma base. Além disso, os gregos conheciam um pouco de Geometria Analítica sem a nossa notação. Ele sabia que se a soma dos quadrados das distâncias a duas retas perpendiculares é constante, então o lugar geométrico é uma circunferência. Em nossa notação, escrevemos .

Nessa demonstração que apresentaremos a seguir, Arquimedes usou engenhosamente a lei das alavancas cujo enunciado é o seguinte:

"Dois pesos e nas extremidades de uma barra de peso desprezível e distantes e respectivamente de um ponto de apoio estão em equilíbrio se ."

Estamos agora preparados para seguir Arquimedes em sua procura pelo volume da esfera. Ele considerou a esfera gerada pela rotação do círculo

em torno do seu diâmetro. Completando quadrados, temos , de modo que a expressão trata-se de uma circunferência de raio e tangente ao eixo .

Em seguida, considere o cilindro de raio e altura cujo eixo coincide com o diâmetro da esfera. Além disso, considere também o cone circular de raio e altura iguais a cujo vértice está situado na origem do sistema de coordenadas. Na figura abaixo, temos a seção transversal da esfera, do cilindro e do cone.

Multiplicando a expressão por , temos:

Nesta expressão, o termo pode ser agora interpretado como sendo a área da seção transversal variável do cone gerado pela rotação da reta em torno do eixo . O termo é a seção transversal da esfera a unidades à direita da origem.

Sendo a área da seção transversal do cilindro com mesma altura e mesma base que o cone, então se imaginarmos uma alavanca com o fulcro (ponto de apoio) na origem e colocarmos as áreas e a uma distância desse fulcro, vemos que essas áreas satisfazem a lei da alavanca. Por outro lado, quando cresce de a , as três seções transversais varrem seus respectivos sólidos e os preenchem. Como as três seções transversais estão em equilíbrio nesse processo, os próprios sólidos estão também em equilíbrio a distâncias e respectivamente do fulcro.

Assim, se é o volume da esfera, então

O ponto central deste raciocínio está na transição de para , das seções transversais móveis aos sólidos completos. Esta transição é de certo modo, a essência do Cálculo Integral.

Referência Bibliográfica:
- Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1. São Paulo: Mc Graw-Hill, 1987.

Gostará de ler também:
- Grandes Matemáticos (Arquimedes de Siracusa);
- O Teorema da Corda Quebrada de Arquimedes;
- A Área do Segmento Esférico (Arquimedes);
- Uma Solução Analítica do Problema do Arbelo;
- Uma Média Geométrica Entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone;
- Sobre a Esfera e o Cilindro (Blog O Baricentro da Mente);
- Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera (Blog O Baricentro da Mente).