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Arquimedes e o Volume da Esfera

Acredito que a descoberta feita por Arquimedes [;(287-212\ a.C.);] sobre a fórmula para calcular o volume da esfera pode ser considerada como uma das maiores descobertas matemáticas de todos os tempos. O que torna essa descoberta fascinante é o método empregado por Arquimedes e que de certo modo, influenciou Cavalieri em seu princípio para determinar o volume de vários sólidos quase dois mil anos depois.

Alguns estudiosos atribuem a Arquimedes a invenção do Cálculo Integral, pois nesta descoberta do volume da esfera e também de outros sólidos tais como conóide (parabolóide de revolução) e esferóides, aparece a primeira manisfestação da ideia básica de integração. Convido os leitores a se opinarem sobre este tema no final deste post.

Naquela época, Arquimedes já conhecia que o volume de cone é igual a um terço do volume de um cilindro com a mesma altura e mesma base. Além disso, os gregos conheciam um pouco de Geometria Analítica sem a nossa notação. Ele sabia que se a soma dos quadrados das distâncias a duas retas perpendiculares é constante, então o lugar geométrico é uma circunferência. Em nossa notação, escrevemos [;x^2 + y^2 = a^2;].

Nessa demonstração que apresentaremos a seguir, Arquimedes usou engenhosamente a lei das alavancas cujo enunciado é o seguinte:

"Dois pesos
[;w_1;] e [;w_2;] nas extremidades de uma barra de peso desprezível e distantes [;x_1;] e [;x_2;] respectivamente de um ponto de apoio estão em equilíbrio se [;w_1x_1 = w_2x_2;]."

Estamos agora preparados para seguir Arquimedes em sua procura pelo volume da esfera. Ele considerou a esfera gerada pela rotação do círculo

[;x^2 + y^2 = 2ax \qquad (1);]

em torno do seu diâmetro. Completando quadrados, temos [;(x - a)^2 + y^2 = a^2;], de modo que a expressão [;(1);] trata-se de uma circunferência de raio [;a;] e tangente ao eixo [;y;].

Em seguida, considere o cilindro de raio [;2a;]e altura [;2a;] cujo eixo coincide com o diâmetro da esfera. Além disso, considere também o cone circular de raio e altura iguais a [;2a;] cujo vértice está situado na origem do sistema de coordenadas. Na figura abaixo, temos a seção transversal da esfera, do cilindro e do cone.

Multiplicando a expressão [;(1);] por [;2a\pi;], temos:

[;2a(\pi x^2 + \pi y^2) = \pi (2a)^2 x \qquad (2);]

Nesta expressão, o termo [;\pi x^2;] pode ser agora interpretado como sendo a área da seção transversal variável do cone gerado pela rotação da reta [;y = x;] em torno do eixo [;x\ ;]. O termo [;\pi y^2;] é a seção transversal da esfera a [;x\ ;] unidades à direita da origem.

Sendo [;\pi (2a)^2;] a área da seção transversal do cilindro com mesma altura e mesma base que o cone, então se imaginarmos uma alavanca com o fulcro (ponto de apoio) na origem e colocarmos as áreas [;\pi x^2;] e [;\pi y^2;] a uma distância [;2a;] desse fulcro, vemos que essas áreas satisfazem a lei da alavanca. Por outro lado, quando [;x\ ;] cresce de [;0;] a [;2a;], as três seções transversais varrem seus respectivos sólidos e os preenchem. Como as três seções transversais estão em equilíbrio nesse processo, os próprios sólidos estão também em equilíbrio a distâncias [;2a;] e [;a;] respectivamente do fulcro.

Assim, se [;V;] é o volume da esfera, então

[;2a\biggl[\frac{1}{3}(2a)^2(2a) + V\biggr] = a\cdot \pi (2a)^2 2a \qquad (3) \quad \Rightarrow;]

[;\frac{8\pi a^3}{3} + V = 4\pi a^3 \quad \Rightarrow \quad V = \frac{4\pi a^3}{3};]


O ponto central deste raciocínio está na transição de [;(2);] para [;(3);], das seções transversais móveis aos sólidos completos. Esta transição é de certo modo, a essência do Cálculo Integral.

Referência Bibliográfica:
- Simmons, George F. Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1. São Paulo: Mc Graw-Hill, 1987.


Gostará de ler também:
- Grandes Matemáticos (Arquimedes de Siracusa);
- O Teorema da Corda Quebrada de Arquimedes;
- A Área do Segmento Esférico (Arquimedes);
- Uma Solução Analítica do Problema do Arbelo;
- Uma Média Geométrica Entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone;
- Sobre a Esfera e o Cilindro (Blog O Baricentro da Mente);
- Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera (Blog O Baricentro da Mente).

5 comentários:

  1. Realmente, engenhoso usar a lei das alavancas. Fico pensando quais outros volumes de sólidos podem ser obtidos por esse método. conhece algum outro?

    Parabéns pelo blog!

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  2. Este método é também usado para calcular a área de um segmento parabólico. Além disso, Arquimedes escreveu um livro sobre conóides e esferóides, ou seja, parabolóides e elipsóides de revolução, mas não sei ti dizer se ele usou este método neste tratado, irei pesquisar. Obrigado pelo comentário, volte sempre!

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  3. Sem comentários, incrivel a engenhosidade do grande Arquimedes , todos os seus posts são maravilhosos professor, mas esse, sem duvidas é um dos melhores!

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  4. Olá Paulo,

    Simplesmente fantástico! Incríveis os métodos utilizados por Arquimedes. Um homem com uma imaginação inigualável.

    Um forte abraço!

    p.s.: obrigado pelos links!

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  5. Obrigado Joelson e Kleber pelos comentários. Sempre admirei as obras de Arquimedes e retratar um pouco de seus pensamentos neste blog é uma forma de homenageá-lo. Agradeço pela visita e voltem sempre!

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