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domingo, 26 de dezembro de 2010

Demonstrações Geométricas Através de Vetores (Parte 2)

Nesta segunda parte, veremos o uso do produto escalar na demonstração de algumas propriedades geométricas.

Um losango é um paralelogramo cujos lados são iguais. Considerando o losango [;ABCD;] acima, temos a proposição seguinte:

Proposição 1: As diagonais de um losango são perpendiculares.

Demonstração: Note que [;\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{BC};] e que [;\vec{AC} = \vec{BC} - \vec{BA};]. Assim,

[;\vec{BD}\cdot \vec{AC} = (\vec{BC} + \vec{BA})\cdot (\vec{BC} - \vec{BA}) = |\vec{BC}|^2 - |\vec{BA}|^2 = 0;]

Logo, pela propriedade de produto escalar, concluímos que as diagonais são perpendiculares.

Definição 1: Paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.

Observação 1: Segue desta definição que
i) Os lados e ângulos opostos são congruentes;

ii) A soma dos ângulos consecutivos é igual a [;180^{\circ};];

iii) As diagonais cortam-se ao meio (Veja o Exemplo 2 da parte 1).

Proposição 2: Se as diagonais de um paralelogramo são iguais, então ele é um retângulo.

Demonstração: Seja o paralelogramo abaixo com [;AC = BD;].

Note que [;\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC};], donde segue que

[;|\vec{AC}|^2 = \vec{AC}\cdot \vec{AC} = |\vec{AB}|^2 + 2\vec{AB}\cdot \vec{BC} + |\vec{BC}|^2 \qquad (1);]

Note também que [;\vec{BD} = \vec{BC} - \vec{AB};], de modo que

[;|\vec{BD}|^2 = \vec{BD}\cdot \vec{BD} = |\vec{BC}|^2 - 2\vec{AB}\cdot \vec{BC} + |\vec{AB}|^2 \qquad (2);]

Por hipótese, [;AC = BC \quad \Rightarrow \quad |\vec{AC}|^2 = |\vec{BC}|^2;]. Assim, adicionando as expressões [;(1);] e [;(2);], temos

[;2|\vec{AC}|^2 = 2(|\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2) \quad \Rightarrow \quad |\vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2;]

donde segue da recíproca do teorema de Pitágoras que [;\triangle ABC;] é retângulo, isto é, [;\hat{B} = 90^{\circ};]. Pelo item i) da Observação 1, temos também que [;\hat{D} = 90^{\circ};] e pelo item ii), segue que [;\hat{A} = \hat{C} = 90^{\circ};]. Logo, [;ABCD;] é um retângulo.

Proposição 3: A soma dos quadrados dos lados de um paralelogramo [;ABCD;] é igual a soma dos quadrados de suas diagonais.

Demonstração: Queremos provar que

[;AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2;]

Para isso, considere os vetores [;\vec{AC};] e [;\vec{BD};]. Pela figura acima, [;\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{AB};], de modo que
[;|\vec{AC}|^2 = |\vec{AD}|^2 + 2\vec{AD}\cdot \vec{AB} + |\vec{AB}|\qquad (3);]

Analogamente, sendo [;\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB};], segue que

[;|\vec{BD}|^2 = |\vec{AD}|^2 - 2\vec{AD}\cdot \vec{AB} + |\vec{AB}|^2 \qquad (4);]

Somando [;(3);] com [;(4);], temos:

[;|\vec{AC}|^2 + |\vec{BD}|^2 = |\vec{AD}|^2 + |\vec{AD}|^2 + |\vec{AB}|^2 + |\vec{AB}|^2;]

[;= |\vec{AD}|^2 + |\vec{BC}|^2 +|\vec{AB}|^2 + |\vec{CD}|^2;]

donde segue o resultado.

Exercício: Suponha que [;\vec{AB};] seja o diâmetro de um círculo centrado na origem. Seja [;C;] um ponto em um dos arcos do círculo unindo [;A;] e [;B;]. Mostre que os vetores[;\vec{CA};] e [;\vec{CB};] são ortogonais, ou seja, todo triângulo inscrito em um semi-circunferência é retângulo.

Gostará de ler também:
- Demonstrações Geométricas (Parte 1);
- Euler e o Quadrilátero Convexo;
- Sobre o Produto Escalar;
- Cálculo de Áreas Através do Vetor Projeção.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 26.12.10
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4 comentários:

  1. Boa tarde...Essas demostrações são muito interessantes.
    Será que pode me esclarecer uma dúvida?
    Essa proposição 3 só vale para o paralelograma, ou acontece com mais algum quadrilátero?

    Desde de já agradeço.

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  2. Esta propriedade é válida somente para o paralelogramo. Abraços!

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  3. olá Paulo,achei seu blogger por a caso ( na verdade estava pesquisando alguns assuntos) realmente me ajudou bastante, ja que estou iniciando o meu curso de engenharia e estou entrando no mundo do calculo vetorial,gostaria de saber se poderia me informar/enviar(i_ivanilda@hotmail.com) sobre exercicios assim-> dados os pontos A(1-23)b(525)c(-429)ache o D para q abcd seja um paralelograma. dados abc tais que o angulo entre dois deles é de 60º determine [a+b+c] <-- norma *** a soma da norma que nao compreendo*** , sabendo que [a]=4 [b]=2 [c]=6 ... Agradeço, ivanilda.

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    Respostas

    1. Dados os pontos A, B e C. Para achar o quarto ponto D tal que ABCD seja um paralelogramo, devemos ter
      [;\vec{AB} = \vec{CD} \quad \Rightarrow \quad B - A = D - C;]
      O que conclui que [;D = B + C - A;]. Para o segundo caso, veja no livro de Geometria Analitica a seção de produto escalar. Vale ressaltar que este tipo de exercício usa o fato que [;|\vec{u}|^2 = \vec{u}\cdot \vec{u};]

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