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quinta-feira, 9 de dezembro de 2010

A Matemática de Euler (Parte 3)

Neste terceiro episódio desta série, veremos as contribuições de Euler ao estudo dos logaritmos, apresentando a importante constante[;\gamma;]. Esta constante está intimamente relacionada com a série harmônica e as funções logarítmicas, surgindo em muitas áreas da Matemática, tais como Análise e Teoria dos Números.

Ainda não se provou se [;\gamma;] é irracional ou transcendente, apesar que muitos matemáticos acreditam ser ambos.

Teorema 1: A série harmônica

[;\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k};]

diverge.

Demonstração: Euler mostrou a divergência da série harmônica usando a expansão em séries infinitas de [;\ln(1 + x);] substituindo [;x\ ;] por [;-x;], isto é,

[;\ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \ldots;]

Fazendo [;x = 1;], temos
[;\ln 0 = - \biggl(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots \biggr);]
Concluindo que

[;1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \ldots = - \ln 0 = \ln \frac{1}{0} = \ln \infty = \infty;]

Isto não é uma prova rigorosa da divergência da série harmônica. Portanto, Euler procedeu do seguinte modo. Substituindo [;x\ ;] por [;1/n;] na série de [;\ln(1 + x);], ele obteve

[;\ln\biggl(1 + \frac{1}{n}\biggr) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3}- \ldots \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{n} = \ln\biggl(\frac{n+1}{n} \biggr) + \frac{1}{2n^2} - \frac{1}{3n^3}+\ldots;]

Para [;n = 1,2,3,\ldots;], temos

[;1 = \ln 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \ldots;]

[;\frac{1}{2} = \ln(\frac{3}{2}) + \frac{1}{8} - \frac{1}{24} + \frac{1}{64}-\ldots;]

[;\frac{1}{3} = \ln(\frac{4}{3}) + \frac{1}{18} - \frac{1}{81} + \frac{1}{324}-\ldots;]

[;\vdots;]

[;\frac{1}{n} = \ln\biggl(\frac{n+1}{n}\biggr) + \frac{1}{2n^2} - \frac{1}{3n^3}+\ldots;]

Somando membro a membro, segue que

[;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} = \biggl[\ln 2 + \ln (\frac{3}{2}) + \frac{4}{3} + \ldots + \ln (\frac{n+1}{n})\biggr] + \frac{1}{2}\biggl[1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}+ \ldots + \frac{1}{n^2}\biggr] -;]

[;\frac{1}{3}\biggl[1 + \frac{1}{8} + \frac{1}{27}+ \ldots + \frac{1}{n^3}\biggr] + \frac{1}{4}\biggl[1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{81}+ \ldots + \frac{1}{n^4}\biggr] -\ldots;]

Euler então simplificou os logaritmos do seguinte modo:

[;\ln 2 + \ln(\frac{3}{2}) + \ln(\frac{4}{3}) + \ldots + \ln(\frac{n+1}{n}) = \ln \biggl[2\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \ldots \cdot \frac{n+1}{n} = \ln(n+1) \biggr];]

Euler o grande calculador que era estimou os termos do segundo membro para obter a expressão

[;\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \simeq \ln(n+1) + 0,577218;]

Passando o logaritmo para o [;1^{\underline{\circ}};] membro, definimos a constante [;\gamma;] por:

[;\gamma = \lim_{n \to \infty} \biggl[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \ln(n+1 )\biggr] \qquad (1);]

É comum reescrever a expressão [;(1);] na forma:

[;\gamma = \lim_{n \to \infty} \biggl[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \ln n\biggr] ;]
Uma prova deste fato é:

[;\lim_{n \to \infty} \biggl[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n \biggr] = \lim_{n \to \infty} \biggl [\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \ln(n+1) + \ln(n+1) - \ln n\biggr];]

[;=\lim_{n \to \infty} \biggl[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} - \ln(n+1)\biggr] + \lim_{n \to \infty} \ln (1 + \frac{1}{n}) = \gamma + \ln 1 = \gamma;]

Referência Bibliográfica:
- Merenstein, Eric. Leonhard Euler: University of Rochester, Spring, [;2008;].

Gostará de ler também:
- A Matemática de Euler (Parte 1);
- A Matemática de Euler (Parte 2);
- Grande Matemáticos (Leonhard Euler);
- Provas sem Palavras (Parte 16): Uma Soma Interessante.
Postado por Prof. Paulo Sérgio às 9.12.10
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5 comentários:

  1. linha 4:
    "surigindo em muitas áreas"

    Esta é a segunda q posto aqui pra apontar erro, me desculpa cara. Espero nao estar sendo incoveniente. É q teu blog de fato é muito bonito, e eu tenha mania de perfeccionista... qquer problema e eu fico na minha.
    abraço

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  2. Rock Lee agradeço muito pela sua atenção e claro que não está sendo incoveniente, eu também tenho mania de perfeccionista e qualquer erro por menor que seja incomoda. Além disso, isso mostra que você realmente é um bom leitor. Abraços!

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  3. ^^
    uma coisa engraçada foi eu msm ter escrito errado qndo disse q tenho mania de perfeccionista hehehehhe

    Mas deixa quieto.
    XD

    Abração Paulo.

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  4. Mais uma vez parabéns professor, aguardo ansiosamente a quarta parte dessa serie de postagens do Euler, como já disse meu matemático preferido, ah, sei que você já postou varias coisas a respeito de equações diferenciais, mas eu gostaria se algumas postagens a mais, e também dos diversos métodos de integração, mas o bloco está maravilhoso professor. Muito bom.

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  5. Muito obrigado pelo comentário Joelson. Agora que estou de férias, irei sim publicar vários posts relacionados as Equações Diferenciais e métodos de integração. Abraços!

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