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Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 4)


Problema [;10;]: Seja [;O;] o ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo [;ABC;]. Seja [;D;] a interseção da mediatriz de [;AC;] com o cateto [;BC;]. Sejam [;S_1;] e [;S_3;] as áreas dos semicírculos de diâmetros [;AB;] e [;OD;], e [;S_2;] a área entre os semicírculos de diâmetros [;BC;] e [;DC;] conforme a figura abaixo. Se [;S;] representa a área entre os semicírculos de diâmetros [;AO;] e [;AC;], prove que [;S = S_1 + S_2 + S_3;].

Problema [;11;]: Dado o [;\triangle ABC;], prove que

[;\sin \frac{\hat{A}}{2} = \sqrt{\frac{(p-b)(p - c)}{bc}};]

onde [;p;] é o semi-perímetro do triângulo.

Observação: Claramente, esta fórmula estende-se para os outros ângulos [;\hat{B}/2;] e [;\hat{C}/2;].

Problema [;12;]: Prove que dentre quaisquer cinco números reais [;y_1;], [;y_2;], [;y_3;], [;y_4;] e [;y_5;], existem [;2;] que satisfazem:

[;0 \leq \frac{y_i - y_j}{1 + y_iy_j} \leq 1;]

Vejamos as soluções dos problemas da edição anterior.

Problema [;7;]: Mostre que
[;\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}dx = \frac{\pi}{4};]

Resolução:
Façamos [;y = \pi/2 - x;]. Assim, [;dx = -dy;] de modo que

[;I := \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}dx = \int_{\pi/2}^{0}\frac{\sqrt{\sin(\pi/2 - y)}(-dy)}{\sqrt{\sin(\pi/2 - y)} + \sqrt{\cos(\pi/2 - y)}};]

[;= \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sqrt{\cos y}dy}{\sqrt{\cos y}+ \sqrt{\sin y}};]
Assim,

[;\frac{\pi}{2} = \int_{0}^{\pi/2}dx = \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}}dx;]

[;=\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sqrt{\sin x}dx}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} + \int_{0}^{\pi/2}\frac{\sqrt{\cos x}dx}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} = I + I = 2I;]

Logo, [;I = \pi/4;].

Problema [;8;]: Sejam [;x\ ;] e [;y;]números reais tais que [;x^3 + 3x^2 + 4x + 5 = 0;] e [;y^3 - 3y^2 + 4y - 5 = 0;]. Determine [;(x + y)^{2010};].

Resolução: As equações dadas podem ser reescritas como

[;(x+1)^3 + (x+1) + 3 = 0 \qquad (1);]
e
[;(y - 1)^3 + (y-1) - 3 = 0 \qquad (2);]

Observe que se [;x = u;] é uma raiz real de [;(1);], então [;-u;] é raiz real de [;(2);], pois

[;(-u-1)^3 + (-u-1) - 3 = -[(u+1)^3 + (u+1) + 3] = -0 = 0;]

Portanto, [;x + y = 0 \quad \Rightarrow \quad (x + y)^{2010} = 0^{2010} = 0;].

Solução adaptada de vários leitores.

Problema [;9;]: Na exploração de uma mina foi feito o corte inclinado conforme a figura abaixo. Para calcular o volume do minério extraído do corte foram medidos: [;CD = 10\sqrt{3}\ m;], e que é perpendicular ao plano [;ABC;] e os ângulos [;A\widehat{D}C = 60^{\circ};], [;B\widehat{D}C = 30^{\circ};] e [;A\widehat{D}B = 60^{\circ};]. Calcule esse volume.

Resolução: Sendo [;DC \perp BC;], então [;\triangle BCD;] é retângulo em [;\hat{C};]. Assim,

[;\sin 30^{\circ} = \frac{10\sqrt{3}}{BD} \quad \Rightarrow \quad BD = 20\sqrt{3}\ m;]
e
[;\tan 30^{\circ} = \frac{BC}{10\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad BC = 10\ m;]

Sendo [;DC \perp AC;], então [;\triangle ACD;] é retângulo em [;\hat{C};] de modo que

[;\sin 60^{\circ} = \frac{10\sqrt{3}}{AD} \quad \Rightarrow \quad AD = 20\ m;]
e
[;\tan 60^{\circ} = \frac{AC}{10\sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad AC = 30\ m;]

Por outro lado, usando a lei dos cossenos no [;\triangle ADB;], temos:

[;AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2AD\cdot BD\cos 60^{\circ};]

[;= 20^2 + (20\sqrt{3})^2 - 2\cdot 20\cdot 20\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2};]

donde segue que [;AB = 20\sqrt{4 - \sqrt{3}}\ m;]. O próximo passo é calcular a área do [;\triangle ABC;] através da fórmula de Heron. Sendo [;AC = 30\ m;] e [;BC = 10\ m;], segue que

[;2p = AB + AC + BC = 40 + 20\sqrt{4- \sqrt{3}} \quad \Rightarrow \quad p = 20 + 10\sqrt{4 - \sqrt{3}} \quad \Rightarrow;]

[;p - BC = 10 + 10\sqrt{4 - \sqrt{3};]

[;p - AB = 20 - 10\sqrt{4 - sqrt{3}};]

[;p - AC = -10 + 10\sqrt{4 - \sqrt{3}};]

Assim, [;S = \sqrt{p(p - BC)(p - AB)(p - AC)} = 300\sqrt{\sqrt{3} - 1}\ m^2;]
. Logo,
[;V = \frac{S\cdot CD}{3} = \frac{300\sqrt{\sqrt{3}-1}\cdot 10\sqrt{3}}{3} = 1000\sqrt{3\sqrt{3} - 3}\ m^3;]

Abaixo a lista dos leitores que participaram desta edição. Meus sinceros agradecimentos.

- Alexandre Lima - Prob. [;8;]

- Américo Tavares -
Prob. [;8;]

- Carlos -
Prob. [;8;]

- Gustavo -
Prob. [;8;]

- Kazuki e Giuliano -
Prob. [;8;]

Lembro que o prazo de entrega para os problemas [;10);], [;11);] e [;12);] encerra no dia 31/12/2010 e podem ser enviados para linnux2001@gmail.com.

Gostará de ler também:
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 3);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 2);
- Problemas dos Fatos Matemáticos (Parte 1);
- A Fórmula de Heron.

2 comentários:

  1. Paulo, no primeiro problema tem que fazer uma correção:
    [;S_2;] a área entre os semicírculos de diâmetros [;BC;] e [;DC;] conforme a figura abaixo.

    Abraços!

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  2. Obrigado Kleber, problema corrigido. Abraços!!

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