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Quem é Maior?

As duas constantes mais famosas da Matemática são [;\pi;] e [;e;]. Esses números aparecem em inúmeros fenômenos naturais e em várias teorias matemáticas. Desses números surge uma pergunta simples:

Sem usar a calculadora, qual número é maior: [;e^{\pi};] ou [;\pi^{e};]?

Usaremos o Cálculo para responder esta pergunta. Para isto considere a função [;f(x) = e^{-x}x^{e};] para [;x \geq 0;]. Os pontos críticos de [;f(x);] são dados por:

[;f^{\prime}(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad -e^{-x}x^e + e^{-x}ex^{e-1} = 0 \quad \Rightarrow;]

[;e^{-x}x^{e-1}(e - x) = 0 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 0 \quad \text{e} \quad x_2 = e;]

são os únicos pontos críticos. Para determinar a natureza destes pontos, usaremos o teste da derivada segunda. Para isto, note que

[;f^{\prime \prime}(x) = e(x^{e-1}e^{-x})^{\prime} - (x^ee^{-x})^{\prime};]



[;f^{\prime \prime}(x) = e^{-x}x^{e-2}[(x - e)^2 - e];]

Assim, [;f^{\prime \prime}(0) = 0;] e nada podemos concluir sobre este ponto crítico através deste método. É fácil ver que este ponto é um ponto de inflexão, analisando valores próximos de zero. Mas, o que nos interessa mesmo é analisar a natureza de [;x_2 = e;], isto é,

[;f^{\prime \prime}(e) = e^{-e}e^{e-2}(-e) = -1/e \prec 0;]

Logo, para [;x = e;], [;f(x);] assume um valor máximo local e este valor é igual a [;1;], pois [;f(e) = e^{-e}e^e = 1;]. Pela regra L'Hospital,

[;\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^e}{e^x} = 0;]

de modo que [;x = e;] é um ponto de máximo global. Na figura acima, temos o gráfico desta função. Assim, vemos que

[;f(x) \leq 1, \qquad x \geq 0;]

Em particular, para [;x = \pi;], temos que [;\pi^e \prec e^{\pi};].

Gostará de ler também:
- Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 1);
- Fatos das Funções Pares e Ímpares (Parte 2);
- A Caixa Com Tampa de Volume Máximo;
- Mínimos Locais Através da Desigualdade Aritmética-Geométrica;
- 10 Fatos Relacionados com o Número Pi;
- Uma Prova que e é Irracional.

4 comentários:

  1. Muito interessante Professor, realmente esses dois numeros são constantes muito importantes dentro da matemática e sinceramente confesso pra você que nunca havia pensado quem era maior, gostei muito da postagem,ah e vou procurar aqui no blog postagens sobre o numero de Euler, creio que deve ter varias, se acaso não tiver seria bem interessante uma postagem nos falando mais sobre ele e sua importância no universo, uma vez que não é atoa que ele é a base dos logaritmos naturais.

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  2. Obrigado Joelson. Realmente essas constantes são muito importantes nas áreas exatas. No final do post eu coloquei alguns links relacionados. Obrigado pela visita e volte sempre!

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  3. Ótima postagem. Acrescentaria apenas :

    [; \frac{\pi^e}{e^{\pi}} \lt 1 ;]
    [; \pi^e \lt e^{\pi} ;]

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  4. Há mais uma constante tão famosa quanto as duas abordadas aqui. Trata-se do número áureo que também aparece em inúmeros fenômenos naturais e em várias teorias matemáticas. Ele é denominado pela letra grega "fi" e vale (1+V5)/2 = 1,61803398874989...Quis dizer 1 mais raiz quadrada de 5, essa soma dividida por 2.

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