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domingo

Um Curso de Análise de G. H. Hardy

Este livro publicado por G. H. Hardy em [;1921;], não é um livro típico de Análise nos moldes atuais, podemos dizer que trata de um livro de Cálculo Avançado, mas é um livro muito interessante para os alunos que gostam de problemas interessantes e desafiantes. Em [;472;] páginas, Hardy apresenta o assunto em [;10;] capítulos listados abaixo. Para os interessados em adquirir este livro basta clicar na imagem ao lado.






Capítulo 1) Variáveis Reais;
Capítulo 2) Funções de Variáveis Reais;
Capítulo 3) Números Complexos;
Capítulo 4) Limites de Funções de uma Variável Inteira;
Capítulo 5) Limites de Funções de uma Variável Contínua;
Capítulo 6) Derivadas e Integrais;
Capítulo 7) Teoremas Adicionais no Cálculo Diferencial e Integral;
Capítulo 8) A Convergência das Séries Infinitas e Integrais Impróprias;
Capítulo 9) As Funções Logarítmica e Exponencial de uma Variável Real;
Capítulo 10) Teoria Geral dos Logaritmos, Exponenciais e Funções Circulares.

sábado

Coeficientes Binomiais e o Binômio de Newton

No post Coeficientes Binomiais e o Triângulo de Pascal, vimos a definição de coeficientes binomiais e algumas propriedades, tais como a relação de Stifel e o teorema das colunas. Antes de apresentarmos outras aplicações destes números especiais, vejamos dois corolários do teorema das colunas:

Corolário 1: A soma dos [;n;] primeiros números naturais ao quadrado é igual a [;n(n+1)(2n+1)/6;].

Demonstração: O teorema das colunas afirma que

[;\sum_{k=p}^{n}{k \choose p} = {n+1 \choose p+1};]

Fazendo [;p=2;] nesta expressão, segue que

[;\sum_{k=2}^{n}{k \choose 2} = \sum_{k=2}^{n}\frac{k(k-1)}{2} = {n+1\choose 3} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}k^2 - \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}k = {n+1 \choose 3};]
ou
[;\sum_{k=1}^{n}k^2 = \sum_{k=1}^{n}k + 2\times\frac{(n+1)n(n-1)}{3!};]

Sendo [;n(n+1)/2;] a soma dos [;n;] primeiros números naturais, obtém-se o resultado após algumas manipulações algébricas.

Corolário 2: (Teorema das Diagonais) A soma dos coeficientes binomiais de uma diagonal do triângulo de Pascal até a enésima linha, começando [;p;] unidades do primeiro elemento é dada por [;C_{p+n+1,n+1} = C_{p+n+1,p};], ou seja:

[;\sum_{k=0}^{n}{p+k\choose k} = {p+n+1\choose n+1} = {p+n+1 \choose p};]

Demonstração: Basta aplicar o teorema das colunas.

Proposição 5: (Binômio de Newton) Dados [;x, y \in \mathbb{R};] e [;n \in \mathbb{N};], temos

[;(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^ky^{n-k};]

Demonstração: Usaremos a técnica de indução finita sobre [;n;]. Para [;n=0;], temos

[;(x + y)^0 = 1 = \sum_{k=0}^{0}{0 \choose 0}x^0y^{0-0};]

Suponhamos que a expressão é válida para [;n;] e provaremos sua validade para [;n+1;], ou seja,

[;(x + 1)^{n+1} = (x + y)^n(x + y) = (x +y)\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^ky^{n-k}\\ \quad = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k+1}y^{n-k} + \sum_{k=0}^{n}x^{k}y^{n+1-k}\quad \quad (1);]

Para o primeiro somatório no segundo membro, temos

[;\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k+1}y^{n-k} = \sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}x^{k+1}y^{n-k} + {n \choose n}x^{n+1};]

e para segundo, temos



Substituindo essas expressões em [;(1);] e após algumas manipulações algébricas, segue que:

[;(x+y)^{n+1} = {n+1 \choose 0}y^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}\biggl[{n \choose k-1} + {n \choose k} \biggr]x^ky^{n+1-k} + {n+1 \choose n+1}x^{n+1};]

Usando a relação de Stifel no somatório acima e reunindo os termos, completa-se a demonstração.

Corolário 2: Segue imediatamente do binômio de Newton:

[;i)\ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} = 2^n;]

[;ii)\ \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k} = 0;]

[;iii)\ \sum_{k=0}^{n}p^k{n \choose k} = (p+1)^n, \quad p \in \mathbb{N};]

A demonstração deste corolário é deixada para o leitor. No próximo post, veremos outras somas relacionadas ao binômio de Newton através das derivadas de algumas funções potências.

sexta-feira

Fatos da Média Harmônica

Sejam [;x_1,x_2,\ldots,x_n;], [;n;] números reais positivos. Definimos a média harmônica desses números, indicada por [;MH(x_1,\ldots,x_n);] como sendo a razão entre o número de termos pela soma dos inversos dos termos, ou seja:

[;MH(x_1,\ldots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\ \ldots\ \frac{1}{x_n}};]

Para o caso em que há [;2;] termos, temos:

[;MH(x_1,x_2) = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}} = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2};]

Vejamos algumas propriedades interessantes da média harmônica de dois números.

[;1^{\underline{a}});]Propriedade: Se [;a;], [;b;] e [;c;] são três números reais positivos tal que [;\frac{a-b}{b-c} = \frac{a}{c};]. Então, [;b;] é a média harmônica de [;a;] e [;c;].

De fato, isolando [;b;] nesta equação, temos:



[;2^{\underline{a}});] Propriedade: A média harmônica de dois números [;x_1;] e [;x_2;] satisfaz a relação [;MG^2 = MA \cdot MH;], onde [;MA;] e [;MG;] são as médias aritmética e geométrica desses números.

De fato,
[;MH = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2} = \frac{(\sqrt{x_1x_2})^2}{\frac{x_1 + x_2}{2}} = \frac{MG^2}{MA};]

[;3^{\underline{a}});] Propriedade: A média harmônica é a menor ou igual a média geométrica que é menor ou igual a média aritmética, ou seja, [;MH \leq MG \leq MA;].

De fato,
[;\biggl(\frac{1}{\sqrt{x_1}} - \frac{1}{\sqrt{x_2}} \biggr)\ \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\ \geq \frac{2}{MG} \quad \Rightarrow \quad MH = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}}\ \leq MG;]

a outra desigualdade está provada no post Duas Médias (Parte 1) listada abaixo.

[;4^{\underline{a}});] Propriedade: Todo termo na série harmônica [;1 + 1/2 + 1/3 + \ldots;] é a média harmônica entre o termo precedente e o termo seguinte.

De fato, sejam os termos [;1/(n-1), \ 1/n;] e [;1/(n+1);]. Assim,

[;MH(\frac{1}{n-1},\frac{1}{n+1}) = \frac{2}{\frac{1}{1/(n-1)} + \frac{1}{1/(n+1)}} = \frac{2}{n-1 + n + 1} = \frac{1}{n};]

Observação:
Deve ser por isso que esta série recebeu esse nome.


Construindo a Média Harmônica: Dados os números [;a;] e [;b;], podemos construir a média harmônica desses números do seguinte modo. Construimos um semi-círculo de hipotenusa [;AB = MA;] (média aritmética desses números). Com um compasso de abertura igual a média geométrica desses números e com a ponta em [;A;], construímos o segmento [;AC = MG;], conforme a figura acima. Segue que [;AD;] é a média harmônica de [;a;] e [;b;], sendo [;D;] o pé da perpendicular baixada por [;C;].

De fato, sendo [;\triangle ADC \sim \triangle ABC;], segue que

[;\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} \quad \Rightarrow \quad AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{MG^2}{MA} = MH;]

pela [;2^{\underline{a}});] propriedade.


Resolução Geométrica do Problema das Torneiras: Uma torneira [;T_1;] enche um tanque de volume [;V;] em [;t_1;] horas e a torneira [;T_2;], enche o mesmo tanque em [;t_2;] horas. Em quanto tempo as duas torneiras enchem o tanque?

Vejamos inicialmente a solução algébrica. Seja [;Q_1;] a vazão da torneira [;T_1;], ou seja, [;Q_1 = V/t_1;]. Analogamente, para a torneira [;T_2;], [;Q_2 = V/t_2;]. Abrindo ao mesmo tempo as duas torneiras, segue que

[;Q = Q_1 + Q_2 \quad \Rightarrow \quad \frac{V}{t} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{1}{2}\cdot MH(t_1,t_2);]

No caso particular, em que [;t_1 = 12\ h;] e [;t_2 = 6\ h;], temos [;t = 1/(1/12 + 1/6) = 4 \ h;]. Podemos resolver este mesmo problema geometricamente conforme a figura acima em que [;AB = 12 \ h;], [;CD = 8\ h;] e a solução é o comprimento de [;EF = 4\ h;]. Deixo o desafio para o leitor, provar este curioso resultado.

Gostará de ler também:
- Duas Médias (Parte 1);
- Duas Médias (Parte 2);
- A área do Triângulo Através de suas Alturas;