FATOS MATEMÁTICOS: 2010/01

domingo, 31 de janeiro de 2010

Um Curso de Análise de G. H. Hardy

Este livro publicado por G. H. Hardy em $[;1921;]$ , não é um livro típico de Análise nos moldes atuais, podemos dizer que trata de um livro de Cálculo Avançado, mas é um livro muito interessante para os alunos que gostam de problemas interessantes e desafiantes. Em $[;472;]$ páginas, Hardy apresenta o assunto em $[;10;]$ capítulos listados abaixo. Para os interessados em adquirir este livro basta clicar na imagem ao lado.

Capítulo 1) Variáveis Reais;
Capítulo 2) Funções de Variáveis Reais;
Capítulo 3) Números Complexos;
Capítulo 4) Limites de Funções de uma Variável Inteira;
Capítulo 5) Limites de Funções de uma Variável Contínua;
Capítulo 6) Derivadas e Integrais;
Capítulo 7) Teoremas Adicionais no Cálculo Diferencial e Integral;
Capítulo 8) A Convergência das Séries Infinitas e Integrais Impróprias;
Capítulo 9) As Funções Logarítmica e Exponencial de uma Variável Real;
Capítulo 10) Teoria Geral dos Logaritmos, Exponenciais e Funções Circulares.

sábado, 30 de janeiro de 2010

Coeficientes Binomiais e o Binômio de Newton

No post Coeficientes Binomiais e o Triângulo de Pascal, vimos a definição de coeficientes binomiais e algumas propriedades, tais como a relação de Stifel e o teorema das colunas. Antes de apresentarmos outras aplicações destes números especiais, vejamos dois corolários do teorema das colunas:

Corolário 1: A soma dos $[;n;]$ primeiros números naturais ao quadrado é igual a $[;n(n+1)(2n+1)/6;]$ .

Demonstração: O teorema das colunas afirma que

$[;\sum_{k=p}^{n}{k \choose p} = {n+1 \choose p+1};]$

Fazendo $[;p=2;]$ nesta expressão, segue que

$[;\sum_{k=2}^{n}{k \choose 2} = \sum_{k=2}^{n}\frac{k(k-1)}{2} = {n+1\choose 3} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}k^2 - \frac{1}{2}\sum_{k=2}^{n}k = {n+1 \choose 3};]$

$[;\sum_{k=1}^{n}k^2 = \sum_{k=1}^{n}k + 2\times\frac{(n+1)n(n-1)}{3!};]$

Sendo $[;n(n+1)/2;]$ a soma dos $[;n;]$ primeiros números naturais, obtém-se o resultado após algumas manipulações algébricas.

Corolário 2: (Teorema das Diagonais) A soma dos coeficientes binomiais de uma diagonal do triângulo de Pascal até a enésima linha, começando $[;p;]$ unidades do primeiro elemento é dada por $[;C_{p+n+1,n+1} = C_{p+n+1,p};]$ , ou seja:

$[;\sum_{k=0}^{n}{p+k\choose k} = {p+n+1\choose n+1} = {p+n+1 \choose p};]$

Demonstração: Basta aplicar o teorema das colunas.

Proposição 5: (Binômio de Newton) Dados $[;x, y \in \mathbb{R};]$ e $[;n \in \mathbb{N};]$ , temos

$[;(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^ky^{n-k};]$

Demonstração: Usaremos a técnica de indução finita sobre $[;n;]$ . Para $[;n=0;]$ , temos

$[;(x + y)^0 = 1 = \sum_{k=0}^{0}{0 \choose 0}x^0y^{0-0};]$

Suponhamos que a expressão é válida para $[;n;]$ e provaremos sua validade para $[;n+1;]$ , ou seja,

$[;(x + 1)^{n+1} = (x + y)^n(x + y) = (x +y)\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^ky^{n-k}\\ \quad = \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k+1}y^{n-k} + \sum_{k=0}^{n}x^{k}y^{n+1-k}\quad \quad (1);]$

Para o primeiro somatório no segundo membro, temos

$[;\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k+1}y^{n-k} = \sum_{k=0}^{n-1}{n \choose k}x^{k+1}y^{n-k} + {n \choose n}x^{n+1};]$

e para segundo, temos

$\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n+1-k} = {n \choose 0}y^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n+1-k}$

Substituindo essas expressões em $[;(1);]$ e após algumas manipulações algébricas, segue que:

$[;(x+y)^{n+1} = {n+1 \choose 0}y^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}\biggl[{n \choose k-1} + {n \choose k} \biggr]x^ky^{n+1-k} + {n+1 \choose n+1}x^{n+1};]$

Usando a relação de Stifel no somatório acima e reunindo os termos, completa-se a demonstração.

Corolário 2: Segue imediatamente do binômio de Newton:

$[;i)\ \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} = 2^n;]$

$[;ii)\ \sum_{k=0}^{n}(-1)^k{n \choose k} = 0;]$

$[;iii)\ \sum_{k=0}^{n}p^k{n \choose k} = (p+1)^n, \quad p \in \mathbb{N};]$

A demonstração deste corolário é deixada para o leitor. No próximo post, veremos outras somas relacionadas ao binômio de Newton através das derivadas de algumas funções potências.

sexta-feira, 29 de janeiro de 2010

Fatos da Média Harmônica

Sejam $[;x_1,x_2,\ldots,x_n;]$ , $[;n;]$ números reais positivos. Definimos a média harmônica desses números, indicada por $[;MH(x_1,\ldots,x_n);]$ como sendo a razão entre o número de termos pela soma dos inversos dos termos, ou seja:

$[;MH(x_1,\ldots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\ \ldots\ \frac{1}{x_n}};]$

Para o caso em que há $[;2;]$ termos, temos:

$[;MH(x_1,x_2) = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}} = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2};]$

Vejamos algumas propriedades interessantes da média harmônica de dois números.

$[;1^{\underline{a}});]$ Propriedade: Se $[;a;]$ , $[;b;]$ e $[;c;]$ são três números reais positivos tal que $[;\frac{a-b}{b-c} = \frac{a}{c};]$ . Então, $[;b;]$ é a média harmônica de $[;a;]$ e $[;c;]$ .

De fato, isolando $[;b;]$ nesta equação, temos:

$(a - b)c = a(b - c) \quad \Rightarrow \quad 2ac = (a + c)b \quad \Rightarrow \quad b = \frac{2ac}{a+c} = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{c}}$

$[;2^{\underline{a}});]$ Propriedade: A média harmônica de dois números $[;x_1;]$ e $[;x_2;]$ satisfaz a relação $[;MG^2 = MA \cdot MH;]$ , onde $[;MA;]$ e $[;MG;]$ são as médias aritmética e geométrica desses números.

De fato,

$[;MH = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2} = \frac{(\sqrt{x_1x_2})^2}{\frac{x_1 + x_2}{2}} = \frac{MG^2}{MA};]$

$[;3^{\underline{a}});]$ Propriedade: A média harmônica é a menor ou igual a média geométrica que é menor ou igual a média aritmética, ou seja, $[;MH \leq MG \leq MA;]$ .

De fato,

$[;\biggl(\frac{1}{\sqrt{x_1}} - \frac{1}{\sqrt{x_2}} \biggr)\ \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\ \geq \frac{2}{MG} \quad \Rightarrow \quad MH = \frac{2}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}}\ \leq MG;]$

a outra desigualdade está provada no post Duas Médias (Parte 1) listada abaixo.

$[;4^{\underline{a}});]$ Propriedade: Todo termo na série harmônica $[;1 + 1/2 + 1/3 + \ldots;]$ é a média harmônica entre o termo precedente e o termo seguinte.

De fato, sejam os termos $[;1/(n-1), \ 1/n;]$ e $[;1/(n+1);]$ . Assim,

$[;MH(\frac{1}{n-1},\frac{1}{n+1}) = \frac{2}{\frac{1}{1/(n-1)} + \frac{1}{1/(n+1)}} = \frac{2}{n-1 + n + 1} = \frac{1}{n};]$

Observação: Deve ser por isso que esta série recebeu esse nome.

Construindo a Média Harmônica: Dados os números $[;a;]$ e $[;b;]$ , podemos construir a média harmônica desses números do seguinte modo. Construimos um semi-círculo de hipotenusa $[;AB = MA;]$ (média aritmética desses números). Com um compasso de abertura igual a média geométrica desses números e com a ponta em $[;A;]$ , construímos o segmento $[;AC = MG;]$ , conforme a figura acima. Segue que $[;AD;]$ é a média harmônica de $[;a;]$ e $[;b;]$ , sendo $[;D;]$ o pé da perpendicular baixada por $[;C;]$ .

De fato, sendo $[;\triangle ADC \sim \triangle ABC;]$ , segue que

$[;\frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} \quad \Rightarrow \quad AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{MG^2}{MA} = MH;]$

pela $[;2^{\underline{a}});]$ propriedade.

Resolução Geométrica do Problema das Torneiras: Uma torneira $[;T_1;]$ enche um tanque de volume $[;V;]$ em $[;t_1;]$ horas e a torneira $[;T_2;]$ , enche o mesmo tanque em $[;t_2;]$ horas. Em quanto tempo as duas torneiras enchem o tanque?

Vejamos inicialmente a solução algébrica. Seja $[;Q_1;]$ a vazão da torneira $[;T_1;]$ , ou seja, $[;Q_1 = V/t_1;]$ . Analogamente, para a torneira $[;T_2;]$ , $[;Q_2 = V/t_2;]$ . Abrindo ao mesmo tempo as duas torneiras, segue que

$[;Q = Q_1 + Q_2 \quad \Rightarrow \quad \frac{V}{t} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \quad \Rightarrow \quad t = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}} = \frac{1}{2}\cdot MH(t_1,t_2);]$

No caso particular, em que $[;t_1 = 12\ h;]$ e $[;t_2 = 6\ h;]$ , temos $[;t = 1/(1/12 + 1/6) = 4 \ h;]$ . Podemos resolver este mesmo problema geometricamente conforme a figura acima em que $[;AB = 12 \ h;]$ , $[;CD = 8\ h;]$ e a solução é o comprimento de $[;EF = 4\ h;]$ . Deixo o desafio para o leitor, provar este curioso resultado.

Gostará de ler também:

- Duas Médias (Parte 1);
- Duas Médias (Parte 2);
- A área do Triângulo Através de suas Alturas;

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