FATOS MATEMÁTICOS: 2010/02

domingo, 28 de fevereiro de 2010

John Von Neumann

John von Neumann $[;(1903-1957);]$ nasceu em Budapeste, na Hungria. Aos $[;6;]$ anos, era capaz de resolver mentalmente problemas de divisão como $[;78.463.215 \div 49.673.235;]$ . Por volta dos $[;8;]$ anos, obteve seu diploma de Cálculo na faculdade e como brincadeira podia memorizar, apenas olhando, os nomes, endereços e números de telefone de uma coluna em uma lista telefônica. Com apenas $[;23;]$ anos de idade, escreveu um livro chamado Os Fundamentos Matemáticos da Mecânica Quântica, utilizado no desenvolvimento da energia atômica.

Von Neumann foi um dos matemáticos mais notáveis de nossos tempos. Como tantos outros matemáticos, ele prestou contribuições importantes tanto à Ciência quanto à Matemática. Von Neumann se sentia particularmente fascinado pelos jogos de estratégia e de acaso. Assim, não é de se surpreender que ele foi o inventor de um ramo da Matemática chamada Teoria do Jogos.

Empregando as probabilidades envolvidas em jogos do acaso e trabalhando com estratégias que produzem "vencedores" em jogos de tomar decisões, a teoria dos jogos de von Neumann pode solucionar problemas de economia, de Ciência e de Estratégia Militar.

Em $[;1930;]$ , von Neumann foi para os Estados Unidos assumir o cargo de professor de Física Matemática na Universidade de Princeton. Tornou-se interessado no uso de computadores de grande escala e construiu um dos primeiros cérebros eletrônicos modernos, chamado MANIAC (Mathematical Analyzer, Numerical Integrator and Computer). Como conselheiro do governo americano durante a $[;2^{\underline{a}};]$ Guerra Mundial, exerceu influência no projeto de armas e mísseis nucleares.

Von Neumann tinha muitos interesses intelectuais, mas seu maior divertimento era resolver problemas. Algumas vezes, enquanto viajava, ele se envolvia de tal forma com um problema que tinha que telefonar à sua esposa para descobrir por que havia feito aquela viagem. É devido à habilidade de John von Neumann de resolver problemas que nossos horizontes matemáticos se ampliaram.

Texto extraído do livro Matemática sem Problemas, Vol. 3. Ed. José Olympio. $[;1972;]$ .

sexta-feira, 26 de fevereiro de 2010

Uma Identidade Entre Séries e Integrais

No estudo das Séries Infinitas, dá-se muita ênfase em descobrir se uma dada série é ou não convergente. Sendo a série convergente, existe a sua soma, mas na maioria dos casos, é difícil de determinar tal valor.

Neste post, veremos um tipo de série infinita convergente, cuja soma está relacionada com uma integral definida, ou seja, mostraremos que

$[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(mk+a)(mk+b)} = \frac{1}{b-a}\int_{0}^{1}\frac{(x^{a-1}- x^{b-1})}{1 - x^m}dx \quad \quad (1);]$

sendo $[;a,b;]$ e $[;m \in \mathbb{N}^{\ast};]$ com $[;b \suc a;]$ . Pelo teste da integral é possível mostrar que a série em $[;(1);]$ é convergente. Esta identidade é muito útil para determinar a soma de séries deste tipo. A demonstração é simples e baseia-se na técnica de frações parciais. De fato,

$[;\frac{1}{(mk+a)(mk+b)} = \frac{A}{mk+a} + \frac{B}{mk+b};]$

donde segue que $[;A = 1/(b-a);]$ e $[;B = -1/(b-a);]$ . Assim,

$[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(mk+a)(mk+b)} = \frac{1}{b-a}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{mk+a} - \frac{1}{b-a}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{mk+b} \quad \quad (2);]$

Note que

$\frac{1}{mk+a}= \int_{0}^{1}x^{mk+a-1}dx$ e $[;\frac{1}{mk+b} = \int_{0}^{1}x^{mk+b-1}dx;]$

Substituindo essas expressões em $[;(2);]$ , temos

$[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(mk+a)(mk+b)} = \frac{1}{b-a}\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{1}x^{mk+a-1}dx - \frac{1}{b-a}\sum_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{1}x^{mk+b-1}dx;]$

$[;\quad \quad = \frac{1}{b-a}\int_{0}^{1}x^{a-1}\sum_{k=0}^{\infty}x^{mk} - \frac{1}{b-a}\int_{0}^{1}x^{b-1}\sum_{k=0}^{\infty}x^{mk}dx \quad \quad (3);]$

Estamos supondo na última expressão que a convergência é uniforme, de modo que podemos alternar a série com a integral. Mas,

$[;\sum_{k=0}^{\infty}x^{mk} = \frac{1}{1 - x^m} \quad \quad (4);]$

Substituindo $[;(4);]$ em $[;(3);]$ e juntando os termos obtém-se a expressão $[;(1);]$ .

Exemplo 1: Mostre que

$[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)(2k+2)} = \ln 2;]$

Resolução: Usando a fórmula $[;(1);]$ com $[;m=2;]$ , $[;a=1;]$ e $[;b=2;]$ , segue que

$[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)(2k+2)} = \frac{1}{2-1}\int_{0}^{1}\frac{(x^{1-1} - x^{2-1})}{1 - x^2}dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}= \ln 2;]$

Exemplo 2: Verifique a identidade

$[;\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x+x^2+x^3} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)(4k+2)};]$

Resolução: De fato, usando a expressão $[;(1);]$ com $[;m=4;]$ , $[;a=1;]$ e $[;b=2;]$ , temos:

$[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)(4k+2)} = \int_{0}^{1}\frac{x^{1-1} - x^{2-1}}{1 - x^4}dx = \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x+x^2+x^3}dx;]$

Exercícios: Use a identidade $[;(1);]$ acima e calcule a soma das séries abaixo:

1) $[;S = \frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 5}+\ldots + \frac{1}{(2n+1)(2n+3)}+\ldots;]$
R: $[;S = 1/2;]$
2) Mostre que

$[;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)(2k+3)(2k+5)} = \frac{1}{12};]$

Sugestão: Use frações parciais para escrever esta série na soma de duas séries, e em seguida use a identidade acima.

terça-feira, 23 de fevereiro de 2010

20 Fatos Curiosos do Número 37

Além das fórmulas, equações, integrais e somatórios apresentadas no blog, creio que ele deva ter também momentos descontraídos, apesar que este assunto, é considerado por alguns uma curiosidade sem valor, mas para muitos despertam o lado místico da Matemática. Desta forma, apresento neste post alguns fatos curiosos do número $[;37;]$ .

$[;1);]$ $[;37;]$ é um número primo.

$[;2);]$ É um número hexagonal centrado, conforme a figura ao lado.

$[;3);]$ A mão humana é movida por $[;37;]$ músculos.

$[;4);]$ A temperatura do corpo humano é em torno de $[;37^{\circ}\ C;]$ .

$[;5);]$ O DNA mitocondrial comumente encontrado nos animais possui $[;37;]$ genes.

$[;6);]$ O $[;37;]$ é o centro de um quadrado mágico $[;3\times 3;]$ composto apenas de números primos, cuja soma das linhas, colunas e diagonais é $[;111;]$ .

$[;7);]$ O número $[;2^3 + 5^7 + 11^{13} + 17^{19} + 23^{29} + 31^{37};]$ é primo.

$[;8);]$ $[;37 = 1+2+3+4+5+6+7+9;]$ e $[;12345679\times 3 = 37.037.037;]$ .

$[;9);]$ A soma dos primeiros $[;37;]$ números primos é um números de Fibonacci.

$[;10);]$ A versão francesa do jogo Resta-um possui $[;37;]$ pinos.

$[;11);]$ $[;37 = 33 + 3 + 3/3;]$ .

$[;12);]$ A soma dos primeiros $[;5;]$ números compostos é igual a $[;37;]$ , ou seja, $[;4+6+8+9+10 = 37;]$ .

$[;13);]$ O número $[;4^n + 37;]$ gera números primos para $[;n = 1,2,3,4,5,6;]$ e $[;7;]$ .

$[;14);]$ O número $[;e^{\pi \sqrt{37}} = 199.148.647,999978;]$ , ou seja, é "quase" um número inteiro.

$[;15);]$ Existem exatamente $[;37;]$ primos de Sophie Germain menores que $[;1000;]$ . Um número primo $[;p;]$ é primo de Sophie Germain se $[;2p+1;]$ é também primo.