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Algumas Propriedades da Equação N-Dimensional do Calor

Como este blog destina-se a divulgar assuntos em diversos níveis, irei apresentar alguns posts relacionados a teoria das Equações Diferenciais Parciais. Veremos neste post algumas propriedades da equação N-dimensional do calor em domínios limitados.

Seja [;\Omega \subset \mathbb{R}^N;]um domínio limitado, [;u = u(x,t);], onde [;x = (x_1,\ldots,x_n) \in \Omega;]e [;t \succ 0;]. A equação N-dimensional do calor é dada por

[;\begin{cases}u_t - \triangle u = 0,\quad \quad \Omega \times  (0, +\infty)\\u = 0, \quad \quad \partial \Omega \times  (0,+\infty)\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)\\u(x,0) =  u_0(x), \quad \quad x \in \Omega\\\end{cases};]

Considere o problema de autovalores:

[;\begin{cases} -\triangle \phi_j = \lambda_j\phi_j,\quad  \quad x \in \Omega\\\phi_j = 0 \quad \quad \text{sobre}\quad \partial  \Omega\\\end{cases};]

A teoria esprectal dos operadores compactos auto-adjuntos no espaço de Hilbert, garante que o problema de autovalores admite uma sequência crescente de autovalores positivos de multiplicidade finita tendendo para o infinito, isto é,

[;0 \prec \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \lambda_3 \ldots \leq \lambda_n \leq \ldots \to +\infty;]

Deste modo, as autofunções correspondentes [;\{\phi_j\};] constitui uma base ortonormal para [;L^2(\Omega);]. Sendo [;\Omega;] um domínio limitado, as soluções do problema [;(1);] podem ser desenvolvidas na base de autofunções acima, ou seja:

[;u(x,t) = \sum_{k=1}^{\infty}c_ke^{-\lambda_k t}\phi_k(x) \quad \quad (2);]
Note que
[;u_0(x) = u(x,0) = \sum_{k=1}^{\infty}c_k\phi_k(x);]

Afirmação: Os coeficientes [;c_k;] são dados por

[;c_k = \int_{\Omega}u_0(x)\phi_k(x)dx;]
De fato,

[;\prec u_0(x),\phi_j(x)\succ \ = \ \prec \sum_{k=1}^{\infty}c_k\phi_k(x),\phi_j(x) \succ \ = \ \sum_{k=1}^{\infty}c_k\prec \phi_k(x),\phi_j(x)\succ;]

Usando a ortogonalidade das autofunções [;\phi_k;], segue que

[;\int_{\Omega}u_0(x)\phi_j(x)dx = \ \prec u_0(x),\phi_j(x)\succ \ = \ c_j\prec \phi_j(x),\phi_j(x) \succ \ = c_j;]

Propriedade 1:

[;\mid\mid u(\cdot, t)\mid \mid_{L^2(\Omega)}^{2} = \sum_{k = 1}^{\infty} c_{k}^{2}e^{-2\lambda_k t};]

Demonstração: Usando a definição de norma no espaço [;L^2(\Omega);], temos:

[;\int_{\Omega}u(x,t)^2 dx = \int_{\Omega}\biggl  (\sum_{j=1}^{\infty}c_je^{-\lambda_j t}\phi_j(x)  \biggr)\biggl(\sum_{k=1}^{\infty}c_ke^{-\lambda_k t}\phi_k(x)  \biggr)dx;]

ou seja,

[;\mid\mid u(\cdot, t)\mid \mid_{L^2(\Omega)}^{2} =  \sum_{j=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty} c_jc_k e^{-\lambda_j t -  \lambda_k t}\int_{\Omega}\phi_j(x)\phi_k(x)dx;]

Usando a ortogonalidade das autofunções, segue que

[;\mid\mid u(\cdot, t)\mid \mid_{L^2(\Omega)}^{2} =  \sum_{k=1}^{\infty} c_{k}^{2} e^{-2\lambda_k t};]

temos o resultado desejado. Uma consequência imediata desta propriedade é que

[;\mid\mid u_0(x)\mid \mid_{L^2(\Omega)}^{2} =  \sum_{k=1}^{\infty} c_{k}^{2};]

Propriedade 2: (Dissipação de Energia) Para todo [;t \geq 0;],

[;E(t) \leq E(0)e^{-2\lambda_1 t};]

onde [;\lambda_1 \suc 0;] é o primeiro autovalor e

[;E(t) = \int_{\Omega}u(x,t)^2dx;]

Demonstração: Multiplicando a equação do calor por [;u;], temos:

[;(u_t - \triangle u)u = 0 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad uu_t - u\Delta u = 0;]

ou seja:

[;\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial t}(u^2) - u\Delta u = 0  \quad \quad (3);]

Integrando a expressão [;(3);] em relação a [;x\ ;] sobre [;\Omega;], temos:

[;\frac{1}{2}\int_{\Omega}\frac{\partial}{\partial t}(u^2)dx =  \int_{\Omega}u\Delta udx \quad \quad (4);]

Usando o teorema de Leibniz sobre a derivação sob o sinal de integração no lado esquerdo e a identidade de Green no lado direito de [;(4);], segue que

[;\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\biggl(\int_{\Omega}u(x,t)^2  dx\biggr) = \int_{\partial \Omega}u\frac{\partial u}{\partial n}dS -  \int_{\Omega}\mid \nabla u \mid^2dx;]

Por [;(1);], [;u = 0;] sobre [;\partial \Omega;], de modo que a primeira integral no segundo membro é nula. Assim,

[;\frac{1}{2}\frac{d}{dt}E(t) = - \int_{\Omega}\mid \nabla \mid^2 dx \leq -\lambda_1 E(t);]

pela desigualdade Poincaré. Assim,

[;E(t) \leq E(0)e^{-2\lambda_1t};]

Corolário: (Monotonicidade):

[;\mid \mid u(\cdot, t)\mid \mid_{L^2(\Omega)} \leq \mid \mid u_0(x)\mid \mid_{L^2(\Omega)};]

Demonstração: Basta fazer [;t = 0;] na propriedade anterior.

Neste post apareceu desigualdades, teoremas e propriedades que foram apenas enunciadas, mas prometo apresentá-las integralmente em futuros posts.

sábado

O Comprimento das Bissetrizes Internas de um Triângulo

Neste post apresentarei uma fórmula para calcular o comprimento das bissetrizes internas de um triângulo através da lei das áreas, a lei do cosseno e da famosa fómula de Heron.

Considerando o triângulo [;ABC;] ao lado, se [;\beta_A;] representa o comprimento da bissetriz [;AD;], provaremos que

[;\beta_A = \frac{2}{b+c}\sqrt{bcp(p - a)} \quad \quad (1);]

onde [;p;] é o semi-perímetro do [;\triangle ABC;].

O primeiro passo para deduzir [;(1);] é aplicar a lei dos cossenos no
[;\triangle ABC;], isto é,

[;a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(2\alpha) \quad \Rightarrow \quad a^2 - b^2 - c^2 = 2bc(1 - 2\sin^2\alpha);]

Isolando [;\sin^2 \alpha;] desta expressão, temos:

[;\sin^2\alpha = \frac{a^2 - (b - c)^2}{4bc} = \frac{[a - (b - c)]\cdot [a+(b-c)]}{4bc};]

Usando o fato que [;2p = a + b + c;], segue que

[;\sin \alpha = \sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}} \quad \quad (2);]

Por outro lado, pela lei das áreas, a área de um triângulo é igual a semi-produto de dois lados pelo seno do ângulo formado por eles. Assim,

[;S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD} =  \frac{1}{2}\beta_Ac\sin \alpha + \frac{1}{2}\beta_Ab\sin \alpha;]

ou seja,
[;S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\beta_A(b + c)\sin \alpha  \quad \quad (3);]

Pela fórmula de Heron, sabemos que

[;S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\quad \quad (4);]

Substituindo as expressões [;(2);] e [;(4);] em [;(3);], temos

[;\frac{1}{2}\beta_A(b+c)\sqrt{\frac{(p - b)(p - c)}{bc}} =  \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};]

Simplificando os termos semelhantes e isolando [;\beta_A;] segue a fórmula [;(1);].


As fórmulas para calcular o comprimento das bissetrizes dos outros vértices segue da simetria de [;(1);] e são dadas por

[;\beta_B = \frac{2}{a+c}\sqrt{acp(p-a)};]
e

[;\beta_C = \frac{2}{a+b}\sqrt{abp(p-c)};]

Gostará de ler também:
- A Mediana de um Triângulo;
- A Fórmula de Heron;
- Provas Sem Palavras (Parte 12) (A Lei dos Cossenos);
- Pontos Notáveis de um Triângulo (Blog O Baricentro da Mente).