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O Binômio Segundo Newton

Isaac Newton estudando a Arithmetica Infinitorum de John Wallis no inverno de [;1664-1665;], descobriu o teorema geral do binômio [;(a+b)^n;]onde [;n;] é um números racional.

Newton observou que exceto o caso em que [;n;] é um positivo, a expansão do binômio [;(a+b)^n;]é uma série infinita.

A forma da expressão dada por Newton parece desajeitada ao leitor moderno, mas indica que a descoberta não foi uma simples substituição de potência inteira por fracionária. Esta descoberta foi resultado de muitas tentativas e erros da parte de Newton em relação a divisões e radicais envolvendo quantidades algébricas. Finalmente, Newton descobriu que

[;(P + PQ)^{m/n} = P^{m/n} + \frac{m}{n}AQ + \frac{m -  n}{2n}BQ +;]

[;\frac{m - 2n}{3n}CQ + \frac{m - 3n}{4n}DQ+\ldots \quad \quad  (1);]

onde [;A,B,C;] e [;D;] denotam o termo imediatamente anterior a ele, isto é, [;A;] representa [;P^{m/n};], [;B;] representa [;(m/n)AQ;] e assim por diante. Em seus cálculos, Newton emprega expoentes fracionários e negativos, sendo que essa prática foi universalmente adotada por outros matemáticos. Assim, ele escrevia [;a^2;], [;a^3;], etc., ao invés de ,[;aaa;] que era comum na época. Ao invés de [;\sqrt{a};], [;\sqrt{a^3};], [;\sqrt{a^5};], ele escrevia [;a^{1/2};], [;a^{3/2};], e ao invés de [;1/a;], [;1/aa;], [;1/a^3;], ele escrevia [;a^{-1};],[;a^{-2};], [;a^{-3};]. Em parte, Newton herdou as notações adotadas pelo grande matemático francês Renné Descartes.

O próximo passo dado por Newton veio de uma tabela presento no Arithmetica Infinitorum. Wallis analisou expressões que hoje pode ser escrita na forma

[;\int_{0}^{1}(1 - x^2)^ndx \quad \quad (2);]

para inteiros positivos [;n;], mas ele não foi capaz de calcular a integral

[;\int_{0}^{1}(1 - x^2)^{1/2}dx  \quad \quad (3);]

diretamente. Usando interpolações e o fato que a integral neste caso particular representa a área de um quarto de círculo de raio [;1;], ele concluiu que

[;\frac{4}{\pi} =  \frac{1}{\int_{0}^{1}(1 - x^2)^{1/2}dx} =  \frac{3\cdot 3 \cdot 5 \cdot 5  \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \ldots}{2 \cdot 4  \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6  \cdot 8 \ldots} \quad \quad (4);]

O produto numérico em [;(4);] é conhecido por produto de Wallis e para saber mais sobre esse assunto veja as leituras recomendadas no final deste post.

Prosseguindo com suas especulações, Newton teve a ideia de mudar o limite superior da integral dada em [;(1);] por [;x\  ;] e observou o padrão gerado fazendo [;n=1,2,3,\ldots;]conforme abaixo:

[;\int_{0}^{x}(1 - t^2)dt = x -  \frac{1}{3}x^3 \quad \quad;] , [;\int_{0}^{x}(1 - t^2)^2dt = x - \frac{2}{3}x^3 +   \frac{1}{5}x^5;]

[;\int_{0}^{x}(1 - t^2)^3dt = x -  \frac{3}{3}x^3 +  \frac{3}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7\quad \quad ;], [;\int_{0}^{x}(1 - t^2)^4dt = x - \frac{4}{3}x^3 +  \frac{6}{5}x^5  - \frac{4}{7}x^7 + \frac{1}{9}x^9;]

Newton observou que o primeiro termo de cada expressão é [;x\ ;], que [;x\ ;] cresce em potências ímpares, que os sinais algébricas são alternados e que o segundo termo de cada expressão

[;\frac{1}{3}x^3;], [;\frac{2}{3}x^3;], [;\frac{3}{3}x^3;] e [;\frac{4}{3}x^3;]

estão em progressão aritmética. Por analogia, ele assumiu que os dois primeiros termos da integral dada por [;(3);] são

[;x - \frac{1/2}{3}x^3 = x -  \frac{1}{6}x^3;]

Do mesmo modo, procedendo por analogia, Newton achou outros termos, os cinco primeiros da integral [;(3);] são

[;\int_{0}^{1}(1 - t^2)^{1/2}dt = x -  \frac{1/2}{3}x^3 - \frac{1/8}{5}x^5 - \frac{1/16}{7}x^7 -  \frac{5/128}{9}x^9-\ldots;]

Ele percebeu que os numeradores [;1/2,-1/8,1/16;] e [;-5/128;] eram também gerados substituindo [;n;] por [;1/2;] em cada coeficiente binomial

[;{n \choose 1},\ {n \choose 2}, \  {n \choose 3} \quad  \quad;] e [;\quad {n \choose 4};]

respectivamente. Assim, para integral [;(2);], Newton deduziu que

[;\int_{0}^{x}(1 - t^2)^ndt = x -  {n \choose 1}\frac{x^3}{3} +  {n \choose 2}\frac{x^5}{5} - {n \choose  3}\frac{x^7}{7}+ {n \choose  4}\frac{x^9}{9}-\ldots \quad \quad (5);]

Derivando expressão [;(5);] termo a termo e fazendo [;n = 1/2;] , Newton deduziu que a série binomial para [;(1 - x^2)^{1/2};] era dada por

[;(1 - x^2)^{1/2} = 1 - \frac{1}{2}x^2 -  \frac{1}{8}x^4 - \frac{1}{16}x^6 - \frac{5}{128}x^8-\ldots \quad \quad  (6);]

Ele checou a veracidade desse resultado multiplicando a série [;(6);] por ela mesma, termo a termo, obtendo [;1 - x^2;] como esperado.

Essa descoberta propiciou a Newton grandes avanços em suas pesquisas físicas e matemáticas.

Gostará de ler também:
- O Cálculo de Isaac Newton (Parte 1);
- Coeficientes Binomiais e o Binômio de Newton;
- O Produto Infinito de Wallis;