FATOS MATEMÁTICOS: 2010/04

sexta-feira, 30 de abril de 2010

O Binômio Segundo Newton

Isaac Newton estudando a Arithmetica Infinitorum de John Wallis no inverno de $[;1664-1665;]$ , descobriu o teorema geral do binômio $[;(a+b)^n;]$ onde $[;n;]$ é um números racional.

Newton observou que exceto o caso em que $[;n;]$ é um positivo, a expansão do binômio $[;(a+b)^n;]$ é uma série infinita.

A forma da expressão dada por Newton parece desajeitada ao leitor moderno, mas indica que a descoberta não foi uma simples substituição de potência inteira por fracionária. Esta descoberta foi resultado de muitas tentativas e erros da parte de Newton em relação a divisões e radicais envolvendo quantidades algébricas. Finalmente, Newton descobriu que

$[;(P + PQ)^{m/n} = P^{m/n} + \frac{m}{n}AQ + \frac{m - n}{2n}BQ +;]$

$[;\frac{m - 2n}{3n}CQ + \frac{m - 3n}{4n}DQ+\ldots \quad \quad (1);]$

onde $[;A,B,C;]$ e $[;D;]$ denotam o termo imediatamente anterior a ele, isto é, $[;A;]$ representa $[;P^{m/n};]$ , $[;B;]$ representa $[;(m/n)AQ;]$ e assim por diante. Em seus cálculos, Newton emprega expoentes fracionários e negativos, sendo que essa prática foi universalmente adotada por outros matemáticos. Assim, ele escrevia $[;a^2;]$ , $[;a^3;]$ , etc., ao invés de

, $[;aaa;]$ que era comum na época. Ao invés de $[;\sqrt{a};]$ , $[;\sqrt{a^3};]$ , $[;\sqrt{a^5};]$ , ele escrevia $[;a^{1/2};]$ , $[;a^{3/2};]$ , $a^{5/2}$ e ao invés de $[;1/a;]$ , $[;1/aa;]$ , $[;1/a^3;]$ , ele escrevia $[;a^{-1};]$ , $[;a^{-2};]$ , $[;a^{-3};]$ . Em parte, Newton herdou as notações adotadas pelo grande matemático francês Renné Descartes.

O próximo passo dado por Newton veio de uma tabela presento no Arithmetica Infinitorum. Wallis analisou expressões que hoje pode ser escrita na forma

$[;\int_{0}^{1}(1 - x^2)^ndx \quad \quad (2);]$

para inteiros positivos $[;n;]$ , mas ele não foi capaz de calcular a integral

$[;\int_{0}^{1}(1 - x^2)^{1/2}dx \quad \quad (3);]$

diretamente. Usando interpolações e o fato que a integral neste caso particular representa a área de um quarto de círculo de raio $[;1;]$ , ele concluiu que

$[;\frac{4}{\pi} = \frac{1}{\int_{0}^{1}(1 - x^2)^{1/2}dx} = \frac{3\cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 7 \ldots}{2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 8 \ldots} \quad \quad (4);]$

O produto numérico em $[;(4);]$ é conhecido por produto de Wallis e para saber mais sobre esse assunto veja as leituras recomendadas no final deste post.

Prosseguindo com suas especulações, Newton teve a ideia de mudar o limite superior da integral dada em $[;(1);]$ por $[;x\ ;]$ e observou o padrão gerado fazendo $[;n=1,2,3,\ldots;]$ conforme abaixo:

$[;\int_{0}^{x}(1 - t^2)dt = x - \frac{1}{3}x^3 \quad \quad;]$ , $[;\int_{0}^{x}(1 - t^2)^2dt = x - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5;]$

$[;\int_{0}^{x}(1 - t^2)^3dt = x - \frac{3}{3}x^3 + \frac{3}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7\quad \quad ;]$ , $[;\int_{0}^{x}(1 - t^2)^4dt = x - \frac{4}{3}x^3 + \frac{6}{5}x^5 - \frac{4}{7}x^7 + \frac{1}{9}x^9;]$

Newton observou que o primeiro termo de cada expressão é $[;x\ ;]$ , que $[;x\ ;]$ cresce em potências ímpares, que os sinais algébricas são alternados e que o segundo termo de cada expressão

$[;\frac{1}{3}x^3;]$ , $[;\frac{2}{3}x^3;]$ , $[;\frac{3}{3}x^3;]$ e $[;\frac{4}{3}x^3;]$

estão em progressão aritmética. Por analogia, ele assumiu que os dois primeiros termos da integral dada por $[;(3);]$ são

$[;x - \frac{1/2}{3}x^3 = x - \frac{1}{6}x^3;]$

Do mesmo modo, procedendo por analogia, Newton achou outros termos, os cinco primeiros da integral $[;(3);]$ são

$[;\int_{0}^{1}(1 - t^2)^{1/2}dt = x - \frac{1/2}{3}x^3 - \frac{1/8}{5}x^5 - \frac{1/16}{7}x^7 - \frac{5/128}{9}x^9-\ldots;]$

Ele percebeu que os numeradores $[;1/2,-1/8,1/16;]$ e $[;-5/128;]$ eram também gerados substituindo $[;n;]$ por $[;1/2;]$ em cada coeficiente binomial

$[;{n \choose 1},\ {n \choose 2}, \ {n \choose 3} \quad \quad;]$ e $[;\quad {n \choose 4};]$

respectivamente. Assim, para integral $[;(2);]$ , Newton deduziu que

$[;\int_{0}^{x}(1 - t^2)^ndt = x - {n \choose 1}\frac{x^3}{3} + {n \choose 2}\frac{x^5}{5} - {n \choose 3}\frac{x^7}{7}+ {n \choose 4}\frac{x^9}{9}-\ldots \quad \quad (5);]$