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segunda-feira

Provas sem Palavras (Parte 18)

Nesta edição das provas sem palavras, veremos a identidade trigonométrica do seno da soma de dois arcos. Para entender a demonstração, basta observar que todo triângulo inscrito em uma semi-circunferência é retângulo e em seguida, use a definição de seno e cosseno no triângulo retângulo.


domingo

Motivação na Matemática

Sempre fui preocupado nos métodos que devemos aplicar ou nas reflexões que devemos fazer para resolver os exercícios, compreender uma demonstração ou mesmo uma teoria.

Deste modo, sempre penso em alguma frase motivadora para vencer esses desafios, que apresento agora a todos vocês.

[;1);] Você nunca realmente perde até parar de tentar.
Mike Dikta

[;2);] Só erra quem produz. Mas só produz quem não tem medo de errar.
Anônimo

[;3);] Se você pensa sobre isso tempo suficiente, perceberá que isso é óbvio.
Saul Gorn

[;4);] Muitas coisas não ousamos empreender por parecerem difíceis; entretanto são difíceis porque não ousamos empreendê-las.
Sêneca

[;5);] Os primeiros passos são inúteis quando não se percorre o caminho até o fim.
Shankara

[;6);] Não há sentido em ser exato quando você nem sabe o que está falando.
John Von Neuman

sábado

O Teorema de Ptolomeu e o Heptágono Regular

Muitas das fórmulas trigonométricas para a soma ou diferença de dois ângulos, para múltiplos e submúltiplos de um ângulo podem ser obtidas através do teorema de Ptolomeu que apresentaremos abaixo.

Teorema 1 (Ptolomeu): Em um quadrilátero inscrito em uma circunferência, o produto das diagonais é igual a soma dos produtos dos lados opostos, isto é,

[;AC\cdot BD = AB\cdot DC +  DA\cdot CB;]

Demonstração: Seja [;ABCD;] o quadrilátero inscrito (ver figura acima). Tracemos [;BE;] de modo que [;A\hat{B}E =  D\hat{B}C;]. Observe que os triângulos [;ABE;] e [;BCD;] são semelhantes, pois os ângulos [;B\hat{D}C;] e [;B\hat{A}C;] são iguais. Assim,

[;\frac{AB}{BD} = \frac{AE}{CD}\qquad \Rightarrow \qquad  AE\cdot  BD = AB\cdot CD;]

Analogamente, os triângulos [;CBE;] e [;ADB;] são semelhantes, pois [;B\hat{C}E = B\hat{D}A;] e [;E\hat{B}C = E\hat{B}D + D\hat{B}C = E\hat{B}C + A\hat{B}E =  A\hat{B}D;], de modo que

[;\frac{CE}{BC} = \frac{AD}{BD} \quad \Rightarrow \quad BC\cdot AD =  BD\cdot CE \qquad (2);]

Adicionando membro a membro as expressões [;(1);]e [;(2);], temos:

[;AE\cdot BD + CE\cdot BD =  AB\cdot CD + BC\cdot AD \quad  \Rightarrow;]

[;(AE + CE)\cdot BD = AB\cdot CD +  BC\cdot AD;]

Sendo [;AE + CE = AC;], segue o resultado.

Uma consequência interessante do teorema de Ptolomeu ocorre no heptágono regular.
Teorema 2: Se [;ABCDEFG;] é um heptágono, então [;\frac{1}{AB} = \frac{1}{AC} + \frac{1}{AE};].


Demonstração: Aplicando o teorema de Ptolomeu no quadrilátero [;ABCE;], temos:
[;AC\cdot BE = AB\cdot CE + BC\cdot AE;]

Dividindo ambos os membros por [;AB\cdot AC\cdot AE;], segue que

[;\frac{AC\cdot BE}{AB\cdot AC\cdot AE} = \frac{AB\cdot   CE}{AB\cdot AC\cdot AE} + \frac{BC\cdot AE}{AB\cdot AC\cdot AE};]

Sendo [;BE = AE;], [;CE = AC;] e [;BC = AB;], segue que o resultado.

Gostará de ler também:
- O Teorema da Corda Quebrada de Arquimedes;
- Brahmagupta e o Quadrilátero Cíclico;
- Euler e o Quadrilátero Convexo;

quinta-feira

O Ângulo Entre as Ligações Químicas na Molécula de Metano

A geometria de uma molécula é um fator preponderante para determinar suas propriedades e o ângulo entre as ligações químicas é um aspecto quantitativo da geometria molecular.

O termo elétrons de valência refere-se a todos os elétrons que estão ligados mais fracamente ao átomo e portanto, estão relacionados com as ligações químicas.

O metano ([;CH_4;]) é um hidrocarboneto constituído de quatro átomos de hidrogênio ligados a um único átomo de carbono. Usando técnicas de raio [;X;], verificou-se que os átomos de hidrogênio estão todos a [;1,095\times10^{-11}\ m;] do átomo de carbono, distribuídos espacialmente de modo a formar um tetraedro regular , pois as forças de interação entre carbono-hidrogênio são iguais nos quatro vértices do tetraedro. Além disso, o átomo de carbono localiza-se no centro de sólido platônico.

Neste post, estamos interessados em determinar matematicamente o ângulo entre duas ligações na molécula de metano. Para isto, considere o cubo formado pelos pontos [;A(a,a,0);], [;B(0,a,a);] e [;C(a,0,a);]. Retirando as pirâmides de bases [;ABC;], [;AOB;], [;AOC;] e [;BOC;], o sólido resultante é um tetraedro regular cuja aresta mede [;a\sqrt{2};] conforme a figura abaixo.


Nos vértices [;O;], [;A;], [;B;] e [;C;], localiza-se um átomo de hidrogênio e no centro deste tetraedro regular está o átomo de carbono. Como o tetraedro foi construído a partir de um cubo de aresta [;a;], o seu centro é o mesmo que o centro do cubo que é dado por [;M(a/2,a/2,a/2);].

Para determinar o ângulo entre duas ligações na molécula de metano, considere os vetores


e
[;\vec{MB} = B - M = (0,a,a) -  (\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{a}{2}) =  (-\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{a}{2});]
Observe que

[;\mid \mid \vec{MB}\mid \mid =  \mid \mid \vec{MA}\mid \mid =  \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 +  (-\frac{a}{2})^2} =  \frac{\sqrt{3}}{2}a;]

Assim, usando o produto escalar, temos

[;\vec{MA}\cdot \vec{MB} =  -\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} -  \frac{a^2}{4} =  \frac{\sqrt{3}}{2}a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \cos \theta  \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \cos \theta = -\frac{1}{3};]

ou seja, o ângulo entre duas ligações químicas na molécula de metano é dado por [;\theta = \arccos  (-1/3) = 109,5^{\circ};].

Este mesmo ângulo ocorre no tetracloreto de carbono ([;CCl_4;]), ([;SiH_4;]) e ([;GeH_4;] ). Devido aos diferentes valores da eletronegatividade dos átomos de hidrogênio, carbono e bromo, os ângulos entre as ligações no composto brometo de metila [;CH_3Br;]são não são todos iguais.

É claro que este assunto é muito mais complexo, mas é uma excelente aplicação de produto interno.

Gostará de ler também:
- Sobre o Produto Escalar;
- Sistemas Lineares no Balanceamento de Reações Químicas;
- Um Problema de Misturas Através de EDO´s.