Provas sem Palavras (Parte 18)

Nesta edição das provas sem palavras, veremos a identidade trigonométrica do seno da soma de dois arcos. Para entender a demonstração, basta observar que todo triângulo inscrito em uma semi-circunferência é retângulo e em seguida, use a definição de seno e cosseno no triângulo retângulo.

Motivação na Matemática

Sempre fui preocupado nos métodos que devemos aplicar ou nas reflexões que devemos fazer para resolver os exercícios, compreender uma demonstração ou mesmo uma teoria.

Deste modo, sempre penso em alguma frase motivadora para vencer esses desafios, que apresento agora a todos vocês.

Você nunca realmente perde até parar de tentar.

Mike Dikta

Só erra quem produz. Mas só produz quem não tem medo de errar.

Anônimo

Se você pensa sobre isso tempo suficiente, perceberá que isso é óbvio.

Saul Gorn

Muitas coisas não ousamos empreender por parecerem difíceis; entretanto são difíceis porque não ousamos empreendê-las.

Sêneca

Os primeiros passos são inúteis quando não se percorre o caminho até o fim.

Shankara

Não há sentido em ser exato quando você nem sabe o que está falando.

John Von Neuman

O Teorema de Ptolomeu e o Heptágono Regular

Muitas das fórmulas trigonométricas para a soma ou diferença de dois ângulos, para múltiplos e submúltiplos de um ângulo podem ser obtidas através do teorema de Ptolomeu que apresentaremos abaixo.

Teorema 1 (Ptolomeu): Em um quadrilátero inscrito em uma circunferência, o produto das diagonais é igual a soma dos produtos dos lados opostos, isto é,

Demonstração: Seja o quadrilátero inscrito (ver figura acima). Tracemos de modo que . Observe que os triângulos e são semelhantes, pois os ângulos e são iguais. Assim,

Analogamente, os triângulos e são semelhantes, pois e , de modo que

Adicionando membro a membro as expressões e , temos:

Sendo , segue o resultado.

Uma consequência interessante do teorema de Ptolomeu ocorre no heptágono regular.
Teorema 2: Se é um heptágono, então .

Demonstração: Aplicando o teorema de Ptolomeu no quadrilátero , temos:

Dividindo ambos os membros por , segue que

Sendo , e , segue que o resultado.

Gostará de ler também:
- O Teorema da Corda Quebrada de Arquimedes;
- Brahmagupta e o Quadrilátero Cíclico;
- Euler e o Quadrilátero Convexo;

O Ângulo Entre as Ligações Químicas na Molécula de Metano

A geometria de uma molécula é um fator preponderante para determinar suas propriedades e o ângulo entre as ligações químicas é um aspecto quantitativo da geometria molecular.

O termo elétrons de valência refere-se a todos os elétrons que estão ligados mais fracamente ao átomo e portanto, estão relacionados com as ligações químicas.

O metano () é um hidrocarboneto constituído de quatro átomos de hidrogênio ligados a um único átomo de carbono. Usando técnicas de raio , verificou-se que os átomos de hidrogênio estão todos a do átomo de carbono, distribuídos espacialmente de modo a formar um tetraedro regular , pois as forças de interação entre carbono-hidrogênio são iguais nos quatro vértices do tetraedro. Além disso, o átomo de carbono localiza-se no centro de sólido platônico.

Neste post, estamos interessados em determinar matematicamente o ângulo entre duas ligações na molécula de metano. Para isto, considere o cubo formado pelos pontos , e . Retirando as pirâmides de bases , , e , o sólido resultante é um tetraedro regular cuja aresta mede conforme a figura abaixo.

Nos vértices , , e , localiza-se um átomo de hidrogênio e no centro deste tetraedro regular está o átomo de carbono. Como o tetraedro foi construído a partir de um cubo de aresta , o seu centro é o mesmo que o centro do cubo que é dado por .

Para determinar o ângulo entre duas ligações na molécula de metano, considere os vetores

e

Observe que

Assim, usando o produto escalar, temos

ou seja, o ângulo entre duas ligações químicas na molécula de metano é dado por .

Este mesmo ângulo ocorre no tetracloreto de carbono (), () e ( ). Devido aos diferentes valores da eletronegatividade dos átomos de hidrogênio, carbono e bromo, os ângulos entre as ligações no composto brometo de metila são não são todos iguais.

É claro que este assunto é muito mais complexo, mas é uma excelente aplicação de produto interno.

Gostará de ler também:
- Sobre o Produto Escalar;
- Sistemas Lineares no Balanceamento de Reações Químicas;
- Um Problema de Misturas Através de EDO´s.