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quarta-feira

Coordenadas Racionais na Circunferência de Raio Unitário

Determinar coordenadas racionais sobre o gráfico de uma função é um problema difícil, e exceto alguns casos particulares, não existe uma teoria geral sobre este problema.

Este assunto é muito estudado em Teoria dos Números. Por exemplo, o último teorema de Fermat, provado por Andrew Wiles usa técnicas e teorias avançadas e é equivalente a demonstrar que não existem coordenadas racionais sobre a curva [;x^n + y^n = 1;] para [;n  \succ 2;], além das coordenadas [;(\pm 1,0);] e [;(0,\pm 1);] se [;n;] é par e [;(1,0);] e [;(0,1);] se [;n;] é ímpar.

Se [;n = 2;], a curva acima reduz-se a uma circunferência centrada na origem e raio unitário. Neste caso, iremos mostrar que existem infinitos pontos de coordenadas racionais sobre esta curva.

Para isto, considere o gráfico de [;x^2 + y^2 = 1;] na figura acima. Observe que o triângulo [;APB;] é retângulo em [;P;] de modo que

[;\cos\ \frac{\theta}{2} =  \frac{AP}{AB} = \frac{AP}{2} \qquad  (1);]

Pela lei do cossenos no triângulo isósceles [;AOP;], temos:

[;AP^2 =  OA^2 + OA^2 - 2OA\cdot OP\cos(180^{\circ} - \theta) =  2 + 2\cos \theta  \qquad (2);]

Substituindo [;(1);] em [;(2);], segue que

[;2\cos  \theta = 4\cos^2(\theta/2) - 2 \quad \Rightarrow \quad  x = \cos \theta  = 2\cos^2(\theta/2) - 1;]

[; x = \cos \theta = \frac{2\cos^2(\theta/2) -  \sin^2(\theta/2) -  \cos^2(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2) +  \sin^2(\theta/2)} \qquad  \Rightarrow;]

[; x = \frac{\cos^2(\theta/2) -   \sin^2(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2) + \sin^2(\theta/2)};]

Dividindo e multiplicando esta última expressão por [;\cos^2(\theta/2);], temos:

[;x = \frac{1 -  \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2)}}{1 +   \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2)}} = \frac{1 -   \tan^2(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}\quad \Rightarrow;]

[;x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\qquad (3);]

onde [;t = \tan(\theta/2);]. Para determinar a coordenada [;y;], usamos a equação da circunferência, isto é,

[;y^2 = 1 -  x^2 = 1 - \biggl(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}\biggr)^2 = 1 - \frac{(1 -  t^2)^2}{(1 + t^2)^2}\quad \Rightarrow;]

[;y^2 = \frac{(1 + t^2)^2 - (1 - t^2)^2}{(1 + t^2)^2} =  \frac{4t^2}{(1 + t^2)^2} \quad \Rightarrow;]

[;y = \frac{2t}{1 + t^2}\qquad (4);]

Tomando valores racionais para [;t;] nas expressões [;(3);] e [;(4);]obtemos valores racionais para [;x\ ;] e [;y;] sobre a circunferência de raio unitário. Para [;t = \pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3, \ \pm 4;], obtemos os seguintes pontos sobre esta circunferência: [;(0,\pm 1), \ (-3/5, \pm 4/5), \ (-4/5, \pm 3/5);] e [;(-15/17,\pm 8/17);] respectivamente.

Observe que as ternas da forma [;(2t, t^2 - 1, t^2 + 1);] para [;t \in \mathbb{Z};] são pitagóricas, ou seja, são lados de um triângulo retângulo. A verificação deste fato é simples e fica a cargo do leitor.

Para finalizar deixo uma questão semelhante, que é de achar as coordenadas racionais sobre a elipse [;x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1;], sendo [;a;] e [;b;] inteiros positivos.


Gostará de ler também:
- A Técnica de Soma por Partes (Parte 1);
- A Técnica de Soma por Partes (Parte 2);
- O Truque de Gauss;

segunda-feira

Uma Média Geométrica Entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone

Em Geometria Espacial estuda-se o cálculo das áreas e volumes de vários sólidos geométricos, tais como o cilindro, o cone e a esfera.

Arquimedes a mais de [;2000;] anos, descobriu de forma genial um modo de calcular o volume de uma esfera e em consequência, deduziu que sua área é igual a área de [;4;] círculos de diâmetro máximo, isto é, [;S = 4\pi R^2;].

Veremos neste post, que existe uma relação interessante entre a área da esfera e as áreas totais do cone equilátero e do cilindro equilátero, inscritos nesta esfera.

Mais precisamente, mostraremos que a área total do cilindro equilátero ([;S_{ci};]) é igual a média geométrica entre a área da esfera ([;S;]) e a área do cone equilátero inscrito ([;S_{co};]).

Dizemos que um cilindro é equilátero se sua altura é igual ao ao seu diâmetro, de modo que sua secção transversal é um quadrado. Analogamente, dizemos que um cone é equilátero se sua secção transversal é um triângulo equilátero. Na figura abaixo, cortamos os três sólidos por um plano que passa pelo vértice do cone e pelo centro da esfera.

Para provar essa propriedade, temos que relacionar os raios [;r_1;] e [;r_2;] das bases do cilindro e do cone respectivamente com o raio da esfera [;R;]. Aplicando o teorema de Pitágoras no [;\Delta BCD;] na figura acima, segue que

[;(2r_1)^2 + (2r_1)^2 = (2R)^2 \quad  \Rightarrow \quad r_{1}^{2} = \frac{R^2}{2} \qquad (1);]

Aplicando a lei dos cossenos no [;\Delta EOG;], temos:

[;(2r_2)^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos  120^{\circ} = 2R^2(1 + \cos 60^{\circ}) \quad \Rightarrow;]

[;r_{2}^{2} = \frac{3}{4}R^2  \qquad (2);]

A área total do cilindro é igual a soma da área lateral com duas vezes a área da base, isto é, [;S_{ci} = 2\pi r_{1}^2 + 2\pi r_{1}(2r_1) = 6\pi r_{1}^2;]. De [;(1);], segue que

[;S_{ci} = 6\pi \cdot  \frac{R^2}{2} = 3\pi R^2 \qquad (3);]

Por outro lado, a área total de um cone é igual a soma da área da base com a área lateral ([;\pi r g;]). Assim,

[;S_{co} = \pi r_{2}^{2} + \pi  r_2(2r_2) = 3\pi r_{2}^2 \qquad (4);]

Substituindo [;(2);] em [;(4);], segue que

[;S_{co} =3\pi \cdot \frac{3}{4}R^2 = \frac{9}{4}\pi R^2 \qquad  (5);]

Sendo a área esfera dada por [;S = 4\pi R^2;], temos que

[;\sqrt{S\cdot S_{co}} = sqrt{4\pi  R^2 \cdot \frac{9}{4}\pi R^2} = \sqrt{9\pi^2R^4} = 3\pi R^2 = S_{ci};]

ou seja, a média geométrica das áreas totais da esfera e do cone é igual a área total do cilindro.

Gostará de ler também:
- A Área do Segmento Esférico (Arquimedes);
- Volume do Elipsóide pelo Princípio de Cavalieri;
- Duas Médias (Parte 1).