FATOS MATEMÁTICOS: 2010/06

quarta-feira, 30 de junho de 2010

Coordenadas Racionais na Circunferência de Raio Unitário

Determinar coordenadas racionais sobre o gráfico de uma função é um problema difícil, e exceto alguns casos particulares, não existe uma teoria geral sobre este problema.

Este assunto é muito estudado em Teoria dos Números. Por exemplo, o último teorema de Fermat, provado por Andrew Wiles usa técnicas e teorias avançadas e é equivalente a demonstrar que não existem coordenadas racionais sobre a curva $[;x^n + y^n = 1;]$ para $[;n \succ 2;]$ , além das coordenadas $[;(\pm 1,0);]$ e $[;(0,\pm 1);]$ se $[;n;]$ é par e $[;(1,0);]$ e $[;(0,1);]$ se $[;n;]$ é ímpar.

Se $[;n = 2;]$ , a curva acima reduz-se a uma circunferência centrada na origem e raio unitário. Neste caso, iremos mostrar que existem infinitos pontos de coordenadas racionais sobre esta curva.

Para isto, considere o gráfico de $[;x^2 + y^2 = 1;]$ na figura acima. Observe que o triângulo $[;APB;]$ é retângulo em $[;P;]$ de modo que

$[;\cos\ \frac{\theta}{2} = \frac{AP}{AB} = \frac{AP}{2} \qquad (1);]$

Pela lei do cossenos no triângulo isósceles $[;AOP;]$ , temos:

$[;AP^2 = OA^2 + OA^2 - 2OA\cdot OP\cos(180^{\circ} - \theta) = 2 + 2\cos \theta \qquad (2);]$

Substituindo $[;(1);]$ em $[;(2);]$ , segue que

$[;2\cos \theta = 4\cos^2(\theta/2) - 2 \quad \Rightarrow \quad x = \cos \theta = 2\cos^2(\theta/2) - 1;]$

$[; x = \cos \theta = \frac{2\cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2) - \cos^2(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2) + \sin^2(\theta/2)} \qquad \Rightarrow;]$

$[; x = \frac{\cos^2(\theta/2) - \sin^2(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2) + \sin^2(\theta/2)};]$

Dividindo e multiplicando esta última expressão por $[;\cos^2(\theta/2);]$ , temos:

$[;x = \frac{1 - \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2)}}{1 + \frac{\sin^2(\theta/2)}{\cos^2(\theta/2)}} = \frac{1 - \tan^2(\theta/2)}{1 + \tan^2(\theta/2)}\quad \Rightarrow;]$

$[;x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\qquad (3);]$

onde $[;t = \tan(\theta/2);]$ . Para determinar a coordenada $[;y;]$ , usamos a equação da circunferência, isto é,

$[;y^2 = 1 - x^2 = 1 - \biggl(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}\biggr)^2 = 1 - \frac{(1 - t^2)^2}{(1 + t^2)^2}\quad \Rightarrow;]$

$[;y^2 = \frac{(1 + t^2)^2 - (1 - t^2)^2}{(1 + t^2)^2} = \frac{4t^2}{(1 + t^2)^2} \quad \Rightarrow;]$

$[;y = \frac{2t}{1 + t^2}\qquad (4);]$

Tomando valores racionais para $[;t;]$ nas expressões $[;(3);]$ e $[;(4);]$ obtemos valores racionais para $[;x\ ;]$ e $[;y;]$ sobre a circunferência de raio unitário. Para $[;t = \pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3, \ \pm 4;]$ , obtemos os seguintes pontos sobre esta circunferência: $[;(0,\pm 1), \ (-3/5, \pm 4/5), \ (-4/5, \pm 3/5);]$ e $[;(-15/17,\pm 8/17);]$ respectivamente.

Observe que as ternas da forma $[;(2t, t^2 - 1, t^2 + 1);]$ para $[;t \in \mathbb{Z};]$ são pitagóricas, ou seja, são lados de um triângulo retângulo. A verificação deste fato é simples e fica a cargo do leitor.

Para finalizar deixo uma questão semelhante, que é de achar as coordenadas racionais sobre a elipse $[;x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1;]$ , sendo $[;a;]$ e $[;b;]$ inteiros positivos.

Gostará de ler também:
- A Técnica de Soma por Partes (Parte 1);
- A Técnica de Soma por Partes (Parte 2);
- O Truque de Gauss;

segunda-feira, 28 de junho de 2010

Uma Média Geométrica Entre as Áreas da Esfera, do Cilindro e do Cone

Em Geometria Espacial estuda-se o cálculo das áreas e volumes de vários sólidos geométricos, tais como o cilindro, o cone e a esfera.

Arquimedes a mais de $[;2000;]$ anos, descobriu de forma genial um modo de calcular o volume de uma esfera e em consequência, deduziu que sua área é igual a área de $[;4;]$ círculos de diâmetro máximo, isto é, $[;S = 4\pi R^2;]$ .

Veremos neste post, que existe uma relação interessante entre a área da esfera e as áreas totais do cone equilátero e do cilindro equilátero, inscritos nesta esfera.

Mais precisamente, mostraremos que a área total do cilindro equilátero ( $[;S_{ci};]$ ) é igual a média geométrica entre a área da esfera ( $[;S;]$ ) e a área do cone equilátero inscrito ( $[;S_{co};]$ ).

Dizemos que um cilindro é equilátero se sua altura é igual ao ao seu diâmetro, de modo que sua secção transversal é um quadrado. Analogamente, dizemos que um cone é equilátero se sua secção transversal é um triângulo equilátero. Na figura abaixo, cortamos os três sólidos por um plano que passa pelo vértice do cone e pelo centro da esfera.

Para provar essa propriedade, temos que relacionar os raios $[;r_1;]$ e $[;r_2;]$ das bases do cilindro e do cone respectivamente com o raio da esfera $[;R;]$ . Aplicando o teorema de Pitágoras no $[;\Delta BCD;]$ na figura acima, segue que

$[;(2r_1)^2 + (2r_1)^2 = (2R)^2 \quad \Rightarrow \quad r_{1}^{2} = \frac{R^2}{2} \qquad (1);]$

Aplicando a lei dos cossenos no $[;\Delta EOG;]$ , temos:

$[;(2r_2)^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos 120^{\circ} = 2R^2(1 + \cos 60^{\circ}) \quad \Rightarrow;]$

$[;r_{2}^{2} = \frac{3}{4}R^2 \qquad (2);]$

A área total do cilindro é igual a soma da área lateral com duas vezes a área da base, isto é, $[;S_{ci} = 2\pi r_{1}^2 + 2\pi r_{1}(2r_1) = 6\pi r_{1}^2;]$ . De $[;(1);]$ , segue que

$[;S_{ci} = 6\pi \cdot \frac{R^2}{2} = 3\pi R^2 \qquad (3);]$