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sexta-feira

O Problema da Bola na Cesta

A Matemática é tão poderosa que podemos através dela, resolver vários problemas usando suas ferramentas. Um exemplo do que eu estou falando, é o "problema da bola na cesta".

Neste problema, suponhamos que uma cesta tem a forma de uma superfície obtida girando uma região delimitada pela parábola de equação [;y = ax^2;] em torno do eixo [;y;], conforme a figura ao lado. Surgem então as perguntas:

[;1);] Se uma bola é jogada dentro desta cesta trancando em uma posição em que seu centro ocupa um ponto de altura [;y=b;], qual será o raio desta bola?

[;2);] Qual é a maior bola que pode ser colocada dentro desta cesta, de modo que ela continue tocando o fundo desta cesta?

Para responder a questão [;1);], seja

[;y = ax^2 \qquad (1);]

a equação cartesiana da cesta parabólica, com [;a \succ 0;] e considere também a equação da circunferência de centro [;(0,b);] e raio desconhecido [;r;], representando a bola, isto é,

[;x^2 + (y- b)^2 = r^2 \qquad (2);]

Isolando [;x^2;] de [;(1);] e substituindo em [;(2);], obtemos a equação quadrática

[;\frac{y}{a} + (y - b)^2 - r^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 + (1/a - 2b)y + b^2 - r^2 =0 \qquad (3);]

Matematicamente, a bola "tranca" na cesta parabólica, quando ela é tangente a parábola, isto é, quando o discriminante da equação quadrática [;(3);] é nulo. Assim,

[;\Delta = \biggl(\frac{1}{a} - 2b\biggr)^2 - 4(b^2 - r^2) = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \frac{\sqrt{4ab - 1}}{2a};]

Para responder a questão [;2);], devemos impor que o ponto [;(0,0);] é um ponto da circunferência [;x^2 + (y - b)^2 = r^2;], isto é, [;0^2 + (0 - b)^2 = r^2 \quad \Rightarrow \quad b = r;] e a equação quadrática [;(3);] é simplificada para [;y^2 + (1/a - 2r)y = 0;].

Novamente, o raio da maior bola dentro cesta é obtido "inflando" esta circunferência ou bola, até que ela apenas toque na cesta, ou seja, devemos ter

[;\Delta = 0 \quad \Rightarrow \quad \biggl(\frac{1}{a} - 2r\biggr)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r = \frac{1}{2a};]
Veja a figura abaixo.


Gostará de ler também:
- O Problema das Velas;
- O Problema do Bode Faminto;
- O Problema das Portas.

quarta-feira

Joaquim Gomes de Souza

Joaquim Gomes de Souza [;(1829-1864);] é um dos tantos exemplos de inteligência desaproveitada na História da Ciência no Brasil. Sendo o primeiro graduado a defender uma tese de Doutorado em Ciências Físicas e Matemáticas, em nosso país, foi ousado e lutou com insistência, por seu reconhecimento científico na Europa.

Joaquim Gomes de Souza nasceu em [;15;] de fevereiro de [;1829;] em Iapecuru Mirim no Maranhão. Filho do Major Inácio José de Souza e de Antônia de Brito Gomes de Souza.
Por influência do Barão de Araguaia, secretário do governo da província, os pais de Gomes de Souza mandaram-no estudar em Pernambuco em [;1841;] com seu irmão mais velho, José Gomes de Souza que já estudava direito em Olinda, curso que também fora determinado a fazer.

O irmão falece em [;1842;] e Gomes de Souza volta ao Maranhão, desta vez para a capital. Seus pais decidem transformá-lo em militar, carreira que não era de sua predileção. Assim partiu para o Rio de Janeiro em [;1843;], matriculando-se na Escola Militar.

Não tendo aptidão para o serviço militar, escreve aos pais solicitando permissão para deixar a carreira. Estes queriam que voltasse à província, mas foram convencidos pelo parente Tiago José Salgado, a permitirem que Gomes de Souza cursasse medicina. Terminados os exames de matemática referentes ao primeiro ano, estuda latim e filosofia racional e em março de [;1844;], matricula-se na Faculdade de Medicina do Rio de Janeiro. Henriques Leal, no seu Pantheon Maranhense, páginas [;240;] e seguintes, enaltece as qualidades de seu amigo e conterrâneo, dizendo que:

...entregou-se todo à Física, matéria de sua particular predileção. (...) começou a estudar consigo mesmo as mais complicadas operações de Álgebra. E não encontrando nelas dificuldades, quis prosseguir em seus estudos. Muniu-se então de todos os compêndios do curso do segundo ano da academia militar. Estudados estes, e animado por tão inesperado resultado, entrou afoito pelo Cálculo Integral e Diferencial, pela mecânica de Francoeur, pela Astronomia...

Em [;1847;] conclui o terceiro ano do curso de medicina e é estimulado por colegas e, em particular, pelo Dr. Ricardo José Gomes Jardim, inquilino do mesmo prédio na Rua da Misericórdia, onde residia Gomes de Souza a pedir o exame vago de todas as disciplinas do curso de engenharia. O pedido foi recebido com reservas e descrença pelos lentes da academia. Por fim, o seu pedido foi desprezado.

Por intervenção do Senador Saturnino, que também possuía conhecimentos de matemática, Gomes de Souza conseguiu licença para fazer os exames do segundo e terceiros anos. Dr. Jardim que antes o estimulara, foi quem atribuiu uma nota r (reprovado) nos exames do terceiro ano, sendo cassada por isso a licença para continuar a empreitada.

Esse episódio não o tirou da idéia de concluir o curso pela via rápida. Ao contrário, pareceu estimulá-lo mais ainda a estudar com afinco. Após muita insistência, Gomes de Souza conseguiu licença para fazer exame das matérias que faltavam para completar o curso e tomar o grau de doutor. A tese de Joaquim Gomes de Souza foi uma Disertação Sobre o Modo de Indagar Novos Astros sem o Auxílio das Observações Directas, sendo um trabalho original de astronomia, motivado pela recente descoberta de Netuno que fora realizada dois anos antes de acordo com os cálculos de J. C. Adams e J. J. Leverrier.

Em [;1848;], é nomeado professor substituto da Escola Militar, dando início, no ano seguinte, a fase de investigações científicas em sua curta. existência. Sem um veículo especializado no qual pudesse divulgar os seus trabalhos, começa a publicá-los na revista literária chamada Guanabara, que, na época, circulava no Rio de Janeiro. Em [;1854;], sentindo-se preso às limitações científicas do Brasil, pede permissão ao governo para ir à Europa. Sua liberação foi justificada pelas duas missões para as quais fora designado: estudar o sistema penitenciário com o objetivo de melhorar os procedimentos usados na Casa de Correção da Corte (Rio de Janeiro), da qual era secretário; e obter informações sobre os observatórios astronômicos.

Ao chegar em Paris, onde fixou residência, começa a assistir a diferentes cursos de Matemática na Sorbonne e estabelece contatos com os matemáticos franceses e ingleses. Durante os anos de [;1855;] e [;1856;] apresenta vários trabalhos na Academia de Ciências da França e na Royal Society of London. Não recebendo a devida acolhida para a publicação de seus trabalhos na França e Inglaterra, decide, em [;1856;], viajar para a Alemanha e, por sugestão de amigos, entrega ao editor F. A. Brockhaus, em Leipzig, uma obra intitulada: "Recueil de mémoires d’Analyse e Physique Mathematiques", que além de reunir todos os seus trabalhos, continha a sua Filosofia Geral das Matemáticas.

No início de [;1857;], no auge de sua produção científica, recebe um comunicado do irmão dizendo que ele havia sido eleito para representar a província do Maranhão no Parlamento Brasileiro e que, portanto, devia regressar o mais rápido possível ao Brasil. A entrada de Gomes de Souza na política encerra sua fase de investigações científicas, mas este fato não o privou de continuar como professor, agora, catedrático da disciplina de Cálculo Diferenciale Integral.

No final de [;1863;], os problemas de saúde, que o perseguiam desde a infância, se agravaram. Deposita suas últimas esperanças na medicina inglesa, porém não obtém sucesso. E assim, com apenas [;35;] anos de idade, morre em Londres em junho de [;1864;].

Referência Bibliográfica:- Fernandes, Carlos Sanchez e de Souza, Cícero Monteiro. Joaquim Gomes de Souza e Controvérsia Sobre o Uso das Séries Divergentes no Século XIX. Ideação, Feira de Santana, 1999.
- Nascimento, Carlos Ociran Silva. Alguns Aspectos da Obra Matemática de Joaquim Gomes de Souza (Dissertação de Mestrado). UNICAMP, Campinas, 2008.

terça-feira

Quantas Pessoas Já Viveram na Terra?

Um modelo simples para o crescimento populacional é o modelo exponencial [;P(t) = Ce^{rt};], onde [;C;] e [;r;] são constantes.

Neste modelo, a taxa de variação instantânea de [;P;] em relação a [;t;] é proporcional a [;P;], isto é, [;dP/dt = rP;]. De fato,

[;\frac{dP(t)}{dt} = C\frac{d}{dt}(e^{rt}) = Cre^{rt} = rP(t);]

Devido esta propriedade, este modelo é bastante preciso especialmente quando um organismo invade um ambiente onde há abundância de alimento, de modo a aumentar significativamente a sua capacidade reprodutiva. Por exemplo, podemos citar o crescimento inicial de um colônia de bactérias ou crescimento da população humana quando ela descobriu a agricultura. É claro que modelos mais refinados são necessários quando ocorrem restrições ambientais tais como a presença de predadores ou a carência de alimentos.

Independentemente do modelo matemático para calcular a população em um tempo [;t;], [;P(t);] pode ser usada para estimar o número total de pessoas que viveram em um determinado período de tempo. De um tempo inicial [;t_0;] a um tempo posterior [;t_1;], a integral
[;\int_{t_0}^{t_1}P(t)dt;]

dá o número de pessoas-ano para este intervalo de tempo. Se [;t_m;] é o tempo médio de vida de um indivíduo, então

[;N = \frac{1}{t_m}\int_{t_0}^{t_1}P(t)dt \qquad (1);]

fornece o número de pessoas que viveram entre [;t_0;] e [;t_1;]. Assumindo que a população mundial obedece o modelo exponencial em vários intervalos de tempo [;[t_0,t_1];], mas com diferentes constantes [;C;] e [;r;] para cada intervalo de tempo. Além disso, iremos escolher essas constantes, de modo a interpolar os valores de [;P(t);] em [;t_0;] e [;t_1;]. Para isto, devemos determinar [;C;] e [;r;] satisfazendo:

[;\begin{case}P(t_0) = Ce^{rt_0}\\P(t_1) = Ce^{rt_1}\\\end{case};]

Dividindo a [;1^{\underline{a}};] pela [;2^{\underline{a}};] expressão, segue que

[;\frac{P(t_0)}{P(t_1)} = \frac{e^{rt_0}}{e^{rt_1}} = e^{r(t_0 - t_1)} \qquad (2);]

ou seja, [;r;] está completamente determinado pela expressão [;(2);] e usando qualquer uma das expressões acima, podemos determinar [;C;]. Por outro lado, da expressão [;(1);], segue que

[;Nt_m = \int_{t_0}^{t_1}Ce^{rt}dt = \frac{C}{r}e^{r(t_1 - t_0)} \qquad (3);]

Substituindo [;(2);]em [;(3);], temos:

[;N = \frac{CP(t_1)}{t_mrP(t_0)}\qquad (4);]

para cada intervalo de tempo [;[t_0,t_1];].

O pesquisador Keyfitz´s em [;1999;], aplicou a fórmula [;(4);] a um sistema de intervalos de tempo compreendido entre [;1.000.000\ a.C.;] e o ano de [;2000\ d.C.;] para calcular o número de pessoas que viveram no planeta Terra, usando [;t_m = 25;] anos.

Observe que a soma total de pessoas-ano para todos esses intervalos dá o total de pessoas-ano para toda a vida humana. Os dados nas extremidades dos intervalos foram tiradas de um livro sobre populações. Além disso, iremos supor que em [;1.000.000\ a.C.;] a população mundial era formada por apenas duas pessoas. Veja o quadro abaixo.

O total dos valores da última coluna é cerca de [;2,402\times 10^{12};]. Dividindo esse valor por [;t_m = 25;], obtemos uma estima de [;96,1\times 10^{9};] ou [;96,1;] bilhões de pessoas que viveram na Terra até o ano [;2000;].

Gostará de ler também:
- A Equação Logística e a Gripe A;
- Medidas de Tempo Muito Longos (Blog O Baricentro da Mente).